劉才勝

利用變換轉(zhuǎn)化的方法解決數(shù)學(xué)問題，是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思維方法，具有靈活性、多樣性的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)變換，能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題。下面，筆者用教學(xué)中的兩個(gè)案例談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、妙用圓規(guī)變換圖形，輕松“看出”解題思路

[例1]在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，如圖1將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°<θ<180°），得到△A1B1C。

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如圖2，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP。

當(dāng)？茲= 時(shí)，EP的長度最大，最大值為 。

[講評(píng)引導(dǎo)過程]

師：“這個(gè)問題，很多同學(xué)解決起來沒有思路。請(qǐng)問你們的困惑在哪里？”

生：“點(diǎn)E不變，點(diǎn)P變化，想不出變化過程中最大值出現(xiàn)在哪里?！?/p>

（看來，學(xué)生的問題主要出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化上，不能準(zhǔn)確把握變化的特點(diǎn)。）

教師因勢(shì)利導(dǎo)：“點(diǎn)P是怎樣變化的呢？”

生：“隨著△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?！?/p>

師：“那么，你能否想象出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡嗎？”

生：“以點(diǎn)C為圓心，以CP長為半徑的圓?！?/p>

學(xué)生經(jīng)過討論，還可以得出如下結(jié)論：因?yàn)椤鰽BC中∠ABC=30°，P為A1B1的中點(diǎn)，所以CP=AC，以點(diǎn)C為圓心，以CP長為半徑的圓能經(jīng)過A、A1兩點(diǎn)。

師：“請(qǐng)用圓規(guī)把點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡畫出來吧?！保▽W(xué)生畫圖，如圖3。）

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師：“你能不能在圓上找到符合要求的點(diǎn)P呢？”

到這里，學(xué)生理解起來就比較輕松了：延長AC，交⊙C于點(diǎn)P1，P運(yùn)動(dòng)至P1處，此時(shí)EP的長度最大。

[同類變式]如圖，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)。思考：如圖4，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)∠MOP=α。

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將如圖4中的扇形紙片NOP剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

如圖5，當(dāng)α=60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值。

[思路分析]

求點(diǎn)P到CD的最小距離比較容易想出，但求旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值，很多學(xué)生不理解是求什么？問題實(shí)際上是根據(jù)原題中“使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”這個(gè)要求提出的。

在本題中，由于△MOP為等邊三角形，故MO=PO=MP。利用圓規(guī)可以作出點(diǎn)O在旋轉(zhuǎn)過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖6輔助線），就不難想出：當(dāng)扇形OMP旋轉(zhuǎn)到其所在的圓與直線AB相切時(shí)，產(chǎn)生∠BMO的最大值，此時(shí)∠BMO'為90°。

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[教學(xué)后記]使用圓規(guī)，能夠準(zhǔn)確地表現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)問題中某個(gè)特殊點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它以變化的、運(yùn)動(dòng)的方式來處理思維上孤立的、離散的問題。很好地領(lǐng)會(huì)這種方法，在解題中將會(huì)收到奇效，也能有效地發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用水平，輕松“看出”解題思路將不是難不可及的事。

二、化簡分?jǐn)?shù)，輕松“看出”數(shù)字規(guī)律

[例2]一組有規(guī)律的數(shù)■，■，■，■，■，■……第10個(gè)數(shù)是什么？第n個(gè)呢？（用含有n的代數(shù)式表示）

[課堂教學(xué)片段]

經(jīng)過獨(dú)立思考，一部分學(xué)生有了思路，分組討論后請(qǐng)學(xué)生上講臺(tái)講解交流。

A同學(xué)：先看分子1，2，3，4，5，6……，第10個(gè)就是10，第n個(gè)就是n；再看分母，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1……第10個(gè)就應(yīng)該是112-1，第n個(gè)就是（n+1）2-1，所以答案分別是■=■，■。

B同學(xué)：分子的規(guī)律跟A同學(xué)一樣，我發(fā)現(xiàn)分母中3=1×（1+2），8=2×（2+2），15=3×（3+2），24=4×（4+2），35=5×（5+2）……，所以第10個(gè)就是10×（10+2）=120，即■=■，第n個(gè)就是■。

教師隨口問了一句“還有其他解法嗎？”沒想到還真有。

C同學(xué)站了起來：把第二個(gè)及以后的分?jǐn)?shù)分別約分可得：■，■，■，■，■，■……他剛說到這里，教室里已經(jīng)發(fā)出一片“噢”的叫聲，很明顯分子都是1，分母比第幾個(gè)數(shù)的序號(hào)大2，答案分別是■，■。

大家不約而同地為C同學(xué)喝彩，因?yàn)樗?jīng)過簡單的變形，就輕松地“看出”了這組數(shù)字的規(guī)律，使解題方法變得十分簡潔。

[教學(xué)后記]華東師大李政濤教授說：“有生成的課堂才是精彩的?！惫P者暗自慶幸，在學(xué)生順利說出教師預(yù)設(shè)的兩種答案后，沒有武斷地往下推進(jìn)——否則，不僅缺少了C同學(xué)的妙解，而且還束縛了學(xué)生的思維。