摘要：我們重新探究了最近推出的主體模型[ACS 11，99（2008）]（該模型認為經濟增長是教育（人力資本的形成）和創(chuàng)新的結果），并且探討了主體的社交網絡對主體決定接受教育和產生新的想法的影響。我們考慮了規(guī)則和隨機網絡。并且將調查結果與平均場（代表性主體）模型的預測結果進行了比較。

關鍵詞：經濟物理學 基于主體的模型 人力資本 復雜網絡

1 概述

最近的宏觀經濟增長理論模型都強調了經濟增長的最終源頭。在這些所謂的“內生經濟增長”模型中，經濟的長期增長率依賴于對經濟的一些內部特征進行描述的一組參數。這些特征可能與某種偏愛（例如未來消費的相對重要性）、一些技術限制（例如總量生產函數的形狀）、人口統(tǒng)計因素、經濟開放程度、教育機構的質量、以及（最后但同樣重要的是）產生并且采用創(chuàng)新技術的能力有關，而產生并且采用創(chuàng)新技術的能力通常與教育、研究和開發(fā)活動有關。

在經濟學文獻中，有很大一部分基于主體的模型都與創(chuàng)新和擴散過程有關（[1]-[5]）。其中有些模型從演化經濟學的角度來看待經濟增長，例如納爾遜和溫特的開創(chuàng)性著作[6]。后者強調了一些與微觀經濟技術變革和宏觀經濟增長方式之間的建模一致性有關的新古典經濟學理論的缺點。演化經濟學方法進而尋求將微觀和整體狀況成功地組合在一起，通常都采用計算機仿真建模方法。在與經濟增長模型有關的各種方法中，阿羅約和圣奧濱[7]的方法，也就是作者在本文中提出的方法，以內生經濟增長文獻為基礎，在演化經濟學范疇內進行了一些創(chuàng)新。他們都是信賴基于創(chuàng)意的宏觀經濟增長的先驅者，他們認為宏觀經濟增長取決于接受教育的決策、結果之間的相互作用以及主體之間的動態(tài)因素，而不是取決于充盈整個經濟的通常稱之為局部創(chuàng)新過程的那種東西。在他們的內生經濟增長模型中，創(chuàng)新或者發(fā)明是經濟增長的主要引擎。這些創(chuàng)新是非競爭性的，在某種意義上來說，一些人可以使用創(chuàng)新技術，但同時也不會削弱其他人使用這種創(chuàng)新技術的可能性。很容易找到與經濟增長相關的一些例子。例如大功率發(fā)動機、電力、或者電腦幾乎立即就會出現(xiàn)在我們的腦海中。根據瓊斯的提法，創(chuàng)意是由技術工人產生的[8]。但是，阿羅約和圣奧濱的模型則采用更加傳統(tǒng)的方法來確定勞動力人口中哪些是技術熟練的工人的方法。在他們的基于主體的方法中，個人會受到相互作用或者鄰域效應的影響，接受教育的決定不僅取決于經濟推理，而且還取決于某種程度的社會制約。正如以后將會變得越來越明晰的那樣，整體人口中技術熟練的或者受過教育的人口比重是與經濟增長率有關的一個關鍵因素。

相互作用的主體網絡在各種不同的領域的建模中發(fā)揮著重要的作用，諸如計算機科學、生物學、生態(tài)學、經濟和社會學。在這些網絡中的一個重要的概念就是兩個主體之間的距離。根據具體的情況，可以通過主體之間的相互作用的強度、主體之間的空間距離，或者通過一些其他的能夠表明在主體之間存在一種聯(lián)系的標準來測定距離?；谶@個概念，人們創(chuàng)建了一些全局參數來體現(xiàn)這些網絡的連接性結構特征。其中的兩個參數是聚類系數（CC）和特征路徑長度（CPL）或者測地距離。聚類系數測量擁有共同鄰居的兩個主體之間發(fā)生連接的平均概率。特征路徑長度是連接每對主體的最短路徑的平均長度。這些系數足以將隨機連接網絡與有序網絡以及小世界網絡區(qū)分開來。在有序網絡連接中，主體就像在晶格中一樣相互連接在一起，聚類程度很高，特征路徑長度也很大。在隨機連接網絡中，聚類程度和路徑長度都很低，而在小世界網絡[9]、[10]中，聚類程度可能很高，但路徑長度卻都處于一個較低的水平。我們從一個規(guī)則的結構開始，并且應用了一個隨機重新接線程序（插入到規(guī)則和隨機網絡之間），我們發(fā)現(xiàn)[9]有一個廣闊的結構區(qū)間，在該結構區(qū)間上其特征路徑長度幾乎和隨機圖上的特征路徑長度一樣小，而聚類系數卻遠遠高于隨機情況下的預計值以及小世界網絡中獲得的數值。創(chuàng)建小世界網絡的另一種方法就是在規(guī)則晶格中添加少量的隨機連接捷徑。

在現(xiàn)實的社交網絡中存在一個特征路徑長度小但聚類程度卻非常高的網絡，并且其節(jié)點連接的分布也不均勻。這種類型的網絡的一些其他顯著特點包括正相關性（協(xié)調組合）以及存在群落結構[11]、[12]。

在本文中，我們使用阿羅約和圣奧濱引入的模型探討了相互作用的網絡[7]。其目的是要澄清[7]的結論在多大程度上依賴于該著作中假定的主體相互作用的簡化拓撲結構。我們已經模擬了一些網絡的模型，這些模型具有上述的一些特點，也就是規(guī)則正方形晶格、經典隨機圖（ERD″OS-R'enyi）以及小世界網絡模型。并且使用類似于平均場近似的方法對模型進行了分析研究。

在下一節(jié)中我們將回顧原始模型的定義和結果。在第3節(jié)中，我們將展示平均場的結果。第4節(jié)將詳細描述對隨機網絡進行的模擬活動，第5節(jié)專門討論各項結果。最后一節(jié)詳細描述我們得出的結論。

2 阿羅約和圣奧濱模型

在論著[7]引入的模型經濟中，有一個由N個個人組成的恒定人口數量（主體），這些主體將經歷兩個時間段，每一個個人在他人生的第一階段都是一個初級工人，并在他人生的第二個階段成為一個高級工人。雖然會有世代重疊，但我們還可以進一步假設在任何時間t上都有N/2個初級工人和N/2個高級工人。主體要么是熟練的工人，要么是非熟練的工人；一個非熟練的初級工人是非熟練勞動力的一部分，而一個熟練的初級工人只是一個會延遲加入熟練的勞動力隊伍的學生，并且只有在他成為一名（熟練的）高級工人之后才會成為（熟練的）勞動力的一部分。非熟練的初級工人以后將成為非熟練的高級工人。

我們分別用Js（t）、Ju（t）、Ss（t）和Su（t）來表示一個熟練的初級工人、非熟練的初級工人、熟練的高級工人和非熟練的高級工人的總數，這樣我們就可以得到：

每個個人都生活在空間中的固定位置上-在論著[7]中用帶有周期性邊界條件的一維規(guī)則晶格來表示。然后我們就可以用一個“微觀”變量σi來代表主體的狀態(tài)，σi的數值為以下四個數值中的一個數值：σi=0（熟練的初級工人），σi=1（非熟練的初級工人），σi=2（熟練的高級工人）和σi=3（非熟練的高級工人）。

在固定的間隔時間（周期）所有主體的狀態(tài)都按照確定性規(guī)則同時升級。初級狀態(tài)的主體會變成相應的高級狀態(tài)（0→2，1→3）；根據“決策規(guī)則”的結果，一個高級狀態(tài)的主體被一個熟練的或者不熟練的初級工人代替。一個初級主體做出接受教育的決定不僅是在模仿他的鄰居（鄰居效應），而且也會受到外部信息的影響（與熟練和非熟練工人的相對工資有關的信息）。根據模型[7]，如果在他所在的居住區(qū)內熟練工人主體占加權多數，則一個“新生”的主體 i 將會成為一名學生。更確切地說，在（6）式中，ws（wu）表示熟練（不熟練）工人的工資，而α′則是一個外部參數，表示由于貼現(xiàn)率而體現(xiàn)出來的對教育和校正的偏向[13]。如果α′的數值較大，則可以代表對教育的正偏向和/或未來的價值會更低。如果達不到條件（5），則主體i會變成一個非熟練的生產

在模型經濟中，熟練（腦力）和非熟練（體力）工人具有截然不同的作用：腦力勞動者產生想法，而體力勞動者使用現(xiàn)有的想法來生產最終產品。如果用A（t）表示現(xiàn)有的想法存量，則最終的生產函數Y（t）可以寫成：

在上式中，dij表示熟練的高級工人i和j之間的距離。當γ>0時，如果熟練的工人之間彼此相互接近，則（8）式的第二個階段將有利于產生大量的想法，因此，γ（≥0）被稱為團隊效應參數。參數δ與熟練勞動力的邊際生產率有關。

總收入Y由分配的工資構成，也分為非熟練勞動力和熟練勞動力兩部分，Y（t）=Yu（t）+Ys（t）。每類工人所占的份額假定是由一個社會公約造成的[14]，可以用下式表示：

產生的個人工資無論什么時候，在一個新的主體在做出與教育有關的選擇的時候，他都會考慮相對工資w≡ws/wu的當前值（公式5）。請注意，在沒有團隊效應的時候（γ=0），

因此，存在大量的非熟練工人是教育的一種促進劑。

從公式（7）-（12）可以很容易地看出上文所述的動態(tài)因素有兩個微不足道的吸收狀態(tài)：U=0和Ss=0。前一種情況意味著由于過度教育而造成的一種經濟崩潰（Y=0）- 沒有體力勞動者-并且可以通過對方程式（9）和（10）進行修正來避免出現(xiàn)這種情況[7]。當Ss=0時，造成的結果其實不太嚴重，在這種情況下，經濟會停滯不前（ΔY=ΔA= 0），這種情況通常被稱為貧困陷阱。這種系統(tǒng)的漸近狀態(tài)取決于參數值和主體的初始配置。在它還沒有崩潰到吸收狀態(tài)的時候，有限的系統(tǒng)可能會達到一個重要的固定點，熟練工人和非熟練工人會達到恒定的數量。更多的時候，漸近狀態(tài)具有一個顯著的特征，那就是非熟練工人的數量比較固定，而熟練工人的數量則在兩個數值之間波動- 請參閱圖1（a）。這是某些人為的初級升級到高級的規(guī)則造成的后果[15]。不過，可能有人會說恰當的時間單位應是一代（等于兩個時期）并且會認為各代的觀測值都是恒定的狀態(tài)是一種“穩(wěn)定狀態(tài)”。

公式[7]產生了一種初始狀態(tài)，熟練工人和非熟練工人的比例是預先分配好的，并且隨機放置在一個人口數量N上。在確定鄰居的大?。ǚ匠淌?）和外生參數值的時候，考慮了基線和另外幾種方案。在每一種情況下，都重復使用了方程式（5）-（12），直到達到“固定狀態(tài)”。要達到其他的初始狀態(tài)，就要重復操作這個過程。對不同領域內的接受過教育的和未接受過教育的主體分別進行了觀察，特別是在考慮了團隊效應的時候-參見圖2。團隊效應也會造成較高的經濟增長和資格，通常還會造成熟練工人的相對工資較低。我們發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)取決于腦力勞動者的初始數量，如果受過教育的主體的集中度較低，則會導致較低的經濟增長率和較低的熟練工人比例。

3 平均場（代表性主體）方法

在上述模型中，經濟的演變過程是由熟練工人和非熟練工人的總人數直接確定的（以及如果要考慮到團隊效應，還由他們的相對位置決定）。四種類型的主體的隨機初始位置是這個模型的隨機性的唯一源頭，因為對于主體在空間內的特定分布來說，決定（學習或者不學習）的決策是可以預見的。

在平均場近似方法中，我們忽略了微觀變量的波動，并且用一個具有統(tǒng)一的平均場的單個微觀變量的相互作用來替代各種微觀變量的相互作用的詳細形式，而這個統(tǒng)一的平均場依賴于系統(tǒng)的狀態(tài)。在目前的情況下，忽略局部鄰域之間的差異會造成兩個微不足道的結果中的一種結果，“全部受過教育”或者“全部沒有受過教育”。然而，在平均場的框架內，我們可以考慮一個需要隨機地決定是否要接受教育的單個代表性主體，其相對概率取決于當時的熟練工人和非熟練工人的總數比例，就可以得到一個相關的重要模型。在這個平均場模型內（MF），初始條件（或者鄰域）以及概率決策是統(tǒng)一的，而不像原始模型那樣初始條件和確定性決策都是隨機的。更具體地說，根據我們的設置

U*≤N的要求對對參數值設置限制：λ≥1/N。非熟練工人的固定數量與N（方程式（19））無關這一事實顯然是平均場近似方法的一個虛假的結果！但是，其他觀測值的預測結果都與規(guī)則晶格的模擬結果相差不大（見表2），這表明，在沒有團隊效應的情況下，除了穩(wěn)態(tài)增長率依賴于初始值之外，論著[7]引入的模型與平均場模型非常接近。

4 復雜網絡的模擬

論著[7]中使用的環(huán)形拓撲結構顯然是主體之間社會相互作用的一種簡化描述。另一方面，平均場方法假定底層網絡是一個完全圖，在該圖中每一個人都會受到所有其他人的影響，這只是一個適合均勻混合的人群的一種較好的近似方法。在本節(jié)中，我們將展示對更加真實的社交網絡進行的模型模擬。

正如在第2節(jié)中所述的那樣，主體生活在一個網絡的節(jié)點上，我們將這個網絡稱之為影響網絡，因為一個“新生的”主體在做出與教育有關的決定的時候會受到這個網絡上他的鄰居的影響。如果還要考慮團隊的影響（參見方程式（8）），如果每對熟練工人之間的“距離”很小，則產生想法的能力會得到增強。這個距離可以是一個規(guī)則晶格上的歐幾里德距離或者是沿著隨機網絡連接的最短路徑。我們甚至可以考慮在高級熟練工人主體之間存在一個合作網絡，這個合作網絡不同于底層影響網絡。以下列情況為例，有關教育的決定都是以家庭/當地鄰居為基礎而確定的，而腦力勞動者則通過電子郵件或者間接地通過彼此都認識的熟人來與遙遠的城鎮(zhèn)上的同事進行合作。對這種情況進行建模時，可以采用正方形晶格（鄰域的大小為Z=4或者z=8）作為影響網絡，再加上一個小世界作為合作網絡。

規(guī)則晶格

我們對具有周期性邊界條件和相同數量的鄰居的環(huán)形和正方形晶格的結果進行了比較（z=4或者z=8）。

隨機網絡

經典隨機圖（CRG）

在每次運行時，都通過隨機圖過程生成一個具有N個頂點和L=NZ/2條邊的連接圖：隨機選定的每一對頂點之間由一條邊連接，并且一直重復這個過程，直到達到預先確定的邊數量L（不考慮帶有自循環(huán)或多條邊的圖）。

小世界網絡（SW）

選擇一個環(huán)型或正方形晶格為母晶格，在隨機選擇的節(jié)點之間增加捷徑連接，底層晶格的每個規(guī)則連接的概率P較小（L'= LP捷徑連接）。我們已經考慮了以下的情況：i）只有影響網絡是小世界網絡（其他的隨機連接只與教育決策有關），ii）只有合作網絡是小世界網絡（只有高級熟練主體可以得到其他的隨機連接）以及iii）這兩個網絡都是小世界網絡。每隔半代時間就會重復增加隨機連接，所以一個高級工人主體可以與他所有的網絡保持定期接觸，而一個初級工人卻只能建立新的捷徑連接，一個新生的初級工人無法繼承隨機鏈接。

在我們的模擬中，我們使用的主體N=400，并且選擇了能夠產生合理的固定增長率的參數值（我們證實參數值的變化不會產生本質上不同的結論）。我們還使用平均場方程式（17）- （21）進行了校準，假定在為期25年的半代人時間內年增長率為3%（或者ΔcommentMFY/Y= 1.0938）并且將U*固定為U*=N/2。這樣我們就可以得到基線參數值：δ=0.011，α'=0.45（λ=0.005），γ=0。要研究團隊效應（論著[7]內的情況5），我們取γ=0.05。

開始模擬的時候，將U（0）=N/2個非熟練工人隨機放置在模擬節(jié)點上。對于每一組參數，取超過1000個樣本的平均值（不考慮崩潰到吸收狀態(tài)的樣本）。圖1顯示了在（a）環(huán)形和（b）小世界網絡（情況2）的情況下在一次運行時熟練工人和非熟練工人總體的典型演變，還顯示了多次運行后的各自的平均值，以及團隊效應參數。在第2節(jié)中所討論的熟練高級工人的數量在第二階段的振蕩行為會造成生產總值增長速度的同步振蕩，但是振蕩幅度卻相當?。ù蠹s等于δ=0.011乘以熟練工人的幅度）。圖3展示了一個在環(huán)形網絡的基礎上建立的小世界網絡的初始和最終網絡配置的示意圖，在該圖中可以很明顯地看到域形成的過程。對于在模擬中使用的參數值，弛豫時間在大約10至300之間變化（當影響網絡是一個帶有捷徑連接的小世界網絡時，弛豫時間更短）。對于所有類型的網絡，不管有沒有團隊效應，其整體畫面從性質上來講都是相似的。觀測值的“穩(wěn)定狀態(tài)”數值的模擬結果都列在表1和表2內。

圖1對于（a）環(huán)形網絡Z=6個鄰居以及（b）在環(huán)形網絡的基礎上通過增加概率為P=0.03情況ii的隨機鏈接而建立的小世界網絡，非熟練工人數量的演變U（t）（上部曲線）和熟練工人數量的演變Ss（t）（下部曲線）；以及團隊效應參數（見正文）。符號（和顏色線）代表不同的運行，（黑色）實線是1000次運行的平均值。

圖2 作為時間的函數，熟練/非熟練主體域之間的平均層數（分區(qū)數）。環(huán)形網絡Z=6個鄰居，基線參數（圓圈）和團隊效應（十字形）。

圖3 初始（左側）和最終（右側）網絡配置-小世界網絡情況i），并且增加概率為P=0.03的隨機連接。在每個節(jié)點Z=6個規(guī)則連接的環(huán)形網絡上，節(jié)點（幾乎看不見）代表熟練（黑色）或者非熟練（黃色）的主體，另外還有一些捷徑連接和基線參數（見正文）。

5 討論

我們的模擬確認了[7]中的觀點，也就是在這個模型中，從長期來看，較高的增長率與較高的資格（更多的熟練工人和更少的非熟練工人）和按教育程度劃分的較強的離析有關。通常這也意味著腦力勞動者的（相對）工資會更少。

從表1和表2我們可以看到對于擁有相同數量的鄰居的環(huán)形或者正方形晶格來說基線結果是大致相似的，并且對于具有相同平均程度的隨機圖來說他們之間也沒有什么顯著的差異。相反，如果影響網絡是小世界網絡，則資格會明顯增加（特別是P值較高的小世界網絡）[17]。

在考慮團隊效應的時候，隨機主體間的連接的效應就是顯而易見的，此時會獲得高得多的增長率，熟練的工人所占的比例也會更大。由于人們通常發(fā)現(xiàn)合作網絡是無標度的[18]，我們也進行了一些模擬，在進行此類模擬時高級腦力勞動者之間的聯(lián)系數量應用了冪律分布（指數為1）。這些并不是真正的無標度網絡，因為節(jié)點的數量大約為160個左右，但其目的是為了檢查是否會發(fā)生顯著的變化。結果與小世界網絡情況iii）P=0.1的結果非常相似，除了增長率較大之外（ΔY/ Y=5.85）。在規(guī)則晶格的情況下，二維中的團隊效應要比一維中的團隊效應強得多（由于正方形晶格聚類效果更強），從而在二維中產生更高的增長率/資格。（更加真實的）二維基體上的離析趨向更強，如分區(qū)（域）數量更少所顯示的那樣-見表2。

我們已經對較大數量的主體進行了多次模擬，獲得了從性質上來說基本上相同的行為，但是隨著熟練工人的比例同N一起增加，會產生較高的增長率。內生增長理論模型往往顯示這種類型的行為，較大的經濟體往往會產生較高的生長率[19]。盡管如此，對于大多數現(xiàn)實的經濟體來說，N=400還是太小了，所以表1和表2中所列的數值只能被視作是為了進行比較而列出的參考性數值，不能將其視作是絕對值。

6 結論

在本論文中，我們研究了一個設計用來解釋經濟增長是由一小部分接受過高等教育的人口引入的創(chuàng)新技術而造成的這樣一個簡單的主體模型[7]。我們通過假設主體間的相互作用發(fā)生在更加現(xiàn)實的社交網絡類型上對原來的一維模型進行了推廣。

一個異構互動網絡的影響，從廣義上來說，可以概括為會產生一個穩(wěn)定的狀態(tài)、具有更高的增長率和資格、并且熟練和非熟練工人之間的離析更嚴重。正如預期的那樣，在考慮團隊效應的時候，這些影響會變得更加明顯，因為主體之間的平均距離變得更短。

我們還推導和解決了一個相關的平均場模型，該模型能夠重現(xiàn)原始模型的一些重要的結果（不包括團隊效應）。但是，請注意，平均場近似方法省去了穩(wěn)態(tài)增長率依賴于初始值的事實。此外，通過假設一個異構主體，我們能夠重現(xiàn)聚類的形成過程，并且考慮團隊效應的貢獻。

如果要考慮創(chuàng)建一個更加微觀的模型版本，在該模型中異構薪金取決于主體的生產力（以及整體經濟狀態(tài)）將會是一件非常有意思的工作。人為決策規(guī)則（5）可能會被主體根據局部場的標志自己進行選擇所代替，正如使用二元決策的社會影響模型中通常所做的那樣[20]。那么接下來的問題就是如何采用一種從經濟上來說非常明智的方法將主體變量與生產和創(chuàng)新聯(lián)系在一起。

致謝：阿羅約和圣奧濱非常感謝科技基金會（葡萄牙）的支持。PDCT/EGE/60193/2004.T.V.M. FCT項目通過資助項目編號SFRH/BD/23709/2005FCT獲得了科技基金會（葡萄牙）的支持。

UECE和Centro de Fisica do Porto獲得了科技基金會（Fundac～ao para a Ci^encia e a Tecnologia，葡萄牙）的支持，由ERDF（歐洲地區(qū)發(fā)展基金）和葡萄牙基金提供資助。

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[13]在[7]的表達式α'=α/β（ρ）中，β（ρ）是折現(xiàn)率ρ的遞增函數.

[14]社會公約保證非熟練工人能夠掙到社會上如果沒有熟練工人時他們能夠生產的收入，而熟練工人可以從他們的新想法創(chuàng)造的收入中獲得額外的收益.

[15]熟練初級工人的數量采用相同的漸近值，該漸近值每個周期會及時發(fā)生改變（條件（2）和（3））.

[16]我們感謝提供澄清性意見的一個審稿人.

[17]需要注意的是小世界網絡是在具有z個鄰居的常規(guī)晶格的基礎上通過添加捷徑連接而建成的，具有略高的平均度=z（1+P/2）.

[18]M.Newman，科研合作網絡的結構，PNAC 98，404（2001）.

[19]C.Jones，增長：是否有規(guī)模效應，美國經濟評論，美國經濟學會，89，139（1999）.

[20]另請參見例如Q Michard和J.-P. Bouchaud，集體輿論位移的理論：從光滑趨勢到急劇波動，歐洲物理學雜志，B 47，151（2005）.