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        關(guān)于烤盤(pán)最佳形狀選擇的研究

        2013-04-29 15:18:06邱志昌程龍張寧
        關(guān)鍵詞:元胞自動(dòng)機(jī)

        邱志昌 程龍 張寧

        摘 要:該文是對(duì)2013年美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題的更深一步的討論,題目是如何在不烤焦蛋糕和最大利潤(rùn)條件下優(yōu)化確定烤蛋糕的烤盤(pán)最佳類(lèi)型,而文章僅僅考慮在烤盤(pán)給定確定面積和蛋糕不烤焦的前提下,來(lái)確定烤盤(pán)的最佳形狀。蛋糕是否被烤焦取決于蛋糕中心達(dá)到相同溫度時(shí)所用時(shí)間長(zhǎng)短,首先運(yùn)用推導(dǎo)的熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)公式,通過(guò)matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖,解釋了在蛋糕邊角上容易烤焦??颈P(pán)外壁溫度分布類(lèi)比恒溫條件下的球殼傳溫給出,蛋糕內(nèi)部遵循熱傳遞,從高溫傳向低溫。文章將蛋糕離散化并結(jié)合元胞自動(dòng)機(jī)模型,仿真得到了不同形狀的烤盤(pán)在中心達(dá)到相同溫度時(shí)蛋糕的溫度分布,并給出運(yùn)行次數(shù)。仿真結(jié)果顯示圓形形狀烤盤(pán)運(yùn)行次數(shù)僅為4374,次數(shù)最少,從而確定圓形烤盤(pán)是最佳選擇。

        關(guān)鍵詞:熱傳遞 球殼傳溫 元胞自動(dòng)機(jī)

        中圖分類(lèi)號(hào):F203.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2013)02(c)-00-03

        2013年美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題是對(duì)烤箱中烤盤(pán)的最佳形狀設(shè)計(jì)的探討。最佳形狀的設(shè)計(jì)要考慮兩個(gè)方面,一方面烤盤(pán)要盡量保證蛋糕不被烤焦,另一方面盡量充分利用烤箱的空間。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,文章忽略對(duì)烤箱空間利用率的考慮,僅僅考慮保證蛋糕不被烤焦的因素。

        蛋糕在烤箱中加熱過(guò)程及其復(fù)雜,蛋糕被烤熟的過(guò)程中涉及到熱量的傳導(dǎo)、溫度的升高、水分的蒸發(fā)等一系列的變化,就熱量的傳導(dǎo)來(lái)說(shuō),就包括熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射,假設(shè)烤箱內(nèi)部的溫度是均勻分布的,將傳遞的熱量就需考慮熱傳遞。因不可能將所有因素量化來(lái)分析蛋糕的烤焦,類(lèi)似熱流量的傳導(dǎo),我們予以簡(jiǎn)化,但主要影響因素是溫度的分布不均。文章通過(guò)降維的思想,將蛋糕烤焦的原因歸于蛋糕內(nèi)外受熱不均勻??颈P(pán)中的蛋糕只有上表面直接與烤箱中空氣接觸,其他5個(gè)面都是與烤盤(pán)壁直接接觸,通過(guò)烤盤(pán)壁與蛋糕之間的熱傳導(dǎo)加熱。食物通常是在外表面被烤焦,文章只需選取平行于烤盤(pán)的橫截面作為分析對(duì)象,考慮蛋糕內(nèi)外溫差的持續(xù)時(shí)間以確定在相等面積下的最佳烤盤(pán)形狀。由于熱量是從外向內(nèi)傳導(dǎo),在蛋糕的外層存在局部溫度較高的情況。那么可能出現(xiàn)蛋糕內(nèi)層被烤熟后,蛋糕外層已經(jīng)被烤焦的現(xiàn)象??紤]到在烤蛋糕的最后,邊角總是焦的,為了之后更精確的仿真出蛋糕的傳熱,首先通過(guò)熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)分析來(lái)解釋邊角烤焦的原因?;诖?,文章認(rèn)為一個(gè)較好形狀的烤盤(pán)是指蛋糕內(nèi)部達(dá)到一定的溫度所用的時(shí)間較短,傳遞時(shí)間將通過(guò)元胞自動(dòng)機(jī)仿真運(yùn)行次數(shù)來(lái)反映。

        1 熱穩(wěn)態(tài)模型

        蛋糕在烤盤(pán)中烘烤過(guò)程中的熱量傳導(dǎo)主要有兩個(gè)階段:首先是烤盤(pán)壁將熱量傳遞給蛋糕外層,其次是蛋糕內(nèi)部的熱傳導(dǎo)。烤盤(pán)壁熱傳導(dǎo)系數(shù)較大,傳熱較快,烤盤(pán)壁相對(duì)較薄,文章可以認(rèn)為烤盤(pán)內(nèi)外壁的溫度相同。

        運(yùn)用熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)模型給出蛋糕橫截面的溫度分布圖來(lái)說(shuō)明拐角烤焦的原因。給出一般的熱傳導(dǎo)方程

        其中表示溫度,溫度是x、y、z與t的函數(shù),即,t表示時(shí)間。表示內(nèi)部每單位容積熱產(chǎn)生率。c是比熱容,是常數(shù),表示導(dǎo)熱系數(shù)。因?yàn)槲覀兛紤]的是穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的情況下,所以溫度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)為零,將②式代入①式得到的二維穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程為

        ③式滿足橢圓偏微分方程的形式,稱為Possion方程。由于烤箱內(nèi)溫度恒定,故為定值。

        在面包熱傳導(dǎo)加熱中,對(duì)于給定的一個(gè)立方體的烤盤(pán),烤盤(pán)的橫截面的溫度分布基本一致,從而只需求出某一橫截面的穩(wěn)態(tài)溫度分布圖,以達(dá)到降維、簡(jiǎn)化模型的目的。

        通過(guò)matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖,得到溫度分布圖形如圖1。

        結(jié)果評(píng)價(jià):從圖中可以明顯看到在拐角區(qū)域的溫度最高,從外邊緣順著熱量傳遞方向溫度是遞減的,與生活中反映的現(xiàn)象一致,說(shuō)明了建立的模型可信度較高,一定程度上解釋了矩形烤盤(pán)在拐角及少量邊緣處容易烤焦的現(xiàn)象。但模型僅僅是從穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)角度來(lái)考慮溫度的分布,沒(méi)有考慮在從開(kāi)始烘烤到烤熟整個(gè)過(guò)程各個(gè)階段溫度的分布。

        在前面的模型中僅僅從溫度角度考慮了溫度高就容易燒焦,這樣的考慮是有缺陷的。因?yàn)槿绻诳久姘鼤r(shí),中心的溫度雖然比邊緣的溫度低,但是當(dāng)過(guò)了時(shí)間t后中心的蛋糕已經(jīng)熟了,蛋糕在邊緣區(qū)域還沒(méi)有燒焦,這樣雖然蛋糕的形狀不規(guī)則,但是仍然是一種較好的選擇。選出的形狀可以作為最后一問(wèn)中優(yōu)化問(wèn)題中的一個(gè)不錯(cuò)選擇。同時(shí)上述模型是在烤盤(pán)邊緣溫度恒定條件下建立的,只能解決像矩形這樣邊界恒溫的平壁傳導(dǎo)。這是因?yàn)閷?duì)于矩形烤盤(pán)而言,空氣中的熱量是以平壁傳導(dǎo)的方式傳遞給烤盤(pán)壁,由于直線的曲率為零,對(duì)于矩形的每一條邊各個(gè)點(diǎn)的溫度是一樣的。

        為此應(yīng)用元寶自動(dòng)機(jī)來(lái)改進(jìn)上面的模型,在下面的模型中,著重考慮不同形狀的烤爐壁,即曲率對(duì)傳熱的影響,這樣就能更加精準(zhǔn)的計(jì)算從烤爐壁各處每時(shí)刻傳遞給蛋糕的熱量,這樣考慮也更貼近生活。

        2 元胞自動(dòng)機(jī)仿真熱穩(wěn)態(tài)模型

        2.1 元胞自動(dòng)機(jī)原理

        元胞自動(dòng)機(jī)是一種將空間與時(shí)間離散化的模型,能將一個(gè)連續(xù)的過(guò)程通過(guò)許多離散的網(wǎng)格表示出來(lái)。離散網(wǎng)格中每一元胞取有限的離散狀態(tài),遵循相同的作用規(guī)則,在局部不斷更新。元胞自動(dòng)機(jī)通常運(yùn)用于信息傳遞、通信、生長(zhǎng)與進(jìn)化等領(lǐng)域,為復(fù)雜的現(xiàn)象提供有效的動(dòng)態(tài)模型。

        熱量的傳導(dǎo)是一個(gè)從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞的連續(xù)過(guò)程。文章將熱傳導(dǎo)平面細(xì)化成細(xì)小的網(wǎng)格,熱量從橫截面四個(gè)面向內(nèi)傳導(dǎo),網(wǎng)格內(nèi)溫度通過(guò)熱量的疊加的結(jié)果反映大小。

        2.2 烤盤(pán)曲面溫度分布計(jì)算

        為確定元胞自動(dòng)機(jī)模型的邊界初始溫度,文章將烤盤(pán)類(lèi)比為高光曲面模具在恒溫環(huán)境中的球殼傳溫,并引用溫度與曲率的方程。伍曉宇等(2012)通過(guò)實(shí)驗(yàn)并擬合出溫度與曲率的方程。如下

        所示:

        該方程適用于平壁高光面。其中為某t時(shí)刻型面的溫度;為高光面殼的初始溫度;為對(duì)流介質(zhì)溫度;和為方程系數(shù);L為高光面殼厚度。

        當(dāng)烤盤(pán)出現(xiàn)光滑的曲線時(shí),空氣對(duì)烤盤(pán)的熱傳遞可以看成是球殼傳熱。給定一個(gè)外界恒溫條件和時(shí)刻t,烤盤(pán)表面的各個(gè)點(diǎn)的溫度會(huì)隨著曲率的變化而變化,找出的公式如下

        為時(shí)刻t 型面上曲率半徑為r的點(diǎn)的溫度;a b c d分別是方程系數(shù)。

        為了給出同時(shí)具有平壁與曲線烤盤(pán)表面的溫度函數(shù),可以將 ①與 ②兩個(gè)式子結(jié)合起來(lái),給出一個(gè)式子如下

        定義k為曲率影響系數(shù),若k=0,則 ⑥轉(zhuǎn)化為 ④式。該文選取 烤盤(pán)初始溫度=25 ℃,烤箱溫度=200,=1.1925,烤盤(pán)壁厚度L=1 cm。

        2.3 熱傳導(dǎo)規(guī)則

        將蛋糕內(nèi)部橫截面熱分布的二維空間網(wǎng)格化。熱量的傳導(dǎo)可以看成是在不同的網(wǎng)格之間的傳導(dǎo)。

        ① 每一小格的熱量只能從上下左右傳遞,不能斜向傳遞。

        ② 熱量總是從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞。

        ③ 任一小格傳遞給周?chē)「駸崃亢?,溫度不能低于接受熱量小格的溫度?/p>

        對(duì)于規(guī)則的圖形表示,見(jiàn)圖a。其中 箭頭表示熱傳導(dǎo)>;表示紅色區(qū)域的溫度,表示黃色區(qū)域的溫度。

        蛋糕外表面自接受來(lái)自四面烤盤(pán)外部的熱量后,從外向內(nèi)擴(kuò)散,距離邊界越遠(yuǎn),傳遞到的熱量越少。熱量總是從高溫區(qū)域楚傳向低溫區(qū)域。擴(kuò)散的路徑如下圖所示。

        2.4 仿真結(jié)果

        文章選取生活中最常用的幾種常見(jiàn)的烤盤(pán)類(lèi)型:圓形、矩形,通過(guò)元胞自動(dòng)機(jī)模型對(duì)其進(jìn)行仿真,仿真時(shí)間步長(zhǎng)選取0.05。

        3 結(jié)果分析

        從上述五個(gè)圖看出圓形、橢圓、跑道形、圓角矩形和矩形烤盤(pán)在內(nèi)部溫度達(dá)到相同溫度(60 ℃左右)時(shí)運(yùn)行的次數(shù)依次是4374、8217、9234、10259、10627,選取次數(shù)最少的圓形作為最佳形狀,其傳熱最均勻。

        另外通過(guò)仿真可以粗略的看出拐角處溫度較高,矩形表現(xiàn)得特別明顯,說(shuō)明在該處蛋糕容易烤焦,那么在滿足需要對(duì)烤盤(pán)進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)盡量避免出現(xiàn)類(lèi)似矩形的拐角。

        參考文獻(xiàn)

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        [2] 朱代根.食品對(duì)流烹飪過(guò)程熱質(zhì)傳遞分析[J].科技信息,2012(16).

        [3] 王志國(guó),趙陽(yáng),陳健,等.邊界熱質(zhì)傳遞過(guò)程的主動(dòng)傳遞過(guò)程分析及應(yīng)用[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào),2012,36(1):101-103.

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