趙雪冬

“正余弦定理”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5的第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個(gè)重要定理之一，該部分內(nèi)容在高考的考查中主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題.根據(jù)在教學(xué)中的觀察，很多學(xué)生的問題是即使熟知正余弦定理的公式，在解決具體問題時(shí)，也經(jīng)常不知道該選擇兩個(gè)定理中的哪個(gè)更好，不能對(duì)邊角靈活轉(zhuǎn)化，從而使問題復(fù)雜化，甚至解不出來(lái).本文就此問題總結(jié)了一個(gè)小經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的學(xué)生能恰當(dāng)選擇定理，簡(jiǎn)化計(jì)算過程應(yīng)該會(huì)有一定的作用，下面進(jìn)行具體敘述.

根據(jù)正余弦定理公式的特點(diǎn)，正弦定理涉及兩邊兩角，余弦定理涉及三邊一角，相對(duì)來(lái)說，應(yīng)用正弦定理解題要求已知與角有關(guān)的條件多，應(yīng)用余弦定理要求已知與邊有關(guān)的條件較多.因此，在選擇定理時(shí)，給學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是：“角多一般用正弦，邊多一般用余弦?！彪m然很多題目用正余弦都可以解決，但應(yīng)用上面的經(jīng)驗(yàn)經(jīng)?？梢允箚栴}簡(jiǎn)化.如以下幾個(gè)例題.

小結(jié)兩種解法：顯然，兩種解法對(duì)比之后，解法一避免了討論與很多計(jì)算，相對(duì)解法二要簡(jiǎn)單的多.在解法二中已知sinB求cosB的過程需要討論cosB的正負(fù)，已知A和B的三角函數(shù)值求sinC的思路與計(jì)算量，都是學(xué)生難以在短時(shí)間內(nèi)掌握的.因此可以看出恰當(dāng)選擇定理對(duì)學(xué)生解題正確的重要性.

小結(jié)例2：當(dāng)已知條件出現(xiàn)角多既已知兩個(gè)或三個(gè)角的度數(shù)或三角函數(shù)值時(shí)，同時(shí)給的邊的條件最多只有一個(gè)，此時(shí)選擇余弦定理很難解出，因此角多一般選擇用正弦定理解題.

以上是針對(duì)學(xué)生解關(guān)于正余弦定理應(yīng)用時(shí)感覺困難的一點(diǎn)小建議.通過實(shí)踐，學(xué)生感覺應(yīng)用“經(jīng)驗(yàn)”，能更快找到思路，使解題更加順利.當(dāng)然，任何經(jīng)驗(yàn)方法可能都有一定的局限性，本文只是通過這個(gè)經(jīng)驗(yàn)讓學(xué)生能在一般題型上有所啟發(fā)，做題更加順利.

（作者單位 北京市東方德才學(xué)校）