劉璐，潘云龍，扎慶慶，雷瑩

(合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽合肥230009)

0 引言

按照國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 10360-1(2000)，坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(coordinate measuring machine，簡(jiǎn)稱(chēng)CMM))是“a measuring system with the means to move a probing system and capability to determine spatial coordinates on a workpiece surface”。通常我們所說(shuō)的坐標(biāo)測(cè)量機(jī)一般指空間正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)測(cè)量機(jī)。

坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng)，其測(cè)量誤差需要單獨(dú)測(cè)試［1］，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 10360-2給出了測(cè)頭系統(tǒng)的誤差檢測(cè)策略，本文對(duì)該策略的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行分析并給出一種比標(biāo)準(zhǔn)中推薦算法更為準(zhǔn)確具體算法。根據(jù)ISO 10360-2 的規(guī)定，在檢測(cè)測(cè)頭系統(tǒng)的誤差時(shí)，需要在標(biāo)準(zhǔn)球的半球上均勻采集25 個(gè)點(diǎn)，計(jì)算所有點(diǎn)的徑向偏差范圍。用全部25 個(gè)點(diǎn)計(jì)算出最小二乘球的中心，并分別計(jì)算出25 個(gè)點(diǎn)到該球心的徑向距離r，r的最大值和最小值的差即為探測(cè)誤差。在比較各種有關(guān)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的誤差檢測(cè)文獻(xiàn)上的檢測(cè)策略［2-3］后，我們給出一種更為準(zhǔn)確的布點(diǎn)方法。

1 球面上點(diǎn)的均勻分布

1.1 對(duì)ISO 10360 －2:2001［5.2.3.4］的理解思辨

其5.2.3.4 指出測(cè)量并記錄25 個(gè)點(diǎn)。各點(diǎn)在檢測(cè)球的半球上盡可能均勻分布。各點(diǎn)的位置由用戶(hù)自行選定，如未規(guī)定，則推薦以下探測(cè)布點(diǎn)如圖1所示。

檢測(cè)球的極點(diǎn)(由探針軸的方位確定)處1 點(diǎn);極點(diǎn)下方22.5°處4 點(diǎn)(相互等間距);極點(diǎn)下方45°并相對(duì)前一組轉(zhuǎn)22.5°處8 個(gè)點(diǎn)(相互等間距);極點(diǎn)下方67.5°并相對(duì)前一組轉(zhuǎn)22.5°處4 個(gè)點(diǎn)(相互等間距)極點(diǎn)下方90°(即平分球體面上)并相對(duì)前一組轉(zhuǎn)22.5°處8 個(gè)點(diǎn)(相互等間距)。

圖1 目標(biāo)接觸點(diǎn)

不加證明，我們可以看到，推薦算法將25 個(gè)點(diǎn)除原點(diǎn)外分4 層，其僅保證每層中各個(gè)點(diǎn)等間距，及每?jī)蓪又g角度相等。但是并沒(méi)有嚴(yán)格按照“各點(diǎn)在檢測(cè)球的半球上盡可能均勻分布”對(duì)點(diǎn)進(jìn)行分布例如第四層兩點(diǎn)間距離與第三層兩點(diǎn)距離并不能大致上相等。因此根據(jù)“各點(diǎn)位置由用戶(hù)自行選定”的原則我們提出新的關(guān)于探測(cè)點(diǎn)的分布方式使得25 點(diǎn)能夠準(zhǔn)均勻分布，并將其實(shí)現(xiàn)，在今后的測(cè)量機(jī)校驗(yàn)中供用戶(hù)選擇使用。

1.2 半球面上點(diǎn)的準(zhǔn)均勻分布

文獻(xiàn)［2］將每個(gè)點(diǎn)周?chē)欠翊嬖诹鶄€(gè)接近正則的三角形作為判斷奇異點(diǎn)的準(zhǔn)則，這種方法對(duì)平面上的三角網(wǎng)格是適用的，但是對(duì)于曲面上的三角網(wǎng)格并不適用。在判斷曲面上三角網(wǎng)格中的奇異點(diǎn)的時(shí)候，還應(yīng)考慮曲面的局部形狀，即一個(gè)點(diǎn)的高斯曲率大于零時(shí)，一個(gè)正則點(diǎn)周?chē)娜切蔚臄?shù)目應(yīng)該小于6，而一個(gè)點(diǎn)的高斯曲率小于零時(shí)，一個(gè)正則點(diǎn)周?chē)娜切蔚臄?shù)目應(yīng)該大于6。

因此，在一個(gè)完整的半球面上最多均勻分布5 個(gè)點(diǎn)。也就是說(shuō)當(dāng)多于5 個(gè)點(diǎn)時(shí)，只能得到一個(gè)準(zhǔn)均勻分布的結(jié)果。如果是一個(gè)完整的球面，在正二十面體的基礎(chǔ)上細(xì)分得到的多面體更接近于正多面體，即每個(gè)三角形更接近于正三角形［2］?，F(xiàn)在把正二十面體15個(gè)三角形和正八面體的一半三角形展開(kāi)，如圖2，3 粗線所示，虛粗線對(duì)應(yīng)展開(kāi)處。正二十面體對(duì)應(yīng)的一個(gè)細(xì)分結(jié)果如圖2所示，可以得到26 個(gè)準(zhǔn)均勻分布的點(diǎn)，這里最外緣的點(diǎn)在半球面之外，不計(jì)入分布結(jié)果。正八面體對(duì)應(yīng)的一個(gè)細(xì)分結(jié)果如圖3所示，可以得到25 個(gè)準(zhǔn)均勻分布的點(diǎn)。因此，在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)頭系統(tǒng)的檢測(cè)中采用圖3所示方案。

圖2 正二十面體部分三角形細(xì)分結(jié)果

圖3 半球面上準(zhǔn)均勻分布25 點(diǎn)

假設(shè)圖3 對(duì)應(yīng)上半球面，坐標(biāo)原點(diǎn)位于球心O，x軸沿OP1方向，z軸沿OP0方向，建立球坐標(biāo)系。從P0到P1，兩個(gè)細(xì)分點(diǎn)的球面坐標(biāo)分別為(R，π/6.0)，(R，π/3.0)，其左邊三角形形心點(diǎn)的球面坐標(biāo)為(R，arcsin(■6/3)，π/4)，其它點(diǎn)的球面坐標(biāo)可以相應(yīng)得到。

圖4 球面坐標(biāo)系

一個(gè)球面坐標(biāo)為(R，θ，φ)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為(Rsin θ cos φ，Rsin θ sin φ，Rcos θ)。這樣即可以得到球面上準(zhǔn)均勻分布的25 個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)值。

2 編寫(xiě)DMIS 測(cè)量程序時(shí)的一些問(wèn)題

2.1 DMIS 簡(jiǎn)介

DMIS(Dimensional Measuring Interface Specification)意為尺寸測(cè)量接口規(guī)范。

DMIS 是坐標(biāo)測(cè)量技術(shù)中一個(gè)雙向數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，它既是一種工件測(cè)量程序的標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言格式，也是一種測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)格式，它定義了計(jì)算機(jī)與坐標(biāo)測(cè)量設(shè)備間通訊的一種中性數(shù)據(jù)交換機(jī)制。其內(nèi)容包括檢測(cè)規(guī)程和檢測(cè)結(jié)果兩部分，即由計(jì)算機(jī)系統(tǒng)提供給測(cè)量設(shè)備所需的檢測(cè)規(guī)程和最后的測(cè)量設(shè)備反饋給計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的檢測(cè)結(jié)果。

2.2 DMIS 測(cè)量程序中的回退距離與安全高度

在生成測(cè)量程序時(shí)，一個(gè)重要的問(wèn)題就是要確定合適的測(cè)頭回退距離與安全高度。當(dāng)測(cè)桿末端的小球接觸到工件表面后，需要快速回退一定的距離，然后運(yùn)動(dòng)至安全高度，接著運(yùn)動(dòng)至下一個(gè)被測(cè)點(diǎn)的安全高度，進(jìn)入下一個(gè)點(diǎn)的測(cè)量過(guò)程。因標(biāo)準(zhǔn)球形狀簡(jiǎn)單，可以將回退距離與安全高度設(shè)成同一值，在考慮測(cè)頭與工件的干涉時(shí)也只需要考慮測(cè)桿端部小球與標(biāo)準(zhǔn)球的干涉。

廣義的干涉問(wèn)題比較復(fù)雜，這里根據(jù)本文中考慮的問(wèn)題的特點(diǎn)，提出一種簡(jiǎn)單的計(jì)算方法:將標(biāo)準(zhǔn)球向外等距，等距距離為小球的半徑r，如果空間兩點(diǎn)間的連線與等距后的球面無(wú)交，則小球在這兩點(diǎn)間沿該線運(yùn)動(dòng)時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)球無(wú)干涉。如果測(cè)量點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)路徑均為直線，問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為一個(gè)平面問(wèn)題，即半徑為r的圓盤(pán)直線運(yùn)動(dòng)中與半徑為R的圓盤(pán)的干涉問(wèn)題。如果測(cè)桿端部小球接觸標(biāo)準(zhǔn)球表面后，直接運(yùn)動(dòng)至下一個(gè)測(cè)量點(diǎn)位置，小球與標(biāo)準(zhǔn)球?qū)l(fā)生干涉，如圖5(a)中黑色區(qū)域所示。如圖5(b)所示，R0和P1為兩個(gè)需要測(cè)量的點(diǎn)，利用平面三角可以得到。

圖5 安全高度的計(jì)算

當(dāng)安全高度滿(mǎn)足

時(shí)，測(cè)桿端部小球與標(biāo)準(zhǔn)之間無(wú)干涉。

當(dāng)時(shí)，理論上小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與標(biāo)準(zhǔn)球單點(diǎn)接觸。

上述結(jié)果是建立在兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的球心角較小這一假設(shè)基礎(chǔ)上的π，顯然如果夾角為，采用上述方法無(wú)法得到無(wú)干涉的運(yùn)動(dòng)路徑。在標(biāo)準(zhǔn)球的檢測(cè)中，相鄰測(cè)量點(diǎn)與球心連線的夾角約在左右π/6，滿(mǎn)足假設(shè)，這里選取其中最大的一個(gè)計(jì)算回退距離。

測(cè)量程序采用DMIS 中的單點(diǎn)測(cè)量方式編制，在程序開(kāi)始部分設(shè)置回退距離和安全高度等參數(shù)，并設(shè)置不進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償。

2.3 25 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量順序與DMIS 程序的自動(dòng)生成

在實(shí)際測(cè)量中，還要給出25 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量順序。根據(jù)前面講到過(guò)的點(diǎn)分布的位置(除極點(diǎn)外測(cè)量點(diǎn)分為三層)，可以知道，每個(gè)點(diǎn)之間的直線距離都十分的接近，從頂部開(kāi)始，此時(shí)測(cè)頭末端與測(cè)量半球正對(duì)，不存在測(cè)頭半徑補(bǔ)償問(wèn)題，故以此點(diǎn)為參照進(jìn)行其他點(diǎn)的測(cè)量。之字形測(cè)量順序，使得每層的起始位置之間存在一定的角度并且使測(cè)頭在兩次球面點(diǎn)的測(cè)量過(guò)程中走過(guò)的路程最短，以符合安全高度的要求和避免不必要誤差。下面給出本文中的測(cè)量順序，如圖6 和圖7。

圖6 測(cè)量順序(注:測(cè)量從開(kāi)始到結(jié)束)

圖7 測(cè)量順序的立體俯視圖

3 測(cè)頭系統(tǒng)的誤差顯示

在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上運(yùn)行DMIS 程序，坐標(biāo)測(cè)量機(jī)將自動(dòng)測(cè)量25 個(gè)點(diǎn)，得到實(shí)測(cè)值。下面一步是要顯示出這些點(diǎn)的誤差。目前，通常采用二維曲線方式顯示測(cè)量點(diǎn)的徑向誤差，這種方法不夠直觀，難于分析徑向誤差與測(cè)量點(diǎn)方位的關(guān)系。

這里在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)Pi的理論位置繪制一個(gè)小球，顯示測(cè)量點(diǎn)的誤差εi。小球的半徑ri為每個(gè)點(diǎn)誤差εi的一個(gè)比例值，比例值e由最大絕對(duì)誤差εmax和標(biāo)準(zhǔn)球的半徑R決定，ri=εiRsin(π/12)/εmax，從而保證相鄰兩個(gè)點(diǎn)處繪制的小球不會(huì)相交。小球的顏色由誤差的正負(fù)決定:誤差為正時(shí)，小球的顏色為淺色;誤差為負(fù)時(shí)，小球的顏色為深色。這樣可以直觀地看出各個(gè)點(diǎn)的誤差與其位置的關(guān)系，一個(gè)實(shí)測(cè)的結(jié)果如圖8所示。

4 結(jié)論

本文給出了ISO 10360-2 規(guī)定的測(cè)頭系統(tǒng)檢測(cè)策略的新的實(shí)現(xiàn)方法。給出了一種半球面上準(zhǔn)均勻分布25 個(gè)點(diǎn)的方法。DMIS 是坐標(biāo)測(cè)量中測(cè)量程序的一種標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言格式，給出了測(cè)量程序中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)——安全高度的簡(jiǎn)單計(jì)算方法。最后給出了一種測(cè)量點(diǎn)三維誤差的可視化方法，為測(cè)頭系統(tǒng)的誤差分析提供方便。

圖8 測(cè)頭系統(tǒng)誤差的三維顯示俯視圖

［1］A Weckenmann，T Estler，G Peggs，D McMurtry.Probing systems in dimensional metrology［J］.CIRP Annals- Manufacturing Technology，2004，53(2):657-684.

［2］Paulo Cauchick-Miguel，Tim King，Jim Davis.CMM verification:a survey［J］.Measurement，1996，17(1):1-16.

［3］John G.Ratcliffe.Foundations of Hyperbolic Manifolds［M］.2rd ed.［S.l.］:New York/Springer，2006.