劉自強

《數(shù)學課程標準》（2011年版）不僅把獲得數(shù)學的“基本思想”“基本活動經(jīng)驗”（以下簡稱“新增兩基”）列為數(shù)學教學的重要目標，而且明確指出了達成這些目標的途徑，如“通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學的基本思想”，“在參與數(shù)學活動的過程中積累基本活動經(jīng)驗”，等等。在此，筆者以人教版教材為例，談?wù)剬唧w落實這方面目標的幾點思考。

一、著眼數(shù)學素養(yǎng)，挖掘數(shù)學內(nèi)涵

1.依托教材，挖掘教學內(nèi)容的數(shù)學內(nèi)涵與教育價值

數(shù)學思想無形地隱含于數(shù)學知識體系里，因此，數(shù)學思想的滲透需要依附于有“形”的數(shù)學知識技能的教學。數(shù)學活動也同樣離不開知識技能這個載體，學生的數(shù)學活動經(jīng)驗需要在積極參與學習數(shù)學知識技能的過程中，經(jīng)過獨立思考、探索實踐和合作交流而積累形成。

基于以上觀點，我們數(shù)學教師不僅要深入學習和領(lǐng)會新課標精神，從培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的高度，充分認識在教學中關(guān)注數(shù)學思想、數(shù)學活動經(jīng)驗的重要性，增強“滲透”的自覺意識，還要努力提升自身的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)，善于挖掘并準確把握教學內(nèi)容的數(shù)學內(nèi)涵與教育價值。要堅持依托教材，基于正常的教學秩序，把具體的知識技能教學放在“培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)”這樣更高的目標和更廣泛的視角下進行，避免“另起爐灶”和“兩張皮”現(xiàn)象。這是落實“新增兩基”的重要前提。

2.深入分析，準確把握教學內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想

數(shù)學基本思想包括數(shù)學抽象的思想、數(shù)學推理的思想和數(shù)學建模的思想，它們在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程幾乎無所不在。在小學數(shù)學教學中具體接觸到的有以上基本思想演變、派生、發(fā)展而來的分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號化思想、集合思想、對應(yīng)思想、歸納思想、轉(zhuǎn)換化歸思想、類比思想以及簡化思想、量化思想、函數(shù)思想、優(yōu)化思想、方程思想、統(tǒng)計思想等。

數(shù)學思想不像數(shù)學概念、法則、性質(zhì)等知識那樣明顯地寫在教材中，但是教材編者通過情境設(shè)置、內(nèi)容呈現(xiàn)順序和圖中人物的語言等，把數(shù)學思想無形地體現(xiàn)于其中。通常，在概念的教學中滲透著分類思想、歸納思想；在性質(zhì)、規(guī)律、法則、公式的教學中滲透著類比思想、歸納思想；在解決問題的教學中滲透著數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)換化歸思想、方程思想等。而各冊教材中的“數(shù)學廣角”和數(shù)學實踐活動，更是相對系統(tǒng)地引導學生獲得數(shù)學思想的好素材，也是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體。教師要通過深入分析教材去領(lǐng)悟這方面的編寫意圖，在教學中準確把握并恰當滲透。

例如，五年級上冊《簡易方程》的教學意義在于引導學生經(jīng)歷從“算術(shù)”到“代數(shù)”的過渡，這是學生認識上的一個飛躍，其數(shù)學內(nèi)涵更突出地體現(xiàn)于符號化思想、函數(shù)思想、方程思想的滲透，以及抽象概括能力、解決問題能力的培養(yǎng)上。因此，其中《用字母表示數(shù)》和《方程的意義》的教學就不能只滿足于外在形式上“會用字母表示”“會判斷是不是方程”，而更要關(guān)注讓學生經(jīng)歷從具體實例到一般意義的抽象概括過程，感受用字母表示數(shù)的優(yōu)越性、變量間的對應(yīng)依存關(guān)系和數(shù)量間的等量關(guān)系等，領(lǐng)悟相關(guān)的數(shù)學思想，為學生在后續(xù)學習中擺脫算術(shù)思維的局限性打下良好的基礎(chǔ)。

二、根據(jù)內(nèi)容特點，設(shè)計有效活動

“新增兩基”的獲得都離不開數(shù)學活動。不僅數(shù)學活動經(jīng)驗需要學生在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，數(shù)學思想也需要學生在探索推演的活動過程去領(lǐng)悟，并在數(shù)學活動經(jīng)驗的積累上形成。因此，準確把握教學內(nèi)容的數(shù)學實質(zhì)，根據(jù)不同內(nèi)容特點設(shè)計有效的教學活動，讓學生真正經(jīng)歷、參與到活動過程中，是落實“新增兩基”的基本途徑。

1.準確把握“活動”的數(shù)學價值

首先不能將數(shù)學活動狹隘地理解為就是“動手實踐”“合作討論”等這些有形的“動”。數(shù)學活動的根本價值在于引導學生經(jīng)歷數(shù)學思考，即運用數(shù)學的理性思維進行思考，培養(yǎng)學生以數(shù)學的眼光看世界、從數(shù)學的角度去分析問題的素養(yǎng)。因此，重要的是活動必須有明確的數(shù)學內(nèi)涵和數(shù)學目的，必須體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)且最終落實到思維的“動”，而不是形式化的“為活動而活動”。從這個意義上說，師生在課堂上的講授、學習（當然這種講授和學習應(yīng)該是啟發(fā)式、探究式、互動式的）與數(shù)學探究、合作交流等一樣，都是很好的數(shù)學活動。數(shù)學活動經(jīng)驗也不僅僅是實踐的經(jīng)驗、解題的經(jīng)驗，更重要的是數(shù)學活動中思考的經(jīng)驗、思維的經(jīng)驗。

例如，二年級下冊《千以內(nèi)數(shù)的認識》的教學中，A教師單純地讓學生估計“一千張紙有多厚”“一千粒豆子有多少”，不僅太難（成人也未必能較準確估出），最后呈現(xiàn)實物也只能“灌”給學生一千張紙、一千粒豆子具體是多少的感覺。B教師則先讓學生小組合作，各自數(shù)出一百粒豆子，然后問：“如果把豆子倒入這個瓶子，估一估500粒豆子會到瓶子的什么位置？”一百一百地倒進400粒后，再問：“現(xiàn)在要不要調(diào)整你的估計呢？再估一估，一千粒會到哪里呢？這樣的活動過程不僅讓學生很好地培養(yǎng)了數(shù)感，積累了用不同單位數(shù)數(shù)的經(jīng)驗（一個一個地數(shù)出十，一十一十地湊成百，一百一百地匯成千），還引導學生形成了估測的意識和經(jīng)驗（先找一個標準）。

2.以恰當?shù)姆绞阶寣W生親歷數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程

數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，也是數(shù)學思想發(fā)生和凸顯的過程。圍繞這樣的過程設(shè)計數(shù)學活動，讓學生通過操作、觀察、實驗、猜測、度量、驗證、推理、交流，將書本知識（間接經(jīng)驗）轉(zhuǎn)化為自己親歷的直接經(jīng)驗，這樣不僅有利于學生對相關(guān)知識的深入理解和掌握，同時也有利于他們在活動的過程中感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，掌握一定的學習方法，養(yǎng)成良好的學習習慣，形成“會學數(shù)學”的能力和素養(yǎng)。

例如，在三年級上冊《認識幾分之一》的教學中，通常會有鼓勵學生用數(shù)表示“平均分后的某一份物體”的環(huán)節(jié)，就是讓學生形象地感受到分數(shù)產(chǎn)生的必要性，再通過觀察、操作、比較和交流等活動，讓學生對具體的幾分之一中的“幾”和“一”的含義有直觀的體會，在此基礎(chǔ)上進行抽象，初步理解分數(shù)的含義，形成概念。這些活動的意義在于，讓學生經(jīng)歷了借助圖形操作進行思考，從具體的實物操作中抽象出分數(shù)概念的本質(zhì)特征的過程，積累了相關(guān)的實踐活動、思維活動經(jīng)驗，并感受到數(shù)形結(jié)合思想和抽象思想等。這樣的教學效果，顯然不是簡單機械地“用詞語描述分數(shù)含義”所能比擬的。

三、引導領(lǐng)悟、體驗，促進有效內(nèi)化

數(shù)學思想的形成是學生思維活動的結(jié)果，是個體的一種感悟。數(shù)學活動經(jīng)驗則是學生這個主體對活動過程中的經(jīng)歷、體會進行總結(jié)、提煉而獲得的具有個性特征的經(jīng)驗。兩者都是學生通過自己的體驗、感悟而逐步內(nèi)化的結(jié)果，而教師的恰當引導是實現(xiàn)這種體驗、感悟和內(nèi)化的關(guān)鍵。

1.找準滲透點，引導學生在運用數(shù)學方法的過程中領(lǐng)悟數(shù)學思想

應(yīng)指出的是，不能把數(shù)學思想與數(shù)學方法混為一談，它們有聯(lián)系，但也有區(qū)別。數(shù)學思想是數(shù)學教學的核心和精髓，它比“方法”更上位，屬觀念性、指導性的。在用數(shù)學思想解決具體問題時，會逐漸形成程序化的操作而構(gòu)成數(shù)學方法，所以數(shù)學方法屬表象性的、操作性的，是可以講授的。但是數(shù)學方法所體現(xiàn)的數(shù)學思想，學生則要在教師的引導下方能有所了解和體會。為此，教師需要把握好滲透數(shù)學思想的關(guān)鍵點和契機。

例如，一位教師教學《垂直與平行》時，先讓學生畫出各自心目中兩條直線的位置關(guān)系，并展示于黑板上，然后問：“這么多，我們該怎樣去研究呢？”生：“可以分類?！睅熯M一步追問：“為什么想到分類？”生：“好研究??！”看似簡單的對話，卻精彩地體現(xiàn)出教師引導學生感悟“分類思想”的用心，抓住關(guān)鍵點讓學生在過去積累起的分類方法、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，豁然明確了分類思想的指導意義：分類是有目的的，應(yīng)根據(jù)研究的需要，從某個角度出發(fā)或按照對象的某種本質(zhì)來進行，而不是為分類而分類。如果我們的教學只滿足于學生“會按某種標準將對象劃分為幾個不同的種類”，那就僅是停留于方法層面的引導，而缺少了具有方向性意義的數(shù)學思想的滲透。

2.在“做”中引導思考、交流，促進活動經(jīng)驗的內(nèi)化

活動經(jīng)驗既是個人對活動過程中的經(jīng)歷、體會進行總結(jié)、提煉內(nèi)化而得，那么在活動中引導學生圍繞一些關(guān)鍵點進行思考、交流，促進這種內(nèi)化，就顯得非常重要。這里提倡“交流”，還因為活動經(jīng)驗未必都是自己摸索得到的，也可以是受別人啟發(fā)而獲得的。

例如，有位教師在三年級下冊《數(shù)學廣角》（等量代換）的教學中設(shè)計了引導學生畫圖表示等量關(guān)系推理的過程。（1個菠蘿換4個桃子，1個桃子換2個橘子，1個菠蘿換幾個橘子？）在學生展示、交流“作品”的環(huán)節(jié)，教師有意識地先展示一幅比較逼真地畫出實物形象圖的“作品”和一幅畫幾何圖形代表的“作品”，追問：“用正方形、三角形來表示行嗎？”接著展示另一幅“作品”：先形象地畫1個桃子對應(yīng)2個橘子，后面只畫○表示桃子，并在○上對應(yīng)地寫個“2”。師追問道：“你第一組桃子、橘子畫得這么漂亮，為什么后面不畫了？○表示什么？寫2又是什么意思？”通過這樣的引導對比和交流，使全體學生都理解了畫的目的，切實體驗到“符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式”，從而較好地感悟符號所蘊含的數(shù)學思想，形成運用符號的數(shù)學活動經(jīng)驗。

四、注意銜接，長期滲透，逐步培養(yǎng)

學生數(shù)學思想的形成需要經(jīng)歷從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，數(shù)學活動經(jīng)驗同樣要依靠長期活動經(jīng)歷中逐漸積累而獲得。因此，備課時不僅要考慮教材知識體系的前后銜接，還要縱向把握相關(guān)數(shù)學思想、活動經(jīng)驗與數(shù)學知識內(nèi)容的聯(lián)系。

例如，在長度、面積和角度單位等內(nèi)容的教學中，一般都可以設(shè)計“比較”的系列活動：用肉眼觀察（長短或大小差異明顯的）—通過重疊比較（肉眼難以直接判斷的）—通過割補或借助擺學具比較（重疊仍不能直接得出結(jié)論或無法重疊的）。圍繞“怎么比”設(shè)置一個個“障礙”引導學生操作、思考、交流，使他們在活動中不僅感受到引進新“單位”的必要性，而且經(jīng)歷了根據(jù)問題特點與條件的變化不斷尋找、調(diào)整解決問題的策略的過程。又如，在幾何形體求積公式和解決問題等內(nèi)容的教學中，通常都可以設(shè)計轉(zhuǎn)化問題的活動，讓學生經(jīng)歷化繁為簡、化難為易、化未知為已知的過程。學生在不同年級、不同內(nèi)容的學習中多次經(jīng)歷這樣的過程，分別會逐步形成明確化、科學化、數(shù)學化的比較活動經(jīng)驗和“不斷地將問題變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題”的轉(zhuǎn)換化歸思想。日常教學中，我們倘能從縱向關(guān)注“新增兩基”，如此循環(huán)往復、持之以恒地進行有意識地滲透、培養(yǎng)，它們的落實就有了可靠保障。