付 磊 安效民 覃曌華 徐 敏

西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072

在航天器變軌的過程中，往往需要盡量減小燃料消耗，以增加航天器有效載荷，或盡量減小變軌時(shí)間，以實(shí)現(xiàn)快速打擊或救援[1]。沖量變軌作為航天器的重要變軌方式具有廣泛的研究意義。

近年來(lái)，以遺傳算法為代表的智能優(yōu)化算法在非線性沖量最優(yōu)變軌的研究中得到了廣泛應(yīng)用。Kim和Spencer[2]利用全局搜索能力較強(qiáng)的遺傳算法求解兩航天器的燃料最優(yōu)交會(huì)問題，并以霍曼轉(zhuǎn)移、雙橢圓轉(zhuǎn)移和雙沖量交會(huì)為例進(jìn)行了有效性驗(yàn)證。Luo等[3]將混合遺傳算法和模擬退火算法應(yīng)用于沖量交會(huì)調(diào)相特殊點(diǎn)變軌策略優(yōu)化設(shè)計(jì)。周軍等[4]采用非線性規(guī)劃算法研究了在J2影響下，固定時(shí)間兩異面橢圓軌道間的燃料最省多沖量交會(huì)問題。張洪波等[5]利用混合遺傳算法對(duì)基于軌道要素的共面圓軌道遠(yuǎn)程交會(huì)進(jìn)行了軌道設(shè)計(jì)優(yōu)化和仿真分析。

本文針對(duì)燃料和時(shí)間指標(biāo)，基于一種混合遺傳算法研究了航天器的交會(huì)和攔截問題。仿真結(jié)果證明了所建立模型的有效性，并且提出的算法結(jié)合了遺傳算法和序列二次規(guī)劃算法的優(yōu)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的全局和局部搜索能力，同時(shí)算法的計(jì)算速度和精度得到了明顯的提高。

1 多沖量最優(yōu)變軌模型

基于二體動(dòng)力學(xué)模型，以固定時(shí)間燃料最優(yōu)交會(huì)問題為例，建立問題的數(shù)值優(yōu)化模型。

交會(huì)初始條件為t0,r0,v0，終端條件為tf,rf,vf。為了確定燃料最優(yōu)解，需要求解一個(gè)在時(shí)間區(qū)間[t0,tf]的最優(yōu)控制問題，并滿足軌道運(yùn)動(dòng)方程和指定的約束條件。

沖量施加時(shí)，有如下表達(dá)式

(1)

這里假設(shè)r(t+Δt)=f(r(t),v(t),t,t+Δt)，v(t+Δt)=g(r(t),v(t),t,t+Δt)為航天器二體運(yùn)動(dòng)方程的解。

對(duì)于1個(gè)中間沖量i≠1,i≠n,n≥2，需要滿足條件如下

(2)

第一沖量作用前，對(duì)應(yīng)的初始條件滿足

(3)

終端約束如下

(4)

同時(shí)滿足變軌時(shí)刻約束

t0≤t1

(5)

以及路徑約束

Cl≤C[r(t),v(t),t,p]≤Cu

(6)

和沖量時(shí)間間隔約束

ti+1-ti≥tinterval(i=1,…,n-1)

(7)

其中tinterval為沖量施加最小時(shí)間間隔。

性能指標(biāo)函數(shù)為

(8)

所以上述多沖量固定時(shí)間燃料最省交會(huì)可轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。為了更好的處理終端約束，引入Lambert算法用于終端條件的自動(dòng)滿足，使得迭代過程中所產(chǎn)生的每一個(gè)解均為可行解。此處選擇優(yōu)化變量為

X=(t1,…,tn,Δv1,…,Δvn-2)T

(9)

最短時(shí)間攔截的模型與上述類似，主要不同之處在于：攔截問題中追蹤航天器的終端速度不受約束；優(yōu)化變量為X=(t1,…,tn,tf,Δv1,…,Δvn-1)T，性能指標(biāo)為J=tf-t0。

2 混合遺傳算法

GA采用隨機(jī)搜索原理，包括選擇、交叉、變異等操作尋優(yōu)，具有較強(qiáng)的全局搜索能力和魯棒性，但其局部搜索能力較弱，結(jié)果具有一定的隨機(jī)性。SQP算法是軌跡優(yōu)化中應(yīng)用較為廣泛的一種約束非線性優(yōu)化算法，其收斂速度快，可靠性高，國(guó)內(nèi)外許多大型優(yōu)化軟件都是基于該算法編寫的。但該算法需要一個(gè)較好的初始點(diǎn)。本文將兩者相結(jié)合，首先利用GA的全局搜索能力進(jìn)行初始優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果提供給SQP法作為初始點(diǎn)，這種串行優(yōu)化策略結(jié)合了GA和SQP的優(yōu)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的全局和局部搜索能力，同時(shí)算法的計(jì)算速度和精度得到了明顯的提高。算法流程如圖1。

圖1 混合遺傳算法計(jì)算流程圖

文中遺傳算法(GA)編碼方式采用實(shí)數(shù)編碼，分別選擇隨機(jī)均勻選擇算子、算術(shù)交叉算子、自適應(yīng)變異算子進(jìn)行選擇、交叉、變異等操作，并在選擇中采用了最優(yōu)保存策略，以提高算法的運(yùn)行效率和收斂速度。GA種群規(guī)模為50，交叉概率為0.8。單獨(dú)GA的最大進(jìn)化代數(shù)為50，GA+SQP算法的遺傳最大進(jìn)化代數(shù)為30。

3 仿真算例

首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)量綱化操作，令DU為無(wú)量綱的距離單位，1DU=6371.004km，TU為無(wú)量綱的時(shí)間單位，1TU=805.4581s，因此，對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱速度單位為1DU/TU=7909.7895m/s，此時(shí)對(duì)應(yīng)的地球引力常數(shù)μ為1。

追蹤器初始軌道要素Ec0=(6871km,0.001,97.375°,60°,20°,280°)，目標(biāo)點(diǎn)軌道要素Ec0=(7171km,0.01,100°,55°,30°,140°)。轉(zhuǎn)移時(shí)間滿足t∈[t0,tf]，其中，t0=0s，tf=4.5TU=4.5*805.4581s。最小沖量時(shí)間間隔tinterval=0.0124*4.5TU。

采用GA，SQP，GA+SQP算法進(jìn)行仿真。仿真所用計(jì)算機(jī)的配置為Inter Pentium D CPU 3.00GHz 2.99GHz，3.25G內(nèi)存。

3.1 固定時(shí)間燃料最優(yōu)交會(huì)

對(duì)于不同的沖量次數(shù)，分別采用GA，SQP和GA+SQP算法進(jìn)行優(yōu)化仿真?？紤]到算法的隨機(jī)性，對(duì)于給定的沖量次數(shù)，每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行10次，每次的初始點(diǎn)均由計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果由表1給出。針對(duì)不同的沖量次數(shù)，表2給出了GA+SQP算法獲得的多沖量燃料最優(yōu)交會(huì)的最優(yōu)解。

分析表1可知，SQP算法的計(jì)算速度最快，GA+SQP算法次之，GA算法效率最低；但是通過比較10次計(jì)算的均值可以發(fā)現(xiàn)，SQP算法除了3次脈沖的情況外，其他情況10次計(jì)算的均值與最優(yōu)值有不小的差距，而GA+SQP算法的均值幾乎與最優(yōu)值相同，說明SQP算法隨機(jī)性強(qiáng)，全局搜索能力較弱，獲得全局最小值的概率較小，GA+SQP算法10次計(jì)算得到的結(jié)果與最優(yōu)解均很接近，相對(duì)于SQP算法具有更強(qiáng)的全局搜索能力；通過表中的方差一項(xiàng)也可以看出SQP算法的隨機(jī)性高，不如GA+SQP算法穩(wěn)定；由于GA算法采用隨機(jī)搜索方法，該算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，獲得全局最優(yōu)值的概率較大，多次計(jì)算獲得的最小值可能達(dá)到全局最小。GA+SQP算法的串行優(yōu)化策略結(jié)合了GA算法和SQP算法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)具有了較強(qiáng)的全局和局部搜索能力，提高了算法的計(jì)算速度和精度，其優(yōu)化的綜合性能最高。分析仿真結(jié)果可知，對(duì)于本算例而言，最優(yōu)的多沖量燃料最優(yōu)變軌不存在初始和末端自由飛行。為了實(shí)現(xiàn)燃料最優(yōu)交會(huì)，交會(huì)時(shí)間達(dá)到最大，這也說明了燃料和時(shí)間是2個(gè)完全矛盾的指標(biāo)。多沖量比兩沖量更節(jié)省燃料。考慮到數(shù)值計(jì)算的誤差，可以認(rèn)為3、4、5沖量交會(huì)消耗的總速度增量大小相等?？梢妼?duì)于多沖量變軌而言，增加沖量次數(shù)并不能顯著的降低燃料消耗，其意義在于能以較小的單次沖量，實(shí)現(xiàn)最終的變軌任務(wù)。

另外，由仿真過程可知，對(duì)沖量變軌時(shí)刻歸一化處理能有效提高算法的優(yōu)化性能和收斂速度。

3.2 最短時(shí)間攔截

仿真中最小沖量時(shí)間間隔tinterval=0.0124*4.5TU=44.944562s。最短時(shí)間攔截的仿真結(jié)果如下，圖2為用混合遺傳算法得到的3次沖量最優(yōu)變軌的位置矢量和速度矢量時(shí)間歷程。表3給出了混合遺傳算法計(jì)算出的最優(yōu)解。

對(duì)于不同的變軌次數(shù)，由于優(yōu)化指標(biāo)為轉(zhuǎn)移時(shí)間最短，故變軌消耗的總速度增量大小均達(dá)到允許的最大值，但兩沖量變軌除外，這是由于單次沖量大小有限，故沖量次數(shù)較少時(shí)，將會(huì)對(duì)變軌能力產(chǎn)生較大的限制。多沖量變軌的最后一次速度增量亦為允許的單次沖量最大值，表明了對(duì)于變軌能力受限的情況而言，時(shí)間最短攔截要求變軌能力達(dá)到飛行器所能提供的能力上限。注意到?jīng)_量時(shí)刻的間隔均為最小間隔，說明優(yōu)化過程使每次沖量施加的時(shí)刻盡量的靠近，從4次沖量變軌和5次沖量變軌的優(yōu)化結(jié)果來(lái)看，出現(xiàn)了零沖量的情況，說明4次沖量和5次沖量的最優(yōu)結(jié)果不如3次沖量變軌的結(jié)果。結(jié)果表明，沖量次數(shù)的增加會(huì)增加攔截時(shí)間。

表1 多沖量燃料最優(yōu)交會(huì)優(yōu)化統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 混合遺傳算法獲得的多沖量燃料最優(yōu)交會(huì)優(yōu)化解

表3 混合遺傳算法獲得的多沖量時(shí)間最短攔截優(yōu)化解

4 結(jié)論

研究了航天器遠(yuǎn)程導(dǎo)引多沖量變軌問題。建立了基于數(shù)值解法的多沖量變軌模型，對(duì)燃料最優(yōu)交會(huì)問題和最短時(shí)間攔截問題進(jìn)行了仿真，針對(duì)不同的沖量次數(shù)，對(duì)比了GA，SQP及混合遺傳算法的性能，得到了相應(yīng)的最優(yōu)沖量施加時(shí)刻和大小。從優(yōu)化的過程來(lái)看，混合遺傳算法的綜合性能最高。分析最優(yōu)變軌結(jié)果得知：對(duì)于燃料最優(yōu)交會(huì)問題，3次沖量變軌相比于2次沖量變軌能夠顯著地減小燃料消耗，但是繼續(xù)增加沖量次數(shù)沒有效果。對(duì)于最短時(shí)間攔截問題，要求變軌能力達(dá)到飛行器所能提供的能力上限，并且增加沖量次數(shù)會(huì)增加攔截時(shí)間。

參 考 文 獻(xiàn)

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