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        論單圈圖的特征值上界

        2017-03-03 10:50:05馬志輝
        關(guān)鍵詞:單圈石河子大學(xué)上界

        馬志輝

        (石河子大學(xué) 理學(xué)院,新疆 石河子 832000)

        論單圈圖的特征值上界

        馬志輝

        (石河子大學(xué) 理學(xué)院,新疆 石河子 832000)

        以圖的譜來(lái)刻劃圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)是圖的譜理論中重要的研究問(wèn)題之一.一方面圖譜在量子化學(xué)、信息科學(xué)等學(xué)科中均有一系列的重要應(yīng)用.另一方面圖譜理論發(fā)展的同時(shí)也促進(jìn)和豐富了圖論和組合數(shù)學(xué)本身的研究,譜技巧已經(jīng)成為圖論和組合數(shù)學(xué)研究中一個(gè)重要的工具.本文證明了階連通單圈圖的第個(gè)特征值的上界

        單圈圖;上界;特征值

        1 引言

        本文所研究的單圈圖是恰含一個(gè)圈的簡(jiǎn)單連通圖,單圈圖G的特征值就是它的鄰接矩陣A(G)的特征值,A(G)的特征,多項(xiàng)式記為P(G,λ),如果G是一個(gè)n階單圈圖,則A (G)是一個(gè)n階對(duì)稱(0,1)矩陣,故A(G)的第n個(gè)特征值,也就是G的第n個(gè)特征值全為實(shí)數(shù),我們可以按遞降次序?qū)⑺鼈兣帕袨椋?/p>

        稱λk(G)為G的第k個(gè)特征值.

        在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下,本文的G均代表n階連通的單圈圖.

        洪淵證明了:

        1:λ1(G)≤λ1(S2n),當(dāng)n≥9的時(shí)候,有,其中Sn2是連接星圖Ktn-1的兩個(gè)一度點(diǎn)而得到的圖.

        2.λ1(G)=λ1(S2n)GSn2其中表示同構(gòu).

        邵嘉裕研究了n階樹(shù)T的特征值的上界,所得結(jié)果如下:

        對(duì)全部n≠0(modk)時(shí),上界是最好可能上界.

        2.當(dāng)n=0(modk),上界(1)中嚴(yán)格不等式成立,但是對(duì)于任意ε>0,一般不成立.

        3.當(dāng)n=0(modk),存在n階樹(shù)T*,使得:

        本文在上述研究基礎(chǔ)上,對(duì)n階連通單圈圖G的第個(gè)特征值的上界問(wèn)題證明了:

        2 引理

        引理1 柯西插入定理

        設(shè)V是G的一個(gè)含個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)子集,G-V表示G刪除V中點(diǎn)以及和V中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的所有邊后所得的子圖,則有:

        證 設(shè)θ是G的非孤立點(diǎn),以θ為根長(zhǎng)出的所有l(wèi)+1個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)Tl+1所得的圖集,記為GT(θ,1),當(dāng)Tl+1為星圖Kl+1,記所的圖為

        引理2 對(duì)任一Gl∈GT(θ,1),Gl與不同構(gòu),有:

        引理3 如果T為任一n階樹(shù),那么對(duì)于任何一個(gè)正整數(shù)k,2≤k≤,存在V∈V(T),使得|V'|=k-1,且T-V全部分支階樹(shù)都不超過(guò)

        證 不妨設(shè)G是n階樹(shù)T添加一邊e=[μ,θ]而形成的,即G=T+e

        由引理3可知,存在V∈(V(T)=V(G),使|V'|=k-1,且T-V的所有分支的階數(shù)不超過(guò),令T-V的所有分支為T(mén)1,T2,…,Ti,下面就e所在位置幾種情形討論.

        情形1:μ∈V或θ∈V,則,T1,T2,…,Ti,就G-V的所有分支.從而(2.1)成立.

        情形2:e在某分支T1中,則T1為單圈圖,[V(Ti)]≤,令T1=Ti,于是條件成立.

        情形3:e作為割邊連接了T的某兩個(gè)分支,不妨設(shè)為T(mén)1,T2,令Ti=T1UT2U[e]則有

        于是條件(3.3)成立,故,引理得證.

        3 結(jié)果

        證任意圈上的某點(diǎn)θ,記G'=G-θ,則G為n-1階森林.因此有:λk(G)≤λk-1(G')(引理1)

        證畢.

        圖1 Gt

        易得:P(Gt,λ)=λ2t-4(λ4-(2t-1)λ2+(t-1)2)

        證由引理5可知,存在V?V(G),|V|=k-1,使G-V的所有分支T1,T2,…,Tm滿足(2.1),(2.2),(2.3)之一,下面分幾種情形討論.

        1)當(dāng)n≡0(modk),且t≥1時(shí),存在n階單圈圖G1,使λk

        2)當(dāng)n≡0(modk),且t≥2時(shí),存在n階單圈圖G2,使λk

        〔1〕于廣龍.有關(guān)組合矩陣論中圖譜與符號(hào)模式矩陣的研究[D].華東師范大學(xué),2011.

        〔2〕田路路.簡(jiǎn)單連通圖的鄰接譜半徑的若干問(wèn)題的研究[D].華僑大學(xué),2013.

        〔3〕李國(guó)君.關(guān)于圖的零度和無(wú)符號(hào)拉普拉斯譜半徑的研究[D].北京交通大學(xué),2014.

        〔4〕扈生彪.單圈圖的最大特征值的上界的改進(jìn)(英文)[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2009(05):945-950.

        O157.5

        A

        1673-260X(2017)01-0001-02

        2016-10-10

        石河子大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)資金專項(xiàng)(RCZX201418);石河子大學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)研究青年項(xiàng)目(2015ZRKXYQLH09)

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