張 威，史 翔，李東波

（1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2. 南京工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)曲面建模與過渡螺旋線設(shè)計(jì)

張 威1，史 翔2，李東波1

（1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2. 南京工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

0 引言

傳統(tǒng)絲桿只能進(jìn)行不變導(dǎo)程的螺旋傳動(dòng)，絲桿的轉(zhuǎn)動(dòng)與螺母的直線運(yùn)動(dòng)保持嚴(yán)格的線性關(guān)系。為了使螺母運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到設(shè)計(jì)人員的具體要求，只能通過對驅(qū)動(dòng)絲桿電機(jī)進(jìn)行轉(zhuǎn)速的設(shè)計(jì)。即使這樣，也不能精確滿足螺母運(yùn)動(dòng)變化要求。在這樣的情況下，變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)被提出，實(shí)現(xiàn)了絲桿轉(zhuǎn)動(dòng)與螺母平動(dòng)的非線性關(guān)系，并且經(jīng)過長期的試驗(yàn)和設(shè)計(jì)，目前在地鐵上已經(jīng)得到了初步應(yīng)用。

在國內(nèi)，對變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)副的研究只是剛剛起步，國外已經(jīng)有學(xué)者對變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)進(jìn)行了相關(guān)研究。Ming J. Tsai[1]對變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率進(jìn)行了評價(jià)分析。Yan 和Cheng[2]對傳遞滾子的曲面輪廓進(jìn)行了相關(guān)研究。Chiou[3]研究了變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性從理論上進(jìn)行了分析。本文主要針對單滾子螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)嚙合曲面進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并針對螺旋曲面進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1 螺旋面方程

在工業(yè)生產(chǎn)中，絲杠螺紋最常用的加工工藝是銑削加工，本節(jié)不考慮加工誤差問題，而是把重點(diǎn)放在曲面形狀。刀具沿著圓柱螺旋線移動(dòng)過程和與其形狀相同的滾子進(jìn)行傳動(dòng)過程是相仿的。銑刀半徑是不能忽略的，加工出的圓柱螺旋槽實(shí)際是不同直徑的圓柱上螺旋線的徑向排列，它們的導(dǎo)程相等，螺旋角不等，直徑越大則螺旋角也越大。圖1表示外螺旋線和內(nèi)螺旋線螺旋升角的比較，N-N’是外螺旋線的法向截面?？梢园l(fā)下，只有外螺旋線與滾子外圓法向截面上相切，而內(nèi)螺旋線由于其螺旋升角大于外圓螺旋線的，不會(huì)與滾子外圓在法向截面相切。這樣螺旋槽的法向截型發(fā)生變形，即在N-N’截面上，螺旋槽型面上窄下寬。

這樣，螺旋面的母線與絲桿軸線不相交，螺旋槽側(cè)面不是正螺旋面。在絲桿坐標(biāo)系中，Z軸為絲桿軸線，滾子圓周方向?yàn)閄軸，XYZ符合右手螺旋法則。螺旋面的準(zhǔn)線參數(shù)方程為：

因?yàn)殂姷杜c螺旋面外輪廓線相切，切點(diǎn)與絲桿軸線有一定偏移量，該偏移量為r·sin（λ），螺旋升角λ與螺旋線半徑有關(guān)。則螺旋面母線參數(shù)方程為：

圖1 螺旋槽剖面圖

根據(jù)式（1）、式（2）得到螺旋槽側(cè)面參數(shù)方程為：

2 變半徑變導(dǎo)程螺旋線數(shù)學(xué)模型

一般螺旋線的參數(shù)方程為：

其中，半徑r和旋轉(zhuǎn)角度f是軸向位移的函數(shù)。

螺旋線的螺旋特性可以由統(tǒng)一的螺旋參數(shù)來描述，即螺旋角和導(dǎo)程雖然二者概念不同，但描述螺旋線的同一特性。若考慮螺旋線的旋轉(zhuǎn)半徑，則表述了圍繞任意旋轉(zhuǎn)體的變導(dǎo)程螺旋線，螺旋線上任意點(diǎn)P坐標(biāo)（r，θ，z），螺旋升角λ為z的函數(shù)。

圖2 變半徑變導(dǎo)程螺旋線坐標(biāo)系

如圖2所示動(dòng)點(diǎn)P為加工變導(dǎo)程螺旋槽刀具回轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)體母線的交點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度的三個(gè)分量分別為軸向速度VA，周向速度Vt，徑向速度Vg。Vu=VA+ Vg表示沿P點(diǎn)處回轉(zhuǎn)體母線切線方向速度。其中螺旋升角用速度分量表示為：

所以旋轉(zhuǎn)體上螺旋線的局部形狀由θ（z）、λ（z）和 r（z）完全描述。

螺旋線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為：

將z用θ表示，則變半徑變導(dǎo)程螺旋線的參數(shù)方程為：

本論文研究對象是變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)中，滾子傳動(dòng)軌跡是圓柱螺旋線。當(dāng)螺旋線的所在旋轉(zhuǎn)曲面為圓柱面時(shí)，r為常數(shù)a。則函數(shù)f（t）表征了變導(dǎo)程軌跡。

由此，若f = f（t），則：

由此可知，給定任意常半徑變導(dǎo)程螺旋線參

數(shù)方程l(t)= (ac osθ(t),as inθ(t),f(t))，其任一點(diǎn)

3 圓柱面過度曲線設(shè)計(jì)

3.1 圓過渡曲線設(shè)計(jì)

圓柱面上的過渡曲線需要滿足在兩個(gè)連接點(diǎn)處至少一階連續(xù)，過渡圓能滿足基本的過渡曲線要求，并且本身具有n階連續(xù)特征。以下對圓柱面上兩條常導(dǎo)程螺旋線進(jìn)行圓過渡。

將圓柱面展開，并使曲線G以圓弧過渡連接曲線L1和L2，如圖3所示。

圖3 圓過渡曲線

建立展開圖中局部坐標(biāo)系，A點(diǎn)坐標(biāo)為A(atA,zA)，A點(diǎn)斜率為kA=pA/2πa；B點(diǎn)坐標(biāo)為B(atB,zB)，B點(diǎn)斜率為kB=pB/2πa。易得O'點(diǎn)坐標(biāo)為：

圓弧的曲率半徑為：

則在全局坐標(biāo)系下此圓柱面圓弧曲線方程為：

3.2 多項(xiàng)式曲線設(shè)計(jì)

如圖4中，L1是導(dǎo)程為pA的螺旋線，L2是導(dǎo)程為pB的螺旋線，A為L1的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為(acostA,asintA,zA)；B為L2的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為(acostB,asintB,zB)。要求構(gòu)造一條連接曲線L1，L2的光滑曲線G，使得曲線G分別與L1和L2在A點(diǎn)和B點(diǎn)相切。

圖4 連接A、B兩點(diǎn)的曲面族示意圖

令曲線G參數(shù)方程為：

此時(shí)將空間曲線轉(zhuǎn)化為平面曲線進(jìn)行研究，得到了連接曲線L1和曲線L2的過渡曲線族G（t，β），β為曲線形狀參數(shù)。原螺旋線的坐標(biāo)轉(zhuǎn)變成直角坐標(biāo)Sxoy，這時(shí)的參數(shù)方程為：

由于需滿足四個(gè)邊界條件，將函數(shù)z = f（t）定義為四次多項(xiàng)式函數(shù)：

其中，mt為待定系數(shù)，β為形狀參數(shù)。

將邊界條件分別代入方程（12），得線性方程組：

其中β決定了過渡曲線的性質(zhì)。

[1]Ming J. Tsai；Jan-shiung Sun and Jan-chung Chu.Kinematic design optimization of the variable lead screw mechanism with cone meshing element. Mech. Mach.Theory

[2]J.Y. Liu；H. S. Yan. Surface geometry of variable pitch cylindrical cams with conical meshing elements. ASME Transactions,Jounal of Mechanical Design. 1994,116

[3]S. T. Chiou. Computer integrated design and manufacturing of varialbe pitch lead screw transmission mechanisms.Dynamic designs. 1993,Vol. 31

[4]蕭仲敏. 復(fù)雜曲面CAM系統(tǒng)設(shè)計(jì)的研究[J]. 制造業(yè)自動(dòng)化,2011,33(2).

[5]李和. 汽車曲面品質(zhì)分析及光順優(yōu)化方法研究[J]. 制造業(yè)自動(dòng)化,2011,33(2).

Surface modeling and transition helix design for variable lead screw transmission

ZHANG Wei1，SHI Xiang2，LI Dong-bo1

本文對變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)中螺旋面的通用曲面方程進(jìn)行建模，建立了螺旋面的變半徑變導(dǎo)程準(zhǔn)線方程，并采用圓過渡和多項(xiàng)式曲線過渡兩種方法對螺旋線即準(zhǔn)線的過渡部分進(jìn)行了設(shè)計(jì)。

變導(dǎo)程；螺旋傳動(dòng)；過渡螺旋線

張威（1982 -），男，河北唐山人，博士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械電子工程。

TH391

A

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2012-09-13