王貴松　趙麗虹

摘 要：數(shù)理方法與經(jīng)濟研究和計劃工作的關(guān)系密不可分，用數(shù)理方法對經(jīng)濟學(xué)研究的滲入為切入點，深入分析數(shù)理方法在經(jīng)濟增長模型中的具體應(yīng)用，最后得出結(jié)論：經(jīng)濟學(xué)的全面發(fā)展離不開數(shù)理方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)理方法；經(jīng)濟增長模型；經(jīng)濟學(xué)

中圖分類號：F22 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）06-0001-02

一、數(shù)理方法的滲入

經(jīng)濟學(xué)不像自然科學(xué)那樣有著悠久的歷史。如果從16世紀(jì)英國東印度公司與重金主義之間的爭論作為研究經(jīng)濟現(xiàn)象的開始，經(jīng)濟學(xué)的歷史至今還不到四百年；亞當(dāng)·斯密的巨著《國富論》，為經(jīng)濟學(xué)的系統(tǒng)研究奠定了基礎(chǔ)，至今也只有兩百多年。任何一門科學(xué)都要用到抽象和邏輯的思維方法，但經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用抽象和邏輯的思維方法卻比一般的自然科學(xué)格外困難。在20世紀(jì)以前，經(jīng)濟學(xué)雖然普遍地使用歸納、比較和分析的方法，但基本上沒有脫離以對歷史現(xiàn)象的陳述和對規(guī)律的推測為主的論述方法。直到大約一百年以前，由于自然科學(xué)思維方法的巨大成就的影響，經(jīng)濟學(xué)方法開始轉(zhuǎn)變了。19世紀(jì)70年代初期，英國的杰文斯、奧地利的門格爾和瑞士的瓦爾拉獨立地將微分方法導(dǎo)入經(jīng)濟學(xué)，引起了經(jīng)濟學(xué)方法的邊際革命。最近的一百年來，數(shù)學(xué)和推理的方法不斷滲入經(jīng)濟學(xué)，形成了研究經(jīng)濟學(xué)的數(shù)理方法。

20世紀(jì)末以來，在經(jīng)濟學(xué)方面有重大貢獻(xiàn)的大師，幾乎都在數(shù)學(xué)上有很高的造詣。微觀經(jīng)濟學(xué)的集大成者馬歇爾畢業(yè)于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系。現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟理論的奠基人凱恩斯同時又是一位數(shù)學(xué)家。獲得首屆經(jīng)濟學(xué)諾貝爾獎的庫普曼、康托洛維奇、德布勒等他們本身就是教學(xué)家。至1969年頒發(fā)的第二十三屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎中有2/3以上的成果屬于數(shù)理經(jīng)濟學(xué)和計量經(jīng)濟學(xué)，從這一數(shù)字比例足見數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的重要作用，同時也說明現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)同數(shù)學(xué)的聯(lián)系已經(jīng)更加緊密。

二、數(shù)理方法在經(jīng)濟增長模型具體應(yīng)用

自從哈羅德和多馬在20世紀(jì)30年代末和40年代初分別提出各自的經(jīng)濟增長模型，并最終形成開創(chuàng)性的哈羅德—多馬模型以來，經(jīng)濟增長理論逐漸被正式納入宏觀經(jīng)濟學(xué)的研究范圍，并且與經(jīng)濟中期理論一起成為宏觀經(jīng)濟學(xué)中兩個最重要的研究方向。

在哈羅德經(jīng)濟增長模型中，以三個涵義各不相同的方程分別界定了實際增長率（G）、有保證增長率（Gw）和自然增長率（Gn）三個既有聯(lián)系又相區(qū)別的概念，從而論述了實現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)均衡增長和充分就業(yè)穩(wěn)定狀態(tài)均衡增長所需具備的條件，以及加速數(shù)與乘數(shù)相互作用引起的經(jīng)濟周期繁榮階段的積累性擴張和衰退階段的累積性緊縮。而多馬的增長模型（=σS）則指出，要使社會的資本存量保持充分就業(yè)的均衡狀態(tài)，投資增長率（）必須等于社會平均投資生產(chǎn)率（σ）與儲蓄傾向（S）的乘積。

從模型的特征來看，哈羅德—多馬模型繼承了凱恩斯有效需求決定均衡國民收入的理論思路，所以在通過模型考察動態(tài)均衡的增長問題時，突出強調(diào)需求一方在供求雙方相互作用趨向平衡中對供給的作用。在哈羅德—多馬模型中，雖然廣泛涉及到供求雙方在決定經(jīng)濟增長中的許多主要變量（包括勞動力、資本、儲蓄、消費等），但關(guān)于勞動力增長率必須等于儲蓄率與產(chǎn)出資本比的乘積的強假設(shè)約束，嚴(yán)重地限制了該模型的現(xiàn)實解釋能力。

由于這種建立于凱恩斯消費函數(shù)和里昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)基礎(chǔ)之上的“簡單模型”，在對經(jīng)濟現(xiàn)實的解釋上存在嚴(yán)重的局限性，1956年美國經(jīng)濟學(xué)家索洛在一篇論文中提出了一種更加一般化的增長模型。根據(jù)這一模型，索洛認(rèn)為通過市場機制的作用調(diào)整生產(chǎn)中的資本—勞動組合比例，應(yīng)當(dāng)能夠?qū)崿F(xiàn)充分就業(yè)的穩(wěn)定經(jīng)濟增長狀態(tài)。而在長期中，均衡的經(jīng)濟增長率就是由勞動力增長率與技術(shù)進(jìn)步?jīng)Q定的自然增長率（Gn）。在此后一段時間里，斯旺、米德、薩繆爾森等經(jīng)濟學(xué)家也先后提出了與索洛論點基本一致的經(jīng)濟增長模型，而這一系列模型又強調(diào)了古典和新古典經(jīng)濟學(xué)中關(guān)于充分就業(yè)的觀點和立場，故而被稱為新古典增長模型。

索洛模型的進(jìn)步的重要一點是他設(shè)定了一個與里昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)不同的綜合生產(chǎn)函數(shù)，即：

Y=F（K，N），F(xiàn)1>0，F(xiàn)2>0，F(xiàn)11<0，F(xiàn)22<0

顯而易見，該生產(chǎn)函數(shù)的一個重要特點是資本與勞動力相互之間的可替代性，因此，勞動力資源不會被閑置，也就打破了哈羅德—多馬模型中對均衡增長的嚴(yán)格條件約束。

在新古典增長模型中，經(jīng)濟的均衡增長條件被歸納為：

sf（k）=nk

由這一條件可以看出，新古典增長模型并沒有簡單的認(rèn)為公眾的意愿儲蓄與廠商的意愿投資的不一致必然導(dǎo)致積累性緊縮和擴張。相反，在儲蓄率（s）和勞動力增長率（n）給定的條件下，通過市場利率的變動和調(diào)整，廠商為了追求利潤最大化必然會選擇一種新的生產(chǎn)方式，使得與人均資本k相應(yīng)的人均產(chǎn)量f（k）滿足均衡增長條件。換言之，也就是說新古典經(jīng)濟增長理論認(rèn)為，從長期看，利率的變動將使儲蓄和投資最終趨于一致并達(dá)到充分就業(yè)。同時，根據(jù)索洛增長模型，不同的儲蓄率會有與之相應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)的人均產(chǎn)出和人均資本，其中有一個由特定儲蓄率決定的穩(wěn)定狀態(tài)人均資本會導(dǎo)致人均消費達(dá)到極大值的被稱為黃金規(guī)則的穩(wěn)定狀態(tài)。

以索洛模型為代表的新古典經(jīng)濟增長理論較之于哈羅德—多馬模型更加貼近于現(xiàn)實，也更加具有解釋力和說服力。但是，索洛模型并沒有從根本上跳出凱恩斯的消費函數(shù)理論，它和哈羅德—多馬模型一樣，都假設(shè)了一個外生給定的儲蓄率。雖然在后來出現(xiàn)的拉姆齊—卡斯—庫普曼模型中這一假設(shè)被打破，使內(nèi)生的儲蓄率為新古典經(jīng)濟增長理論奠定了堅實的微觀基礎(chǔ)，然而新古典經(jīng)濟增長理論始終沒有對金融系統(tǒng)在長期的經(jīng)濟增長中可能發(fā)揮的作用有一個深刻的認(rèn)識。因為從新古典增長理論的兩個重要觀點（即資本的邊際產(chǎn)出遞減和經(jīng)濟增長的唯一內(nèi)生驅(qū)動力是資本積累）外推，在沒有人口增長和技術(shù)進(jìn)步的情況下，經(jīng)濟的增長只能是暫時性的。很明顯，在新古典經(jīng)濟增長理論的框架內(nèi)我們只能發(fā)現(xiàn)一些有關(guān)金融市場的時隱時現(xiàn)的內(nèi)容，而無法找到關(guān)于金融系統(tǒng)作用的完整軌跡，也就無法有效說明金融系統(tǒng)對經(jīng)濟增長的作用機理。當(dāng)然，這一點并非新古典增長理論的唯一缺憾，也不是最重要的缺憾。

新古典經(jīng)濟增長理論證明了技術(shù)進(jìn)步在經(jīng)濟長期增長中的重要地位，但同時它卻把這一重要因素設(shè)定為外生變量，這就使得新古典增長理論的實用價值大打折扣。20世紀(jì)80年代中期開始，經(jīng)濟學(xué)家們開始將技術(shù)因素逐步內(nèi)生化，內(nèi)生經(jīng)濟增長理論逐漸形成。內(nèi)生經(jīng)濟增長理論的基礎(chǔ)模型之一——AK模型由巴羅和里貝羅于20世紀(jì)90年代初提出，它的基本形式是：y=Ak。

由于這是一個極端簡化的例子，它只表述了單要素的線性生產(chǎn)函數(shù)（A為資本的邊際生產(chǎn)率），但同時它又打破了約束新古典增長理論的資本邊際收益遞減的限制條件（f′（k）=0），認(rèn)為當(dāng)資本存量不斷增加時，其邊際生產(chǎn)力并不會減少為零。因此，AK模型成為內(nèi)生經(jīng)濟增長理論的核心假設(shè)。內(nèi)生經(jīng)濟增長理論的發(fā)展過程中又形成了許多分支，各種建立于不同假設(shè)前提下的模型使其理論體系不斷地從各個方面得到完善，但是各有側(cè)重的各類內(nèi)生經(jīng)濟增長理論，又都不約而同地圍繞著有關(guān)技術(shù)創(chuàng)新的特殊作用和用于研究開發(fā)（R&D）的資源的重要性這一中心內(nèi)容而展開?？偟膩碚f，內(nèi)生經(jīng)濟增長理論的發(fā)展方向是與知識經(jīng)濟和經(jīng)濟全球化的時代背景相一致的，仍然具有強大的生命力和發(fā)展?jié)摿Α?/p>

但是從內(nèi)生經(jīng)濟增長理論的核心假設(shè)出發(fā)，我們卻可以通過適當(dāng)?shù)难堇[和合理的分析來尋找并不屬于該理論核心內(nèi)容的一些潛在變量關(guān)系。以AK模型為基礎(chǔ)，我們研究一個沒有政府部門的封閉經(jīng)濟體，在該經(jīng)濟體中，資本積累的方程為：

Kt+1=It+1+（1-δ）Kt

其中，It+1為社會總投資，δ為資本折舊率。

由于已經(jīng)把研究范圍限定于一個沒有政府部門的簡化的封閉經(jīng)濟體，資本市場將通過儲蓄與投資在總量上的匹配來達(dá)到出清。而在現(xiàn)實中，儲蓄向投資的轉(zhuǎn)化過程中不可避免地會存在規(guī)模不等的交易費用，也就是說，社會總儲蓄（S=s·Y，s為儲蓄率）并不等于總的投資額，一部分儲蓄會在向投資的轉(zhuǎn)化過程中“漏出”。所以，在這里我們假設(shè)φ為儲蓄向投資的轉(zhuǎn)化率，則1-φ就是因交易費用等因素導(dǎo)致的儲蓄漏損率，儲蓄向投資的轉(zhuǎn)化方程就表示為：

φSt=It

綜合以上各方程，我們不難得到經(jīng)濟的穩(wěn)態(tài)增長率表達(dá)式：

g=Aφs-δ

而在該表達(dá)式中的儲蓄率s又可以進(jìn)一步的表示為：

s=

其中，σ表示行為人的跨期消費替代彈性，ρ表示行為人的時間偏好。很明顯，s與跨期消費替代彈性σ正相關(guān)，與時間偏好ρ負(fù)相關(guān)，而s與資本邊際生產(chǎn)率A和折舊率δ的關(guān)系則不那么明確，而且這一關(guān)系的確定在很大程度上取決于σ的取值大小。由s的表達(dá)式可以判斷，當(dāng)σ>δ/（ρ+δ）時，A與s正相關(guān)，而當(dāng)σ<δ/（ρ+δ）時，A與s負(fù)相關(guān)，兩項相等時A與s不相關(guān)。類似的，當(dāng)σ>1時δ與s負(fù)相關(guān)，當(dāng)σ<1時δ與s正相關(guān)，而σ=1時δ與s無關(guān)。

通過對基于AK模型的演繹和透析我們可以發(fā)現(xiàn)，即使是在側(cè)重于技術(shù)進(jìn)步和人力資本積累的內(nèi)生經(jīng)濟增長理論中，仍然包含著對金融因素的潛在依賴，這也就從理論的角度證明了現(xiàn)代經(jīng)濟增長中金融系統(tǒng)不可或缺的重要作用。

三、總結(jié)

對于數(shù)理方法在經(jīng)濟學(xué)研究中的運用，盡管爭論很激烈，但從當(dāng)前的研究發(fā)展趨勢來看，雖然數(shù)學(xué)的濫用以及數(shù)理工具理性的不斷強化，可能會成為經(jīng)濟學(xué)全面發(fā)展的桎梏，但從整體來看，經(jīng)濟學(xué)的數(shù)理化革命能使經(jīng)濟學(xué)走向成熟和科學(xué)，數(shù)學(xué)方法本身能使經(jīng)濟理論不斷豐富和深化，同時也增強了經(jīng)濟政策的有效性。從這種意義上說，經(jīng)濟學(xué)的全面發(fā)展離不開數(shù)學(xué)?！耙环N科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才算真正達(dá)到了完善的地步?！敝挥泻侠淼乩脭?shù)學(xué)工具，科學(xué)準(zhǔn)確地把握經(jīng)濟事物本質(zhì)，才能為經(jīng)濟理論生動直觀地或需要定量地表達(dá)提供可能的方式。

[責(zé)任編輯 劉嬌嬌]