高申翔 韓 璐 霍 瑩 桑志勇

(中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部，江陰 214431)

0 引言

評(píng)定測(cè)量不確定度通常有GUM法和蒙特卡洛法[1]。GUM法是工程上經(jīng)常使用的方法，其核心是標(biāo)準(zhǔn)偏差理論和基于多元函數(shù)全微分的不確定度傳播律[2]。但是對(duì)于函數(shù)形式很復(fù)雜的測(cè)量模型，解析輸入量的偏導(dǎo)函數(shù)很繁瑣，以致于有時(shí)無(wú)法用解析的方法求解輸出量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。本文介紹的方法是：當(dāng)我們知道了輸出量和輸入量的函數(shù)關(guān)系，也知道每個(gè)輸入量的最佳估計(jì)值及其不確定度(或分布規(guī)律)時(shí)，可以考慮用數(shù)值方法計(jì)算輸入量在特定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，再計(jì)算輸出量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

1 不確定度傳播律及多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算

假設(shè)有測(cè)量模型如式(1)，其中Y是被測(cè)量，也叫輸出量；Xi(i=1,2,…,N)為輸入量。

Y=f(X1,X2,…,XN)

(1)

如果Xi相互獨(dú)立，它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為σXi，則Y的標(biāo)準(zhǔn)偏差為[3]

(2)

式(2)即不確定度傳播律，其中?f/?Xi是f關(guān)于Xi的偏導(dǎo)函數(shù)，也叫Xi的靈敏系數(shù)。

根據(jù)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義[4]，對(duì)于式(1)，如果f在點(diǎn)P=(x1,x2,…,xN)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)Xi在點(diǎn)P處有增量Δxi，其它自變量保持不變時(shí)，Y有增量

Δyi=f(x1,x2,…,xi+Δxi,…,xN)-f(x1,x2,…,xN)

(3)

如果極限

(4)

存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f在點(diǎn)P處對(duì)Xi的偏導(dǎo)數(shù)。

點(diǎn)P即為輸入量的最佳估計(jì)值。如果Xi的變化很小，則Xi在點(diǎn)P處的偏導(dǎo)數(shù)近似為

(5)

增量Δxi的確定方法是：根據(jù)所掌握的Xi的分布信息，估算其分布區(qū)間半寬度[5]，將Xi的分布區(qū)間半寬度作為Δxi。具體有以下幾種情況：

1)已知Xi的擴(kuò)展不確定度U，則Δxi=U；

2)已知Xi的誤差限為±a，則Δxi=a；

3)已知Xi的標(biāo)準(zhǔn)偏差s和概率分布，則Δxi=kp·s；kp是與Xi的分布形式和置信概率有關(guān)的包含因子。如果不知道Xi的分布，則假定它服從均勻分布(矩形分布)[3]。

2 測(cè)量不確定度的數(shù)值評(píng)定

下面用一個(gè)實(shí)例介紹測(cè)量不確定度的數(shù)值評(píng)定方法。

在無(wú)線(xiàn)電校準(zhǔn)中，用交替比較法校準(zhǔn)微波功率敏感器時(shí)，如果我們考慮失配對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，則被校準(zhǔn)功率敏感器的校準(zhǔn)因子為[6]

(6)

式中，輸入量Kbs，Pbu和Pbs為標(biāo)量；ΓG，Γu和Γs為矢量；將式(6)化為標(biāo)量形式

(7)

首先介紹式(7)中各量的物理意義及相關(guān)數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 式(7)中各量的物理意義及相關(guān)數(shù)值

評(píng)定過(guò)程如下：

1)將各輸入量的最佳估計(jì)值代入式(7)計(jì)算Kbu的最佳估計(jì)值。

2)根據(jù)有關(guān)信息(校準(zhǔn)證書(shū)、測(cè)量?jī)x器說(shuō)明書(shū)或重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)等)確定各輸入量的最大變化量Δxi。

對(duì)于本例，標(biāo)準(zhǔn)功率座校準(zhǔn)因子的最大變化量為其校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度U；直流替代功率的最大變化量為功率計(jì)的測(cè)量誤差限；反射系數(shù)模值和相角的最大變化量為矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的測(cè)量誤差限。

3)根據(jù)式(5)計(jì)算每個(gè)輸入量在最佳估計(jì)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。

4)用A類(lèi)或B類(lèi)方法評(píng)定各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度[3]。

5)根據(jù)式(2)計(jì)算輸出量Kbu的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

6)計(jì)算輸出量Kbu的擴(kuò)展不確定度。因?yàn)檩斎肓勘姸嗲颐總€(gè)輸入量的影響都比較小，可以認(rèn)為輸出量服從正態(tài)分布[7]。如果取置信概率為95%，則Kbu的擴(kuò)展不確定度為

U=1.96·σ(Kbu)

(8)

3 計(jì)算工具

從評(píng)定過(guò)程可以看出，該方法的計(jì)算量是很大的，實(shí)踐中可以針對(duì)每個(gè)測(cè)量模型編制計(jì)算工具。筆者針對(duì)式(7)用Excel編制了電子計(jì)算表格，只要輸入各輸入量的最佳估計(jì)值和不確定度信息，就可以立即得到輸出量的擴(kuò)展不確定度。限于篇幅，這里不詳細(xì)介紹。

4 對(duì)計(jì)算誤差的評(píng)估

不確定度傳播律是對(duì)多元函數(shù)泰勒公式的一階近似[2]，基于式(5)的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)值計(jì)算也存在誤差，因此式(8)存在方法誤差。通常用蒙特卡洛法驗(yàn)證不確定度傳播律的評(píng)定結(jié)果[8-9]。本文以蒙特卡洛法的試驗(yàn)結(jié)果為參照，針對(duì)式(7)做了方法比對(duì)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如表2所示。對(duì)靈敏系數(shù)較大的Pbs做了方法誤差與輸入量變化量的相關(guān)性試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表2 計(jì)算方法的比對(duì)試驗(yàn)

表3 計(jì)算誤差與輸入量變化量的比對(duì)試驗(yàn)

從表2可以看出，當(dāng)輸入量的變化量較小時(shí)(具體數(shù)值見(jiàn)表1)，數(shù)值計(jì)算法相對(duì)于蒙特卡洛法的計(jì)算誤差不到1%。由表3進(jìn)一步看出，計(jì)算誤差隨著輸入量變化量的增大而增大，當(dāng)變化量不超過(guò)20%時(shí)，計(jì)算誤差都是可以接受的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)無(wú)線(xiàn)電計(jì)量領(lǐng)域的一個(gè)實(shí)例介紹了復(fù)雜測(cè)量模型不確定度的數(shù)值評(píng)定方法，通過(guò)與蒙特卡洛試驗(yàn)結(jié)果的比較評(píng)估了該方法的計(jì)算誤差。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)輸入量的變化量不超過(guò)20%時(shí)，該方法的計(jì)算誤差一般不超過(guò)25%。與偏導(dǎo)數(shù)的解析計(jì)算法比較，該方法省卻了繁瑣的導(dǎo)函數(shù)推演；與蒙特卡洛法比較，該方法只要編輯公式，不需要寫(xiě)程序代碼，而且計(jì)算時(shí)間比蒙特卡洛法少得多。

[1] 國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局.JJF 1059.2—1999 用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度[S].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2010

[2] 葉德培.測(cè)量不確定度[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1996：22

[3] 國(guó)家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局.JJF 1059.1—1999 測(cè)量不確定度評(píng)定與表示[S].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2000

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].第三版.北京：高等教育出版社，1989

[5] 李慶忠，李春燕.合成不確定度的兩種評(píng)估方法[J].計(jì)量技術(shù)，2007(6)：57-59

[6] 馮新善，等.高頻、微波功率的計(jì)量測(cè)試[M].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，1985：123-125

[7] 盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，1990：134

[8] 高申翔，石明華，韓璐 等.失配誤差的計(jì)算機(jī)輔助分析與評(píng)定 [J].計(jì)量技術(shù)，2012(10)：19-21

[9] 崔孝海，曲璐.蒙特卡羅方法在微波功率測(cè)量不確定度分析中的應(yīng)用[J].計(jì)量學(xué)報(bào)，2008(1)：77-79