林俊能

古諺有云：“忍一時(shí)風(fēng)平浪靜，退一步海闊天空”。其原義說的是為人處世之道，實(shí)際上，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究又何嘗不是如此？在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中充滿著具體與抽象，特殊與一般的辯證關(guān)系，而學(xué)會(huì)“退”一步來看問題就是一種很重要的思想方法。華羅庚教授曾不止一次地指出：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅?！彼徽Z道出了退一步看問題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出這幾個(gè)理念：倡導(dǎo)積極主動(dòng)勇于探索的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新思維；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，注重適當(dāng)?shù)男问交?。同時(shí)認(rèn)知理論也表明：學(xué)習(xí)過程是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程，是根據(jù)先前的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動(dòng)地和有選擇地知覺外在信息。數(shù)學(xué)知識(shí)盡管表現(xiàn)為形式化的符號(hào)，但它可視為具體生活經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)的系統(tǒng)化。它可以在學(xué)生的生活背景中找到實(shí)體模型。因此，我認(rèn)為，在教學(xué)中能“退”到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)好新知識(shí)、解決新問題的重要保證，也是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程”這一說法的原動(dòng)力，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)際談一些“退”的方法。

一、 新課教學(xué)中的“退”

1. 退到簡(jiǎn)單情形——具體化

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程的教學(xué)，學(xué)生認(rèn)知的過程都遵循著從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象的過程，所以思維過程的起點(diǎn)應(yīng)該由簡(jiǎn)單、具體開始，我們的教學(xué)也應(yīng)該以此為起點(diǎn)。

過去的教材往往略去了過程的敘述，直接呈現(xiàn)出結(jié)果，而在新課程改革后，教材呈現(xiàn)的方式做了非常大的改進(jìn)，盡可能地遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也提供了非常豐富的具體簡(jiǎn)單的背景。例如，以新課程標(biāo)準(zhǔn)（人教版）必修1第一章及第二章中函數(shù)的教學(xué)為例，教材從三個(gè)具體的實(shí)例抽象出函數(shù)的定義，由具體函數(shù)的圖象和數(shù)量關(guān)系抽象出一般函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，由具體的指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)的圖象抽象出一般指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)的圖象和性質(zhì)…。我們?cè)诮虒W(xué)中只要珍惜這些教學(xué)資源，對(duì)教材體現(xiàn)的理念予以認(rèn)同，給足學(xué)生時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷積極探究，交流合作，主動(dòng)建構(gòu)的過程，我們提出的“退”就很有價(jià)值和意義。

特別地，結(jié)合我校學(xué)生的實(shí)際情況，有時(shí)還應(yīng)在利用課本資源的基礎(chǔ)上，給予更具體的鋪墊，“退”到切合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平。例如，在函數(shù)的單調(diào)性這節(jié)課的教學(xué)中，首先利用教材，讓學(xué)生動(dòng)手列表作出函數(shù)y=x2的圖象，并作出初步的描述；其次考慮到學(xué)生抽象能力不高，為了能順利地得出函數(shù)y=x2及一般函數(shù)單調(diào)性的定義，補(bǔ)充了在兩個(gè)區(qū)間（-∞，0）和[0，+∞）中任意寫出幾組具體的自變量和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；然后讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)特征，從而順利地完成一般定義的探究。這也說明退到何處才是簡(jiǎn)單情形，不應(yīng)該僅僅從教材考慮，一成不變，而應(yīng)考慮當(dāng)前學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際，以學(xué)定教。

2. 退到熟悉的問題——類比與遷移

類比是一種重要的解題策略，是根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推測(cè)出這兩個(gè)對(duì)象在其他性質(zhì)上也有可能有相同或相似之處。它是一種合情推理方式，是由特殊到特殊的推理。常體現(xiàn)為把熟悉的結(jié)論遷移到相關(guān)（甚至是看似毫無關(guān)聯(lián)）的問題上。在這過程中往往能體現(xiàn)出一個(gè)人對(duì)知識(shí)的遷移能力，聯(lián)想能力及創(chuàng)新意識(shí)，這也是普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn)的具體體現(xiàn)。

落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)中，要多給學(xué)生類比的機(jī)會(huì)。原因還是在于應(yīng)盡可能地退到學(xué)生思維和知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生主動(dòng)探究，勇于探索，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的很好機(jī)會(huì)。而這種機(jī)會(huì)在課堂教學(xué)中完全可以信手拈來。例如：把冪的運(yùn)算法則類比到對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則；把對(duì)指數(shù)函數(shù)的研究方法類比到對(duì)數(shù)函數(shù)的研究；圓錐曲線中將橢圓的性質(zhì)和研究方法類比到雙曲線的性質(zhì)及研究上；數(shù)列中將等差數(shù)列的定義與性質(zhì)類比到等比數(shù)列的定義與性質(zhì)……而平面幾何與立體幾何的類比更是處處可見。例如：把平面中直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方類比到空間中側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的三個(gè)側(cè)面面積的平方和等于底面面積的平方；再如：有這樣一道題目，三個(gè)平面可以把空間分成幾個(gè)部分？請(qǐng)畫圖說明。這對(duì)初學(xué)者來說要完整答出有些困難。但是如果讓學(xué)生類比平面幾何中的問題：三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？把對(duì)這個(gè)問題的解決過程類比過來，前面的問題就能應(yīng)迎刃而解了。

當(dāng)然，類比的產(chǎn)生有時(shí)是思維中的靈光閃現(xiàn)，但也并非無跡可尋。其核心就是善于把考慮的問題盡可能地“退”到熟悉的相關(guān)的問題中，尋找一個(gè)合適的類比對(duì)象，加以聯(lián)系，并且不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，上升到理性認(rèn)識(shí)。

二、 解題中的“退”

1. “退”到極端情形——特殊化

數(shù)學(xué)中的許多一般性質(zhì)往往會(huì)通過一些數(shù)量上達(dá)到極端值的對(duì)象反映出來。這就使得我們可以把它們作為重點(diǎn)考察對(duì)象，在解題時(shí)通過“退”到這些極端情形，來尋找問題的突破點(diǎn)和答案。這就是特殊與一般的辯證觀點(diǎn)的體現(xiàn)。

這種“退”的策略在數(shù)學(xué)解題中往往起著重要的作用。在解題中我們可以結(jié)合具體問題的背景，從一些特殊的對(duì)象（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)據(jù)、特殊圖形）和特殊位置入手加以探究，經(jīng)常可以收到奇效。如：

例1 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則■=

解析 取a=3，b=4，c=5，則a，b，c符合成等差數(shù)列的條件，且∠C=90°

∴cosA=■，cosC=0∴原式=■=■

例2 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作直線a交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則■+■=（ ）

A、 2p B、■ C、 ■ D、■

解析 考慮直線a的特殊位置，當(dāng)直線a垂直于拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，直線a的方程為x=■，易得|AF|=|BF|=p，∴■+■=■，選D。

當(dāng)然，以上幾個(gè)例題的解答相對(duì)只注重得到結(jié)論。我們?cè)趯?shí)際的教學(xué)時(shí)，如果有條件，不能滿足于到此為止，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)做一般性的探究，以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。這也符合新課程標(biāo)準(zhǔn)中“強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，注重適當(dāng)?shù)男问交边@一理念。比如對(duì)例2做一般性的討論，原來所考慮的特殊位置本身就是一般解法的一部分。

上面所舉的例題都是客觀題，其實(shí)“特殊化“的思想方法在解綜合題時(shí)也同樣能發(fā)揮作用。如：

例3 （2006·遼寧） 已知f（x）=xn，fk（x）=■其中k≤n（n，k∈Z+ ），設(shè)F（x）=C0n f0（x2）+C1n f1（x2）+…+Ckn fk（x2）+Cnn fn（x2），x∈[-1，1]

（1）略

（2）證明：對(duì)任意的x1，x2∈[-1，1]，恒有|F（x1）-F（x2）|

≤2n-1（n+2）-n-1

解析 本題綜合性較強(qiáng)，難度大。先求出函數(shù)F（x）的表達(dá)式，再利用該表達(dá)式得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性和奇偶性，然后的關(guān)鍵點(diǎn)就是對(duì)|F（x1）-F（x2）|進(jìn)行變換。這時(shí)只需考慮取F（x）的極端值，易得F（x）max=F（1），F(xiàn)（x）min=F（0），從而就有對(duì)于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0），最后再將不等式的右邊利用函數(shù)F（x）的表達(dá)式變形化簡(jiǎn)即可。

上面這道題的解題思路就是“退”到極端位置，所以在解決一些一般性、存在性的問題時(shí)，“退”到極端情形是很好的切入點(diǎn)。

2. “退”到起始點(diǎn)——分析法

分析法是一種直接證明的方法，即從數(shù)學(xué)的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。簡(jiǎn)言之就是執(zhí)果索因，它實(shí)際上也是一種主動(dòng)的“退”，有目的性的“退”。有如一條江從源頭開始，后面可能產(chǎn)生很多分支。如果我們把數(shù)學(xué)題中的已知條件比作一條江的源頭，待證結(jié)論比作它的下游。那么，從下游逆流而上尋找源頭，反倒更有目的性，不容易受到其他支流的干擾，也更能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。

例如 新課程標(biāo)準(zhǔn)（湘教版）選修4-5《不等式選講》中提到了定理：|a+b|≤|a|+|b|

對(duì)這個(gè)定理可采用綜合法證明如下：

∵-|a|≤a≤|a|——① -|b|≤b≤|b|——②

∴由①②相加得到：-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b|

在上述的證明過程中，筆者認(rèn)為①②兩式的引入讓人覺得有點(diǎn)突然，而且教師在講解時(shí)不容易講清思考方向。但若采用分析法來解決，思路的產(chǎn)生就顯得自然多了。另外還可以采用另一種更為簡(jiǎn)潔的分析法證明：

要證 |a+b|≤|a|+|b| 只需證|a+b|2≤（|a|+|b| ）2

只需證a2+2ab+b2≤a2+2|ab|+b2 只需證ab≤|ab|

上式顯然成立 ∴原不等式成立。

綜上，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)具有“退”的意識(shí)，講究“退”的方法與策略。當(dāng)代著名的美國數(shù)學(xué)家、教育家波利亞說過：“我們應(yīng)該談?wù)撘话慊厥饣皖惐冗@些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！本妥屛覀円酝藶檫M(jìn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)探究，學(xué)會(huì)創(chuàng)新吧！