俞春明

摘 要：基礎(chǔ)知識，基本技能，基本方法俗稱“三基”，每次課堂上強(qiáng)調(diào)三基訓(xùn)練，可是特殊方法有時被強(qiáng)化了，記住了特殊解題方法卻忽視了通性通法，丟了西瓜撿了芝麻，闡述了一些通性通法在解高考題中發(fā)揮的作用以及平時需要注意的學(xué)習(xí)策略。

關(guān)鍵詞：通性通法；雙基；類比

近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)試題題量穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，題型變化不大，考查的是基礎(chǔ)知識和基本技能，強(qiáng)調(diào)的是通性通法。學(xué)生要拿高分，基礎(chǔ)題目得先拿穩(wěn)，所以在我們的復(fù)習(xí)課中要以一題覆蓋一類題目，觸類旁通，有章可循，這樣會在復(fù)習(xí)時起到事半功倍的效果。

在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法。概念中道出了基本技能和思想方法—重雙基。解題教學(xué)中，注重基礎(chǔ)知識及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的硬道理。這就要求我們努力提高對所教內(nèi)容的理解水平，增強(qiáng)辨別和判斷能力，分清主次，把握知識的重難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系基礎(chǔ)、洞察本質(zhì)的能力，這樣才能落實(shí)數(shù)學(xué)課程的育人功能，使學(xué)生真正從通性通法中得到好處。

一、尋根溯源，重視課本知識

要根據(jù)教學(xué)大綱的要求進(jìn)行教學(xué)，而最基本的知識點(diǎn)和思想方法幾乎都是從課本中的概念、法則、性質(zhì)、定理、公理、公式出發(fā)，在相應(yīng)的例題中涵蓋數(shù)學(xué)知識和思想方法。高考題的出處也是來源于書本又不拘泥于書本知識，可以在書本中找到影子。我們知道書本是專家們共同編寫的，覆蓋了高中的知識點(diǎn)與思想方法。每一個例題都有它自身的價值，具有普遍指導(dǎo)意義的通性、通法，一定的代表性，做到“練例題，學(xué)一法，會一類，通一片”，才是十分重要的學(xué)習(xí)策略，也是符合素質(zhì)教育要求的。

在必修5中講完等差數(shù)列和等比數(shù)列的時候，會留給我們很多思考，比如會存在等和數(shù)列an+an+1=d與等積數(shù)列anan+1=q嗎？如果有，它們會有些什么性質(zhì)呢？結(jié)果證實(shí)，確實(shí)存在，并具有相應(yīng)的an通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn的公式。

同樣在課本中橢圓的定義是平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1，F(xiàn)2）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。雙曲線的定義是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于F1，F(xiàn)2的正數(shù)）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。能否類比這些性質(zhì)，猜想平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的比等于常數(shù)？姿（？姿>0且？姿≠1）的點(diǎn)的軌跡是什么呢？推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)是個圓（命名為阿波羅尼斯圓）。

例1.【江蘇2013年14分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4。設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

利用阿波羅尼斯圓的定義就可以知道第（2）問中MA=2MO可得到點(diǎn)M的軌跡方程x02+（y0+1）2=4，于是題目就轉(zhuǎn)化為圓C與圓M的位置關(guān)系了，從而問題得以解決。

可以看出課本知識與高考題的密切聯(lián)系，不僅讓學(xué)生知道書本的重要性而且要學(xué)會思考，舉一反三，類比推理，歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論和知識點(diǎn)，尤其在高考復(fù)習(xí)中需要重視書本的再學(xué)習(xí)。

二、通過思維訓(xùn)練，形成探究意識

學(xué)生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性都不是一時養(yǎng)成的，需要平時對思維的訓(xùn)練，那么對數(shù)學(xué)學(xué)科而言是最好的思維訓(xùn)練平臺。思維變通往往需要幾種變通（改編題目、變式練習(xí)、一題多解等）的綜合，尤其是題目變通和方法變通，能很好地活躍學(xué)生的思維，養(yǎng)成很好的思維習(xí)慣，并在好奇心和求知欲的驅(qū)使下，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。

譬如，用數(shù)學(xué)語言描述等差數(shù)列的定義：an-an-1=d（n≥2），那么就可以得到通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d。猜想如果把常數(shù)d變成函數(shù)f（n），即an-an-1=f（n），若f（n）=2n，那么該數(shù)列的通項(xiàng)會是什么呢？經(jīng)過探討發(fā)現(xiàn)可以用累加法得到：an=a1+■f（i），既而又可探討f（n）的表達(dá)式子，怎樣才能順利化簡■f（i）。于是猜想f（n）的表達(dá)式，可以是關(guān)于n的一元一次方程如f（n）=（2n-1），用等差數(shù)列求和公式處理■f（i）；可以是指數(shù)形式給出f（n）=2n用等比數(shù)列求和來求解；可以構(gòu)造能裂項(xiàng)相消的式子如f（n）=■；也可以是錯位相減的差比數(shù)列如f（n）=n·2n等一系列的f（n）模型出現(xiàn)。

通過上面的推理，我們也可以猜想等比數(shù)列公比不是常數(shù)而是函數(shù)模型f（n）是否也有這樣的結(jié)論呢？由■=q（q≠1，0）知數(shù)列an是等比數(shù)列并通項(xiàng)是an=a1qn-1，那么給出式子■=f（n）。那么數(shù)列an的通項(xiàng)怎么求呢？結(jié)論是用累乘法得an=a1■f（i），同時又可猜想f（n）是怎樣的表達(dá)式求和部分可化成一個式子。于是可以構(gòu)造能約分或者能合并的式子如f（n）=1-■，cos2n等。

通過用數(shù)學(xué)的思想分析問題、解決問題來訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)探究創(chuàng)新以及靈活多變的思維能力。在變式探究過程中，學(xué)生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因變化的奧妙精彩而推向高潮。教學(xué)的關(guān)鍵不是記住結(jié)論，而是經(jīng)歷探究的過程，感受數(shù)學(xué)的研究方法，提高數(shù)學(xué)的解題能力，只有在運(yùn)用通性通法進(jìn)行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學(xué)，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使思維在所學(xué)知識中游刃有余，順暢自如。

三、歸納各種題型的思想方法，體會解決問題的數(shù)學(xué)思想

所謂基本思想方法，包含兩層含義：一是主要的四類數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化（化歸）思想；二是常用的數(shù)學(xué)方法，可分為三類：第一類是邏輯學(xué)中的方法，如分析法、綜合法、反證法、類比法、歸納法、窮舉法等；第二類是中學(xué)數(shù)學(xué)的一般方法，如代入法、圖象法、比較法和數(shù)學(xué)歸納法等；第三類是中學(xué)數(shù)學(xué)的特殊方法，主要是配方法、換元法、待定系數(shù)法、參數(shù)法及向量法等。而這些基本思想方法是蘊(yùn)含在具體的題目中的，需不斷地通過這些例題和習(xí)題進(jìn)行“提煉”和“概括”，仔細(xì)體會，認(rèn)真思考，在不斷的思考體會中把這些思想方法進(jìn)行內(nèi)化，轉(zhuǎn)換為自己的能力，反過來用這些思想方法指導(dǎo)解題，在不斷的反復(fù)中把數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法融為一體，使自己的能力達(dá)到一個新的高度。

從高考數(shù)學(xué)試題里知道高考重視對基礎(chǔ)知識、基本技能和通性通法的考查。通法的思想順應(yīng)一般思維規(guī)律，為多數(shù)學(xué)生所掌握，便于理解和操作。在教學(xué)中應(yīng)注意講清通性通法的概括過程，并通過啟發(fā)和引導(dǎo)，向?qū)W生提示每種通法產(chǎn)生的過程，這樣更有利于學(xué)生對通法本質(zhì)、對數(shù)學(xué)思想的理解。所以在系統(tǒng)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)的時候，僅僅有知識的積累還不夠，還要注意歸納方法，掌握常見的、使用頻率較高的解題方法，研究通性通法，體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

在圓錐曲線試題中，經(jīng)常會用到“坐標(biāo)法轉(zhuǎn)移法”“消元法”“判別式法”“韋達(dá)定理法”“解析法”等常用方法來解決直線直線與直線、直線與曲線、曲線與曲線間的關(guān)系。

在研究空間幾何時，涉及線面位置關(guān)系時，一般是三步驟（線線，線面，面面）之間的轉(zhuǎn)化。涉及距離問題，無非是點(diǎn)、線、面之間的6個距離，注重之間的轉(zhuǎn)化，可能會用到等積法，向量投影法以及點(diǎn)、線、面之間的等價轉(zhuǎn)化。在求空間角時把握住總體思想：先把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再通過解三角形來求角的值。作出對應(yīng)的平面角是關(guān)鍵，求平面角的通法有“定義法”“平移法”“垂線法”“垂面法”“向量法”。

又如，在三角恒等變換中，注重將不同名三角函數(shù)化成同名三角函數(shù)，將不同角函數(shù)化同角函數(shù)，遇到正切、正弦、余弦并存時注意切化弦思想的應(yīng)用。在解三角中，特別是“正（余）弦定理”的應(yīng)用，同一個問題，涉及好幾個知識板塊的核心內(nèi)容，我們就要結(jié)合典型題目分析每種方法的特點(diǎn)，弄清楚其適用條件，注重轉(zhuǎn)化思想，活用“邊化角”或者“角化邊”的思想，在“熟”和“透”方面下工夫，看到一個問題就能聯(lián)想到相應(yīng)的知識、方法，把搜尋的范圍縮小在可控范圍內(nèi)，方法明確實(shí)用，平時訓(xùn)練有素，以此提高解題速度和準(zhǔn)確性。

四、平時注重做題訓(xùn)練，學(xué)會思考，總結(jié)思想方法

每道高考真題和高考模擬試題都會有一定的數(shù)學(xué)思想，做題時要用心體會其中的思想方法以及相互之間的滲透。抓住核心的本質(zhì)，做到心中有數(shù)，遇到題目時才會有章可循，不但在解題中達(dá)到爐火純青，至少也能有瞎子吃餛飩——心中有數(shù)。當(dāng)然學(xué)是為了不學(xué)，要學(xué)會學(xué)習(xí)的本領(lǐng)，所以在平時還需要我們能學(xué)后而思，思后而學(xué)，學(xué)思相結(jié)合的良好數(shù)學(xué)品質(zhì)。不在一題多解上下工夫，而在符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律中下工夫，能學(xué)會能操作，能把分?jǐn)?shù)裝進(jìn)自己的口袋中那就是勝利者。換言之，只要能救命的即使是稻草也管用，不會的或者不常使用略顯生疏的方法再好也是無濟(jì)于事。因此在平時就需要多練習(xí)一些常用的思想方法和技巧，體現(xiàn)通性通法的使用性。

總之，通性通法是解題的根本，知識是基礎(chǔ)，方法是手段，思想是深化，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)還得從提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和應(yīng)用出發(fā)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位 江蘇省蘇州市藍(lán)纓學(xué)校）

？誗編輯 司 楠