何謂“幾何”？弗賴登塔爾認為，所謂幾何就是把握空間，而這個空間對兒童來說，就是他們生活和運動的空間。因此，“幾何”又稱為“空間幾何”，它是一個完整的知識體系，是一種論證幾何，或稱之為證明幾何，是存在于嚴密的公理體系之中的。作為小學數(shù)學課程的空間幾何，是幾何學中基礎部分，是一種直觀幾何，或稱之為經(jīng)驗幾何、實驗幾何，是存在于不太嚴密的局部組織之中的。那么，作為小學數(shù)學教師是否可以為孩子未來的幾何學習搭建合理的橋梁？

梳理不同學段內(nèi)容脈絡

梳理小學到初中幾何學習的內(nèi)容：“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面的基本圖形，圖形的性質和分類；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。從這個結構會發(fā)現(xiàn)，小學和初中有一個共同點：就是從過去比較單一的強調(diào)圖形的計算和證明，向多角度刻劃圖形發(fā)展，這是作為銜接，首先要看到在結構上它們的相同點。不同點就是：小學強調(diào)的是直觀辨認，通過操作來探索一些特征，確認一些性質；而中學則開始研究圖形之間的關系，要去進行形式化的證明。在“空間與圖形”這一領域里，初中著重于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，它貫穿于平面幾何教學的全過程；而小學數(shù)學里學習的幾何初步知識，往往側重于操作、實驗和計算，缺少邏輯推理能力的訓練。從“操作幾何”發(fā)展到“論證幾何”，過渡的橋梁是培養(yǎng)邏輯推理能力。

剖析相同內(nèi)容不同指向

厘定必要的基礎 小學已經(jīng)出現(xiàn)的平面圖形的有關計算公式，初中不再作為新知識重新出現(xiàn)。這部分知識是指平面圖形的面積和周長的計算公式，它們在初中幾何將不再重新學習，而是直接在例題或練習中加以運用。也可以說是通過例題或練習進行復習和鞏固。如三角形面積的計算公式就出現(xiàn)在“三角形的高”一節(jié)中的例題里，練習中也有。

理清表述的概念 小學已經(jīng)出現(xiàn)過的某些幾何概念，初中將重新表述，但與小學教材里的表述沒有本質上的差異?？紤]到知識的連續(xù)性和完整性，有些幾何概念必須在初中重新表述.然而表述的公式和文字和小學幾何的表述完全一樣，或略有不同，但沒有本質上的差異。如平行線的定義，初中和小學都說：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線?！倍菪蔚亩x，小學表述為“只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形”。初中則表述為“一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形”。

理解重新的定義 小學里已經(jīng)出現(xiàn)過的某些幾何概念，初中將重新表述，且與小學的表述有本質上的差異。小學對有關幾何概念的表述比較模糊，甚至于不太確切，初中幾何必需重新表述.如小學里三角形的定義表述為“由三條線段圍成的圖形，這樣的圖形叫做三角形”?！皣伞辈荒艽_切地表示“首尾連接”，因為交叉，重疊也能是圍成.初中則表述為“由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫助三角形”?！安辉谕恢本€上”與“首尾順次連接”都突出了三角形定義上的本質屬性。另外，初中幾何還對“角”“圓”等，用旋轉的觀點重新定義。

理論依據(jù)的差異 小學里已經(jīng)出現(xiàn)過的性質、定理，因為缺乏理論依據(jù)，初中將加以推理證明。小學的幾何是實驗幾何，所以小學幾何中的幾何性質、定理是通過實驗方式得到的。如三角形的內(nèi)角和定理就是通過剪一剪，拼一拼得出的結論。同樣，等腰三角形的兩底角相等是通過折一折得到的結論。而初中幾何是論證幾何，對幾何性質、定理必須給出嚴密的論證。這也是幾何可以培養(yǎng)學生嚴密的邏輯推理能力的優(yōu)勢所在，所以三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質定理等在初中幾何中，都加以推理證明，重新推出結論。

幾何基礎知識上的銜接

弄清楚初中與小學在幾何教材上，對相關的幾何概念、性質的不同的處理，在教學上就可以采取不同的方法和措施，以達到整體建構、深化提高的目的。

以三角形的內(nèi)角和為例，三角形的內(nèi)角和等于180度，在小學無論是通過量一量，拼一拼，還是折一折的方法，只要讓學生初步確認相信是180度就可以了。到了中學，不僅要去確認它，還要用幾何語言去描述它，另外更重要的是要去證明它，要通過一些基本的事實來證明三角形內(nèi)角和等于180度。通過這個知識點的銜接，你也可以體會到小學和中學在平面圖形學習中的不同。教材本身的設計是有系統(tǒng)、有內(nèi)在銜接性的，教師要不被各個學段所限，努力開拓視野，提升知識儲備更好的挖掘教材中為更高學段打基礎的部分，使學生在本學段即可獲得一定的超前準備。

從小學到初中，由直觀感知到操作確認；再由思辨論證到度量計算，也即在論證幾何之前，增加了一個直觀幾何階段的學習。擴充了幾何中的公理，以六條公理為推理論證的基礎，削減了繁瑣的證明。增加了空間幾何的內(nèi)容，從三維的具象再到二維的抽象。無論是哪一學段，我們都要思考教材為什么這樣處理，有哪些實踐基礎和理論基礎，如此安排是基于什么樣的考慮，現(xiàn)在我們審視教材，實際實現(xiàn)的情況又是如何，還有哪些工作需要我們?nèi)パ芯?、去完善?/p>

小學生的空間想象能力是依靠直觀、形象說出常見圖形的名稱、概念，初中平面幾何從點、線、面的分析與綜合開始，逐步掌握相交線、平行線、三角形、四邊形、相似形和圓的性質，進行平面幾何圖形中各種組合與分解的運算和證明，通過對圖形的平移、對稱、翻折等研究，培養(yǎng)學生初步空間想象能力。

數(shù)學思想方法上的銜接

“空間與幾何”是兒童最先感知的三維世界，與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系。

符號化思想 從具體情境中抽象出數(shù)學量關系和變化規(guī)律、從特殊到一般的探索和歸納過程。如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并有符號表示：S=ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。理解并運用符號表示數(shù)量關系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖像表示情境中數(shù)量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a的平方表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。

分類思想 分類就是把所研究的問題按照某種標準分成若干種情況，然后分情況解決問題，使整個問題得到解決。小學幾何中已學過分類的問題，如三角形按角分，可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，在初中幾何里又增加了按邊分類的情況。凡是根據(jù)題設不能只用一個圖形來表達題意的幾何題，都必須仔細、全面地考慮點和線、線和線間的不同位置關系，列舉畫出各種圖形，然后分類討論，逐一解決問題。如：在直角三角形ABC中，有兩邊的長為3和4，求第三邊的長，這道題就得分兩種情況來解決。

化歸思想 在研究數(shù)學問題時，將未解決的問題轉化成已解決的問題，將復雜的問題轉化成簡單的問題，將數(shù)量問題轉化成圖形問題或將圖形問題轉化成數(shù)量問題等等，這樣的一種思想稱為轉化思想。在幾何中，添加輔助線往往會使復雜的問題轉化成簡單的問題，如將四邊形轉化成正方形問題等等。

歸納思想 研究一般性問題時，在觀察和實驗的基礎上，歸納出由特殊現(xiàn)象到一般現(xiàn)象的規(guī)律和性質，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想，很多幾何概念的形成、性質的得出、定理的發(fā)現(xiàn)等都采用了歸納的方法。例如通過畫圖歸納出過一點（不論點在直線上還是在直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直。

模型思想 數(shù)學的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學模型的主要模型形式是數(shù)學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關系和空間形式，這是他們的共同之處；但是模型思想更加注重如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數(shù)學解決生活和科學研究的各種問題。

學習活動經(jīng)驗上的銜接

把握學生的生活經(jīng)驗 小學生的抽象思維能力較弱，在教學中，應充分利用小學生已有的生活經(jīng)驗來解決簡單的空間與圖形知識，幫助他們獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗。比如四年級教學“垂直”的概念，通過設計一些活動，如用三角尺畫出直角、折紙折出直角等，為幫助學生能在頭腦中建立“垂直”的表象做準備，從而得出垂直的定義，學習規(guī)范的數(shù)學符號的表示。進而以“畫垂線、量線段長短”為主的活動，幫助學生抽象出“點到直線的距離”的概念，體會到距離的含義。

積聚學生的操作經(jīng)驗 利用操作體驗來獲得對象形狀特征的認識，比如《三角形的分類》可以給定學生一些不同形狀的三角形，讓學生按自己的理解去分類，而不同的分類就顯示著他們對對象形體特征的表征。利用已經(jīng)建立的有關圖形形體經(jīng)驗幫助概括圖形的性質。比如學習平行四邊形和梯形時，是在學生學習了長方形、正方形之后的，學生自然會按分析長方形、正方形的方法，從邊、角的方面去分析它們的特征。

培植學生的思維經(jīng)驗 注意培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。因此，在教學中，要充分發(fā)掘中小學教材里潛在的邏輯推理因素?？臻g與幾何教學盡量讓學生經(jīng)歷知識生發(fā)與形成的過程；解計算題，每一步要求學生敘述它的根據(jù)，講出它的前因后果；應用題教學，要培養(yǎng)學生說出分析推理過程，并學會用語言和符號表達數(shù)量之間的關系。

積累學生的活動經(jīng)驗 在教學方法上小學更側重于讓孩子真的活動起來，動了能看到、能感知。而初中的動是為了在動手的基礎上，在進一步動腦，動腦來思考，探索各種問題之間的關系。在中學已經(jīng)開始嚴格的證明了而小學沒有嚴格意義上的演繹推理，只要通過操作確認這個結論就可以了。

兒童的幾何不是論證幾何，更多的是屬于直觀幾何，而直觀幾何就是一種經(jīng)驗幾何或實驗幾何，因此，兒童獲得幾何知識并形成空間觀念，更多的是依靠他們的動手操作。兒童在這個過程中，是通過不斷地嘗試搭建、選擇分類、組合分解等活動來增加自己的體驗，積累自己的經(jīng)驗，豐富自己的想象。中小學的銜接不僅是知識上的銜接，還需要思想上的銜接、經(jīng)驗上的銜接。

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)星河小學）