【摘要】取樣定理是“信號(hào)與系統(tǒng)”、“數(shù)字信號(hào)處理”等課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。本文針對(duì)大多數(shù)教科書對(duì)于取樣定理的推導(dǎo)過程不夠完整，造成學(xué)生理解困難的問題，通過兩種方法對(duì)取樣定理的原理進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，降低了學(xué)生理解的難度，提高了教學(xué)質(zhì)量，取得了較好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)字信號(hào)處理 信號(hào)與系統(tǒng) 取樣定理

【中圖分類號(hào)】G4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）02-0154-02

由于相對(duì)于連續(xù)信號(hào)，離散信號(hào)的處理更為方便、靈活，因此在很多的實(shí)際應(yīng)用過程中，首先將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的離散信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行加工處理，再將處理后的離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。這樣一來，就出現(xiàn)了一個(gè)問題：連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)，相應(yīng)的離散信號(hào)是否保留了原連續(xù)信號(hào)的全部信息，能不能由離散信號(hào)不失真地還原出原來的連續(xù)信號(hào)？時(shí)域取樣定理（以下簡稱取樣定理）很好地回答了這個(gè)問題，它為連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。因此，取樣定理是“信號(hào)與系統(tǒng)”、“數(shù)字信號(hào)處理”等課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。本文將重點(diǎn)探討取樣定理的教學(xué)。

一、取樣及取樣定理的內(nèi)容

連續(xù)信號(hào)的取樣是由取樣器（實(shí)際中為A/D轉(zhuǎn)換器）來完成。取樣器就相當(dāng)于一個(gè)電子開關(guān)，每隔T秒閉合一次，并對(duì)該電子開關(guān)的輸出進(jìn)行編碼，得到原來連續(xù)信號(hào)xa（t）在nT時(shí)刻的樣本值x（n）=xa （nT），如圖1所示：

圖1 連續(xù)信號(hào)的取樣

奈奎斯特（Nyquist）和香農(nóng)（Shannon）分別于1928年和1949年提出了取樣定理，取樣定理指出[1-9]：一個(gè)頻譜在區(qū)間（-fh，fh）以外都為零的頻帶有限信號(hào)xa（t），可以唯一地由其在均勻間隔Ts（Ts<1/2fh ）上的樣值點(diǎn)x（n）確定。

二、取樣定理的推導(dǎo)證明

在介紹取樣定理時(shí)，很多教材[1-6]中都給出了其推導(dǎo)證明，然而其推導(dǎo)過程引入了取樣脈沖函數(shù)δT（t）和取樣函數(shù)■a（t），如圖2所示，通過分析取樣信號(hào)■（t）的頻譜與連續(xù)信號(hào)xa（t）的頻譜關(guān)系，得出當(dāng)取樣頻率fs小于連續(xù)信號(hào)xa（t）最高頻率的兩倍時(shí)，頻譜發(fā)生混疊，無法還原出原來的連續(xù)信號(hào)xa（t）；當(dāng)取樣頻率fs大于連續(xù)信號(hào)xa（t）最高頻率的兩倍時(shí)，沒有發(fā)生頻譜混疊，可以通過低通濾波器無失真地還原出原來的連續(xù)信號(hào)xa（t），從而推導(dǎo)出取樣定理的內(nèi)容。然而，這里的取樣信號(hào)仍然是一個(gè)連續(xù)信號(hào)，它并不是最終的離散信號(hào)x（n），沒有證明取樣定理論述的連續(xù)信號(hào)xa（t）和離散信號(hào)x（n）的頻譜關(guān)系。因此，使得學(xué)生對(duì)于取樣定理的原理難以理解掌握。

圖2 抽樣器的原理

針對(duì)以上問題，有必要分析連續(xù)信號(hào)xa（t）和離散信號(hào)x（n）的頻譜關(guān)系，對(duì)取樣定理的原理進(jìn)行完整地推導(dǎo)。以下分別通過直接法和間接法來推導(dǎo)取樣定理的原理。

1.直接法

設(shè)xa（t） 的頻譜為Xa（jΩ），離散信號(hào)x（n）的頻譜為X（ejω）， 由連續(xù)信號(hào)傅立葉變換和序列傅立葉變換可知：

xa（t）=■■X■（jΩ）e■dΩ （1）

x（n）=■■X（e■）e■dω■ （2）

在（1）式中令t=nT（T為時(shí)域取樣周期，取樣頻率fs=1/T），可得

xa（nT）=x（n）=■■X■（jΩ）ejΩtndΩ

=■■■X■（jΩ）ejΩtndΩ （3）

對(duì)（3）式作變量代換，令Ω=Ω'+■，可得

x（n）=■■■X■[j（Ω'+■）]e■dΩ'

=■■■X■[j（Ω+■）]e■dΩ （4）

令ω=ΩT，對(duì)（4）整理可得

x（n）=■■■■X■[j（■）]e■dω （5）

對(duì)比（2）式和（5）式可得

X（e■）=■■X■[j（■）] （6）

上式給出了連續(xù)信號(hào)頻譜與離散信號(hào)頻譜的關(guān)系式，從中可以看出，由連續(xù)信號(hào)的頻譜可以通過以下兩部得到離散信號(hào)的頻譜：第一步，對(duì)連續(xù)信號(hào)的頻譜進(jìn)行換元、水平軸上的尺度展縮，信號(hào)的最高角頻率由Ωh變化到ΩhT；第二步，對(duì)頻譜圖以2π的整數(shù)倍為間隔進(jìn)行平移，然后進(jìn)行疊加，其幅值變?yōu)樵瓉淼?/T。由以上過程可知，只要ΩhT≤ π，即原連續(xù)信號(hào)的最高頻率2fh< fs=1/T，則頻譜平移疊加后不會(huì)發(fā)生頻譜的混疊，可以無失真地?fù)Q原出原連續(xù)信號(hào)，取樣定理得證。

2.間接法

間接法可以借助取樣信號(hào)■a（t）的頻譜為橋梁，得出連續(xù)信號(hào)頻譜與離散信號(hào)頻譜的關(guān)系。因?yàn)椤鯽（t）=xa（t）·δT（t）=■xa（nT）δ（t-nT），由傅立葉變換的定義，可得

■a（jΩ）=■xa （nT）e-jnΩT （7）

由序列傅立葉變換的定義可知

X（ejω ）=■x（n）e-jnω =■xa（nT）ejnω （8）

考慮到模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系ω=ΩT，對(duì)比（7）式和（8）可知，取樣信號(hào)■a（t）的頻譜與離散信號(hào)的頻譜是等價(jià)的，可以用取樣信號(hào)■a（t）的頻譜代替離散信號(hào)的頻譜，觀察它們與連續(xù)信號(hào)頻譜的關(guān)系。

由于xa（t）=xa（t）·δr（t） ，根據(jù)傅立葉變換的卷積定理，可以推導(dǎo)得出

■a（jΩ）=■■X■[j（Ω-nΩs）] （9）

由上式可知，取樣信號(hào)（離散信號(hào)）的頻譜可由連續(xù)信號(hào)的頻譜，以取樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓而得到。只要取樣頻率大于連續(xù)信號(hào)最高頻率的兩倍，則不會(huì)發(fā)生頻譜混疊，可以無失真地還原出原連續(xù)信號(hào)，取樣定理得證。

許多教材在推導(dǎo)取樣定理時(shí)，只推導(dǎo)出描述取樣信號(hào)的頻譜可由連續(xù)信號(hào)的頻譜關(guān)系的（9）式，但是并沒有推導(dǎo)指出取樣信號(hào)的頻譜與離散信號(hào)的頻譜是等價(jià)的，從而造成學(xué)生理解的困難。

三、取樣定理的工程應(yīng)用

在實(shí)際應(yīng)用過程中，許多工程信號(hào)不是頻帶有限信號(hào)，即不滿足取樣定理，不能直接取樣。需要在取樣之前加入抗混疊低通濾波器，去掉f>fs/2的高頻成分，然后在進(jìn)行取樣。圖3給出加抗混疊低通濾波器和不加抗混疊低通濾波器兩種情況下，連續(xù)信號(hào)與取樣信號(hào)的頻譜圖對(duì)比。從中可以發(fā)現(xiàn)，加入抗混疊低通濾波器之后，頻譜的混疊失真可以大大減小。

圖3 連續(xù)信號(hào)與取樣信號(hào)的頻譜圖對(duì)比 （a）加抗混疊低通濾波器 （b）不加抗混疊低通濾波器

四、結(jié)論

取樣定理是“信號(hào)與系統(tǒng)”、“數(shù)字信號(hào)處理”等課程非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一，本文針對(duì)大多數(shù)教科書對(duì)于取樣定理的推導(dǎo)過程不夠完整，造成學(xué)生理解困難的問題，采用直接法和間接法兩種方法對(duì)取樣定理的原理進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，減低了學(xué)生理解的難度，同時(shí)通過取例使得學(xué)生對(duì)于取樣定理有了更加直觀的理解，取得了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳大正. 信號(hào)與線性系統(tǒng)分析（第四版）[M]. 北京： 高等教育出版社，2005.

[2] 鄭君里， 應(yīng)啟衍， 楊為理. 信號(hào)與系統(tǒng)（第三版）[M]. 北京： 高等教育出版社，2011.

[3] 管致中， 夏恭恪， 孟橋. 信號(hào)與線性系統(tǒng)（第五版）[M]. 北京： 高等教育出版社，2011.

[4] 程佩青. 數(shù)字信號(hào)處理（第三版）[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社，2007.

[5] 尹為民，歐陽華，錢美. 數(shù)字信號(hào)處理[M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[6] Sanjit K. Mitra. 數(shù)字信號(hào)處理——基于計(jì)算機(jī)的方法（第三版）[M].北京： 電子工業(yè)出版社，2006.

[7] 王懷興. 基于LabVIEW的抽樣定理仿真研究[J]. 湖北第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，29（2）：30-32.

[8] 王春興. 抽樣定理對(duì)正弦特征信號(hào)適應(yīng)性的討論[J]. 山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（3）71-72.

[9] 楊巧寧，李學(xué)斌，王學(xué)偉.信號(hào)與系統(tǒng)中抽樣定理的教學(xué)探討[J]. 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2012，24（3）：109-111.

作者簡介：

楊忠林（1978-），男，江西九江人，博士研究生，海軍工程大學(xué)講師。