王功琪

(安順學院數(shù)計系，貴州 安順 561000)

《球面上的幾何》是高中新課程的一個選修專題，本專題設置的目的是讓學生了解除了平面幾何外，還有多姿多彩的幾何，而且各自都有自己的邏輯體系，球面幾何就是其中的一種。球面幾何在航海、航空、丈量土地、天文測量等方面有著非常重要的應用，這些問題都涉及到球面上兩點間的距離，球面上兩點之間的距離，實際上就是兩點之間的大圓弧弧長。本文主要介紹球面上不同緯度、不同經度的兩點間距離的三種求法。

1 異面直線法

要求球面上兩點間的距離，根據(jù)弧長公式，應先求出這兩點確定的大圓弧所對的圓心角，那么應該先求出這個圓心角所對的弦長，而要求得弦長，就把這兩點作為異面直線上的兩點從而用異面直線兩點間的距離公式求得弦長，然后根據(jù)余弦定理求出圓心角從而求得兩點間的距離。這種方法稱為異面直線法。

例:A地位于北緯30°，東經60°，B地位于北緯60°，東經90°，求A，B兩地之間的球面距離。［1］

圖1

解:如圖1，設O為球心，R為球面半徑，O1，O2分別為北緯30°圈和北緯60°圈的圓心，連結O1A，OA，O1B，OB，AB。

在直角△OAO1中，由A點位于北緯30°知∠OAO1=30°

所以O1O=OA sin∠OAO1=R AO1=OA cos∠OAO1= R cos30°=R。

在直角△OO2B中，∠OBO2=60°，

所以O2O=R sin60°=R，O2B=R cos60°=R。

因為O1A與O2B是異面直線，它們的公垂線為O1O2，這兩條異面直線所成的角為γ=90°-60°=30°(經度差)于是，由異面直線上兩點間的距離公式得:

總結:這個方法的適用條件是已知兩點處于不同經度和緯度，球面半徑。若A，B兩點分別位于緯度α1，α2，經度分別為β1，β2，球面半徑為R，求A，B兩點的球面距離的一般步驟是:

①如圖1，先求O1A，OO1，O2B，OO2;②求O1O2(O1O2= OO2-OO1);③求A，B兩點的經度差γ;

④根據(jù)異面直線兩點間的距離公式求AB(AB2=O1A2= O1A2+O2B2+O1O22-2O1A·O2B cosγ);⑤求AB所對的圓心角∠AOB(cos∠AOB=);⑥求AB所對的大圓劣弧長。

2 球面三角法

當球面上兩點確定的大圓弧是某個球面三角形的某一邊時，這個球面三角形三條邊和和三個對應角任意三個元素已知，我們就可以利用球面三角求出兩點間的距離。這里的球面三角包含正弦定理、余弦定理等，這種方法叫做球面三角法。

球面三角形邊的余弦定理是:對于任給半徑為R的球面三角形△ABC，其三邊a，b，c和三角∠A、∠B、∠C之間恒滿足下述函數(shù)關系:

球面三角形邊的正弦定理:對于任給單位球面上的球面三角形ABC，有

例:計算北京到重慶兩地間的距離。

解:根據(jù)地理知識，北京位于北緯39°56'、東經116°20'，重慶位于北緯29°30'、東經106°30'的經緯度，而這兩地與北極又剛好構成另一個球面三角形，在這個三角形中，北極到這兩地的距離很容易求出，這兩地的經度差也容易算出，于是在這個三角形中已知兩邊及其夾角，要求第三邊，球面三角形邊的余弦定理就可以解決。

假設地球半徑為R=6400km。設N為北極點，B為北京，C為重慶，大圓弧BC的長度為所求。

在球面三角形NBC中，∠BNC=116.3°-106.5°=9.8°≈0.17弧度，

解球面三角形NBC，由球面三角形邊的余弦定理:

即BC≈1.5×103km。

總結:應用這個方法的前提是容易找到兩點確定的大圓弧所在的三角形，而且球面三角形的三個元素容易確定。例2中，我們很容易找到三角形NBC，且NB和NC的圓心角易求，從而可以求出他們的長度，而NB和NC的夾角∠BNC剛好是經度差，這些元素確定后，應用余弦定理解決是輕而易舉的。

3 坐標法

當球面上給出兩點的坐標，要求兩點間的距離時，我們可以用球面距離的坐標公式求出兩點間的距離，這種方法稱為坐標法。

在半徑為R的球面上，已知球面上兩點A，B的坐標分別是A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則它們必滿足方程x2+y2+z2= R2，則A，B兩點的球面距離為:

若點A，B用球面坐標表示為(R，φ，λ)，其中，∠AOB=φ，∠xOB=λ，由坐標變換公式，如圖2:

圖2

則 A (R cosφ1cosλ1，R cosφ1sinλ1，R sinφ1) 和 B (R cosφ2cosλ2，R cosφ2sinλ2，R sinφ2)兩點間的距離為:AB= R arcos[ cos(φ1-φ2)-2cosφ1cosφ2sin2]。

例:計算上海(φ1=31.2°，λ1=121.5°)與烏魯木齊(φ2= 44°，λ2=88°)之間的距離。這里的φ，λ分別表示點的緯度和經度，地球半徑R=6370千米。

解:將兩城市用A，B表示，則A，B間的距離是指他們的球面大圓弧長。由球面距離的坐標公式，得 AB=R arccos [cos(31.2°-44°)-2cos31.2°cos44°sin2]= R arccos0.8729=6370×0.6097≈3250(km)［2］

總結:這種方法適用條件是已知兩點的坐標以及球面半徑。

以上是不同緯度不同經度兩點間距離的三種求法，每一種方法都有它適用條件，因此在選用求法時要注意方法的適用范圍。而同一緯度或同一經度的兩點間的距離則容易求得多。要求同一經度上的兩點間的距離，只需計算緯度差作為兩點確定的大圓弧所對的圓心角，然后應用弧長公式即可解決問題;而要求同一緯線上兩點A，B的球面距離，過A，B作大圓，關鍵要求圓心角∠AOB的大小，而要求∠AOB往往首先要求弦AB的長，而要求弦AB的長，就應該先求出緯線圈中經度長和緯度差。

［1］孫慶陽.利用球面距離求地球表面距離的技巧［J］平頂山師專學報(自然科學版)1998年8月第13卷第4期

［2］項昭等.高中數(shù)學選修課程專題研究［M］貴陽.貴州人民出版社.2007年8月