鄧書云

同學(xué)們都會(huì)平分任意角，但是，大家會(huì)三等分任意角嗎？

我們學(xué)了矩形后，知道了矩形的對(duì)角線相等且互相平分。如圖1，在矩形ABCD中，對(duì)角形AC、BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)矩形的性質(zhì)有：AO=CO=BO=DO= AC= BD。這時(shí)可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。有了這個(gè)性質(zhì)加上以前學(xué)過(guò)的平行線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，就可以三等分任意角了。

例題 （2012年天津市中考題改編） “三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題，如圖2（1），將∠MAN放置在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1 cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過(guò)格點(diǎn)B，且AB=2.5 cm，現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請(qǐng)你在圖中作出∠X，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法和證明。

作圖：如圖2（2），用直尺有刻度的一邊過(guò)點(diǎn)A，設(shè)該邊與過(guò)點(diǎn)B豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，（保證有刻度的一邊過(guò)點(diǎn)A）調(diào)整點(diǎn)C、D的位置，使CD=5 cm，畫射線AD，這時(shí)∠DAM即為所求的∠X。

證明：取CD的中點(diǎn)E，連接BE，

在Rt△BCD中，BE= CD=DE=AB，

所以∠1=∠2，∠3=∠4，

而∠3=∠1+∠2=2∠2。

又因?yàn)锽D∥AM，

所以∠2=∠DAM。

所以∠DAM= ∠MAN=∠X。