摘要：利用CE-1（嫦娥一號）星載激光高度計測得的800多萬個有效激光測高數(shù)據(jù)點，首次采用自適應(yīng)遺傳算法擬合了一個月球三軸橢球體模型。同時基于測量的數(shù)據(jù)點得到實際月表地形圖，對比了本文擬合的模型和正球體的誤差。該模型得到的數(shù)據(jù)與歷史之相當(dāng)，由于嫦娥一號的測高數(shù)據(jù)高達800多萬，得到的月球數(shù)字高程模型空間覆蓋面更廣。

關(guān)鍵詞：CE-1 自適應(yīng)遺傳算法 三軸橢球體模型

0 引言

月球大地測量參數(shù)，如月球平均半徑、月球形心與質(zhì)心的偏移、月球扁率，是月球探測數(shù)據(jù)處理與科學(xué)研究中的重要數(shù)據(jù)。估計月球大地測量參數(shù)的模型有正球體、旋轉(zhuǎn)橢球體、三軸橢球體曲面等。目前，研究月球半徑及扁率等形狀參數(shù)的方法主要有球諧函數(shù)法和橢球體擬合法。如文獻[1]得到了360階球諧函數(shù)展開月球全球地形。文獻[2，5]的研究結(jié)果表明，利用球諧函數(shù)解算月球的半徑和扁率等參數(shù)時，截至次數(shù)對極半徑，赤道半徑有不同程度的影響。所以本文選取橢球體擬合法，但是對于復(fù)雜曲面的最小二乘擬合研究較少，已有的擬合算法存在方程求解困難，有奇異值和算法不穩(wěn)定等問題，如文獻[6]采用最小二乘平差迭代擬合月球模型，但是迭代必須有精確的初值，否則會出現(xiàn)迭代不收斂。因此，需要探索采用一種新的參數(shù)辨識方法。

遺傳算法是一種簡單通用，魯棒性強，適合并行處理且能克服迭代算法對初值敏感缺點的全局優(yōu)化搜索算法。鑒于基本遺傳算法（Standard Genetic Algorithms，SGA）在復(fù)雜的多變量優(yōu)化問題時效率不高，且存在早熟的問題，本文采用了自適應(yīng)遺傳算法擬合月球模型。

1 CE-1激光高度計數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文要處理的數(shù)據(jù)是CE-1（嫦娥一號）星載激光高度計測得的8.524820e+006數(shù)據(jù)點，所有數(shù)據(jù)保存在2B格式的文件中，首先需要提取測量點的經(jīng)緯度和高程值信息，再結(jié)合月球的實際地形，對每個軌道的數(shù)據(jù)點進行偽高程的修正，修正突變的高程值，由于數(shù)據(jù)的連續(xù)性好，利用相鄰點平均化替換偽高程數(shù)據(jù)，這樣就更好的保持了數(shù)據(jù)的連續(xù)性和完整性。

2 月球三軸橢球體

所用公式：

構(gòu)建三軸幾何橢球體，僅要求其與月表自然地形最逼近，即滿足公式（1）條件。式中，（x，y，z）為月表觀測點在形心參考框架中的三維坐標，a，b，c分別為待求橢球體的三條半軸長。由于本文中使用的嫦娥一號衛(wèi)星測量數(shù)據(jù)是以月球質(zhì)心坐標系為參考坐標系的，而已有研究成果表明，月球的質(zhì)心和形心不重合，二者存在約1.9km的偏移，因此，在公式（1）中需引入形心坐標系相對于質(zhì)心坐標系的偏移量（x0，y0，z0）。對800萬個測量點經(jīng)過以上的數(shù)據(jù)處理部分，最后進行到球坐標到直角坐標系的變換，公式（2）中，？漬是緯度，θ是經(jīng)度，ρ是高程值加上月球正球體參考模型的半徑1738km，（x，y，z）為直角坐標。下一步就是對處理好的數(shù)據(jù)進行擬合，本文采用的是自適應(yīng)遺傳算法。

3 自適應(yīng)遺傳算法的過程

3.1 編碼策略

由于遺傳算法二進制編碼用于多維、高精度數(shù)值問題優(yōu)化時，不能很好地克服連續(xù)函數(shù)離散化時的映射誤差；不能直接反映問題的固有結(jié)構(gòu)，精度不高，而且個體長度大時、占用內(nèi)存多。本文采用實數(shù)編碼，精度高，搜索范圍大，易于計算，符合月球擬合的高精度，高維參數(shù)估計的要求。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)

3.4 交叉變異策略

進化過程中交叉算子重要作用是產(chǎn)生新的個體，實現(xiàn)算法的全局搜索能力，Srinvas等提出的線性自適應(yīng)遺傳算法AGA，當(dāng)個體適應(yīng)度接近或等于最大適應(yīng)度時，交叉變異概率接近或等于零，但是在進化初期，適應(yīng)度好的個體未必是全局最優(yōu)的，若其交叉變異概率為零，將加速這些個體的急速增長，引起早熟。文獻[11]提出的LAGA，確保了優(yōu)良個體的交叉變異率不為零，打破初期最好個體的復(fù)制，有效地降低早熟可能性。本文采用LAGA的自適應(yīng)交叉變異概率模型。

L1，L2分別為基因的上界與基因值的差，基因值與基因下界的差，α，β∈ran（0，1）。

3.5 算法流程：

①設(shè)定種群規(guī)模，迭代次數(shù)，每個基因的搜索區(qū)域，以及交叉變異的初始值，在搜索區(qū)域內(nèi)隨機產(chǎn)生初始種群。

②計算所有個體的適應(yīng)度值，最大適應(yīng)度個體與種群目前為止的最好個體進行比較，如果比之前的最好個體適應(yīng)度大，則作為目前最好的個體；如果比之前的要小，則利用目前最好的個體替換當(dāng)前適應(yīng)度最差個體，計算新種群的平均適應(yīng)度。

③輪盤賭選擇，根據(jù)選擇概率選擇相同種群規(guī)模的新個體。

④根據(jù)公式（1）計算交叉對的交叉概率，對交叉對的每個基因進行同概率的分別交叉，產(chǎn)生新的個體。

⑤根據(jù)公式（2）計算變異個體的變異概率，對每個基因進行同概率的分別變異。

⑥迭代是否結(jié)束，否，則轉(zhuǎn)到（2），是，則迭代結(jié)束。

4 利用算法進行模型參數(shù)求解

對得到的高程信息進行可視化發(fā)現(xiàn)取值區(qū)域在[1000，2000]km之間，所以設(shè)定半軸長的搜索區(qū)域a，b，c∈[1000，2000]km，x0，y0，z0∈[-2，2]km，種群規(guī)模設(shè)為100，交叉概率為0.8，0.6，變異概率為0.1，0.05。

利用最終的處理數(shù)據(jù)作為遺傳算法要擬合的數(shù)據(jù)點，設(shè)置迭代次數(shù)為500次，得到最大適應(yīng)度為0.0118387

km，求得月球模型與文獻[6]三軸幾何橢球體模型參數(shù)比較如下表，可以看出兩組數(shù)據(jù)相當(dāng)，本文模型的形狀。

5 與1737.4km正球體模型對比分析

計算月球表面共8.524820e+006個激光高度計的測量數(shù)據(jù)與本文橢球體模型和1737.4km正球體的平均絕對誤差分別為2.09826km和2.138452km，可以得出本文的三軸橢球體相比正球體更接近月球的實際地形。下表給出的是隨機選取的衛(wèi)星軌道月球256、845 軌道自然地形與本文橢球體及標準正球體（1737.4km）的誤差比較表，三軸橢球體在最小偏差上較正球體偏大，但是平均絕對誤差小于正球體，這也表明本文的三軸橢球體更接近月球自然表面。而三軸橢球體模型的高程值變化相比正球體更符合月球?qū)嶋H地形變化趨勢，且激光高度計的測量數(shù)據(jù)點形成的實際月球表面表明，月球全球覆蓋較好，可以看到極地地區(qū)也有很大的數(shù)據(jù)覆蓋面，能清楚的看到月球坑，高山等區(qū)域，很好的反映出月球的實際地形。

6 結(jié)論

本文基于嫦娥一號激光高度計測高數(shù)據(jù)，約800多萬數(shù)據(jù)，首次使用自適應(yīng)遺傳算法擬合了月球三軸橢球體模型，得到的模型參數(shù)值與歷史值相當(dāng)。與1737.4km正球體進行誤差比較，驗證了本文模型更接近月球?qū)嶋H地形。通過測量值生成的月球?qū)嶋H表面可以看到本文使用的數(shù)據(jù)覆蓋面特別廣，擬合模型的準確性會更好，而且得到了較清晰的兩極地形模型。

由于本文采用的自適應(yīng)遺傳算法存在局部收斂的缺點，計算得到的模型可能有待于進一步的修正，主要要考慮怎樣使算法得到全局收斂值，獲得更精確的模型，為月球探索提供較好的資料。

參考文獻：

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