張 坤，甘小艇

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南楚雄675000)

其中，

1 引言

數(shù)字圖像作為數(shù)字多媒體的一個重要組成部分，它的安全性研究得到了廣泛的關(guān)注。在傳統(tǒng)的密碼學(xué)研究領(lǐng)域中，通常將數(shù)字圖像看作二進制流進行加密。由于數(shù)字圖像存在數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)的二維空間分布和數(shù)據(jù)有大量冗余等特點，使得傳統(tǒng)的加密方法不適合圖像的加密［1］。

小波變換作為一種復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換，具有局部化分析特性、多分辨率特性、光滑性、緊支性以及具有消失距等屬性［2］。小波變換的這些特性，使得它廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域中。提升小波變換作為一種新的小波分析方法，除了保持了第一代小波的特性，還具有簡單直接，易于硬件實現(xiàn)等優(yōu)點。目前，JPEG2000標(biāo)準(zhǔn)是基于提升的離散小波變換作為其時頻分析的核心［3］。

混沌是一種普遍存在于宏觀到微觀世界的非線性系統(tǒng)?；煦缦到y(tǒng)具有對初始條件敏感性、內(nèi)在隨機性以及存在不穩(wěn)定周期軌道的稠密集等特性?；煦缦到y(tǒng)的這些特性與密碼學(xué)之間具有結(jié)構(gòu)上的相似性，使得混沌在密碼學(xué)中有著很好的應(yīng)用前景。基于切延遲的橢圓反射腔映射系統(tǒng)(tangent-delay ellipse reflecting cavity-map system，TD-ERCS)是一種為混沌加密理論而設(shè)計的混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)具有良好安全特性。已經(jīng)證明TD-ERCS系統(tǒng)滿足離散映射、全域混沌、全域零相關(guān)和巨大的參數(shù)等安全性條件［4－5］。本文利用TD-ERCS系統(tǒng)良好的混沌特性，提出一種基于TD-ERCS映射的數(shù)字圖像加密算法。該算法首先將數(shù)字圖像進行提升小波分解，然后將分解得到的子帶圖像轉(zhuǎn)換為向量形式。利用TDERCS混沌序列對子帶圖像向量進行置換加密，將數(shù)字圖像加密轉(zhuǎn)化為對數(shù)字圖像的提升小波分解子帶圖像進行置亂以達(dá)到圖像隱藏的目的。通過計算機仿真表明，該方法對數(shù)字圖像加密具有較好的隱藏效果。

2 基本概念［6］

定義1:s1，s2，…，sp(p＜∞)的排序問題，即求集合 X={1，2，…，p}上的置換 π，使得:

定義4:對序列Z=z1z2…zq的置換加密，即根據(jù)置換π，使得:

其中，Z為明文;C為Z的密文。根據(jù)式(1)～式(3)，可以求出 s1，s2，…，sp(n ＜∞)的排序置換π及逆元π－1，即可得到解密明文:

3 TD-ERCS混沌系統(tǒng)

TD-ERCS混沌系統(tǒng)是我國學(xué)者盛利元等人于2004年提出的一種非線性動力系統(tǒng)。給定TD-

定義3:對稱群(Xp，⊙)中，π∈Xp，-π－1∈Xp使得:ERCS的系統(tǒng)參數(shù)μ(0＜μ≤1)，初值 x0(－1＜x0≤1)，α(0 ＜α≤π)和切延遲 m(m=2，4，5，6，…)，則TD-ERCS混沌系統(tǒng)的映射關(guān)系為［7］:

其中，

其中，(μ，x0，α，m)稱為 TD-ERCS 種子參數(shù)。TDERCS系統(tǒng)根據(jù)給定的種子參數(shù)，通過式(6)～式(11)迭代得到兩個獨立的混沌實值序列xn，kn(n=1，2，3，…)。

4 提升小波變換的基本原理

提升小波變換是一種不依賴于傅里葉變換新的小波構(gòu)造方法。提升小波克服了第一代小波的不足，在變換過程中不會引入量化誤差，在處理圖像邊界問題時無需對數(shù)據(jù)進行延拓，小波重構(gòu)時可以無失真地恢復(fù)圖像。算法實現(xiàn)簡單、快速直接［8］。提升小波變換的過程如下:

步驟1 分裂。分裂將原始信號sj={sj，k}分為偶數(shù)序列ej－1和奇數(shù)序列oj－1組成的兩個互不相交的子集合。即:

其中，Split(sj)表示分解過程。

步驟2 預(yù)測。利用偶數(shù)序列和奇數(shù)序列之間的相關(guān)性，由偶數(shù)序列預(yù)測奇數(shù)序列。預(yù)測過程為:

其中，dj－1為細(xì)節(jié)系數(shù)或小波系數(shù);P(·)為預(yù)測算子。

步驟3 更新。通過算子U產(chǎn)生新的子數(shù)據(jù)集sj－1。更新過程為:

提升小波變換是一個完全可逆的過程，其逆變換只需簡單地改變執(zhí)行的先后順序，具有與正變換相同的計算復(fù)雜性。

5 基于TD-ERCS系統(tǒng)和提升小波理論相結(jié)合的圖像加密過程

使用TD-ERCS系統(tǒng)和提升小波理論相結(jié)合的圖像加密過程，其實質(zhì)就是利用提升小波變換對數(shù)字圖像進行時間空間頻率的局部化分析，實現(xiàn)數(shù)字圖像的時頻分離。利用TD-ERCS系統(tǒng)生成混沌數(shù)據(jù)流與小波變換后的數(shù)字圖像各層近似系數(shù)進行排列置換運算，從而實現(xiàn)數(shù)字圖像的加密。使用TDERCS系統(tǒng)和提升小波理相結(jié)合的圖像加密流程為:

步驟1 輸入TD-ERCS混沌系統(tǒng)的種子參數(shù)，根據(jù)種子參數(shù)生成TD-ERCS混沌序列xn，kn和yn。

步驟2 輸入數(shù)字圖像文件，對數(shù)字圖像進行二維提升小波變換，計算出低頻系數(shù)矩陣cA和高頻系數(shù)矩陣cH，cV和cD。

步驟3 將系數(shù)矩陣cA，cH，cV和cD按列(或行)排列的方式把矩陣轉(zhuǎn)換為一維行向量scA，scH，scV和scD。

步驟4 求出混沌序列xn的排序置換π，由π和式(4)得到數(shù)字圖像scA，scH，scV和 scD的置換cA'，cH'，cV'，cD'。

數(shù)字圖像的接受方在接收到亂序的數(shù)字圖像低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量的置換cA'，cH'，cV'，cD'后，可以采用解密算法恢復(fù)數(shù)字圖像。解密算法為:

步驟1 利用式(1)、式(3)求出混沌序列xn的π－1，根據(jù)式(5)得到 cA'，cH'，cV'，cD'的逆置換 scA，scH，scV和scD。

步驟2 將scA，scH，scV和scD按列(或行)排列的方式把一維行向量轉(zhuǎn)換為矩陣 cA，cH，cV和cD。

步驟3 利用cA，cH，cV和cD對數(shù)字圖像向量進行提升小波逆變換，重構(gòu)數(shù)字圖像。

6 仿真實驗與結(jié)果分析

為了對算法的有效性進行分析，本文選取1幅160×213的數(shù)字圖像進行加解密實驗。實驗中，TD-ERCS 系統(tǒng)的種子參數(shù)為(0．4256，0．7130，0．5246，2)。對于非線性動力系統(tǒng)，Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)是否為混沌的一個重要指標(biāo)。Wolf等提出了一種能從實驗數(shù)據(jù)計算最大Lyapunov指數(shù)的算法——長度演化法［9］。本文利用Matlab 7．0軟件實現(xiàn)了長度演化法，并計算出該TD-ERCS系統(tǒng)xn序列的最大Lyapunov指數(shù)為0．8714。結(jié)果表明，種子參數(shù)(0．4256，0．7130，0．5246，2)的 TD-ERCS 系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象。采用本文的加密算法對圖像進行加密實驗，使用Haar小波得到提升方案，對圖像矢量進行二維的提升小波分解，并且對圖像加解密。圖1為算法實驗的結(jié)果。其中，圖1(a)為原始圖像，圖1(b)為提升小波重構(gòu)的圖像，圖1(c)加密圖像，圖1(d)為正確解密后的圖像。

圖1 算法實驗結(jié)果

由圖1可知，對原圖像進行提升變換后重構(gòu)，重構(gòu)后的圖像保留了原始圖像的全部信息。對原始圖像的加密結(jié)果能得到類似于噪聲的加密圖像，從加密圖像中也幾乎不能得到原圖像的任何信息。在得到正確的密鑰的情況下，對加密圖像進行解密操作，便能得到和原始圖像一模一樣的加密圖像。

7 算法安全性與性能分析

7．1 密鑰空間分析

本文的圖像加密算法以TD-ERCS系統(tǒng)的種子參數(shù)(μ，x0，α，m)作為算法的密鑰。TD-ERCS 的系統(tǒng)的種子參數(shù)中，除了切延遲m是整數(shù)外，μ，x0，α均為浮點數(shù)，其密鑰空間非常大。

使用本文的圖像加密算法得到的加密圖像是置亂后提升小波變換分解系數(shù)重構(gòu)后的圖像。在對圖1(a)的加密實驗中，提升小波分解的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換得到的一維向量分別為8560，8560，8480和8480，其加密結(jié)果可能有(34080)!個結(jié)果，如果每個像素的灰度有L種可能，采用窮舉法破譯密碼攻擊需要計算(34080)!×L34080次，成功破譯密碼的概率幾乎為0。

7．2 加密算法的統(tǒng)計測試

圖像的直方圖是圖像的重要統(tǒng)計特性，它可以看作是圖像灰度密度函數(shù)的近似。由圖2可以看出，通過TD-ERCS混沌系統(tǒng)加密后的圖像的灰度直方圖在像素值0～256范圍內(nèi)類似與均勻分布，說明加密系統(tǒng)的對統(tǒng)計分析有很好的魯棒性。

圖2 原始圖像和加密后的圖像的灰度直方圖

相鄰像素相關(guān)系數(shù)［10］能夠反映圖像相鄰像素間的相關(guān)程度。相關(guān)性越大，圖像置亂效果就越差。隨機選取圖像中1600對相鄰像素計算其相鄰像素相關(guān)系數(shù)。表 1為種子參數(shù)為(0．4256，0．7130，0．5246，2)加密方案時水平、垂直和對角三種情況的相鄰像素相關(guān)系數(shù)。由表1可以看出加密圖像有效的破壞了原始圖像的相鄰像素的相關(guān)性，算法的置亂效果非常好。

表1 原圖與密圖的相鄰像素相關(guān)系數(shù)

7．3 密鑰的敏感性測試

為了測試算法對密鑰的敏感性，采用文獻(xiàn)［11］的測試方法對算法進行仿真實驗。利用種子參數(shù)為(0．4256，0．7130，0．5246，2)的 TD-ERCS 系統(tǒng)對原始圖像加密，并分別利用(0．42559，0．7130，0．5246，2)，(0．4256，0．71299，0．5246，2)，(0．4256，0．7130，0．52459，2)，(0．42559，0．7130，0．5246，4)作為密鑰解密。圖3(a)為使用密鑰為(0．42559，0．7130，0．5246，2)對圖 1(c)的解密結(jié)果，圖 3(b)為使用密鑰為(0．4256，0．71299，0．5246，2)對圖 1(c)的解密結(jié)果，圖3(c)為使用密鑰為(0．4256，0．7130，0．52459，2)對圖 1(c)的解密結(jié)果，圖 3(d)為使用密鑰為(0．42559，0．7130，0．5246，4)對圖 1(c)的解密結(jié)果。由圖3可以看出，TD-ERCS系統(tǒng)的種子參數(shù)發(fā)生微小的改變，由此解密的圖像完全不能看出原圖的輪廓，算法具有高度的敏感性。

圖3 不同的密鑰解密圖1(c)的解密結(jié)果

7．4 算法的抗噪聲測試

數(shù)字圖像在傳輸過程中可能會受到噪聲攻擊。噪聲攻擊分為很多種，實驗中常用的有高斯噪聲、椒鹽噪聲等。為了檢驗算法的魯棒性，分別對加密圖像添加密度為1%的椒鹽噪聲和高斯噪聲。圖4(a)為加1%椒鹽噪聲的原始圖像，圖4(b)為加1%椒鹽噪聲加密圖像解密后的圖像。圖4(c)為加1%高斯噪聲的原始圖像，圖4(d)為加1%高斯噪聲加密圖像解密后的圖像。從實驗的結(jié)果可知，加1%椒鹽噪聲原始圖像解密后的圖像能夠很好地恢復(fù)原始圖像，而對于加1%高斯噪聲的原始圖像，它已經(jīng)丟失了原始圖像的大部分信息，解密后的圖像也不可能恢復(fù)原始圖像的信息。從實驗的結(jié)果可知，本文的算法對椒鹽和高斯噪聲有很好的魯棒性。

圖4 對加密圖像添加高斯和椒鹽噪聲實驗

8 結(jié)束語

TD-ERCS混沌系統(tǒng)是一種高度復(fù)雜的非線性動力系統(tǒng)，具有對初始條件非常敏感的特性，由它產(chǎn)生的混沌序列具有很好的隨機性。本文提出一種基于TD-ERCS混沌系統(tǒng)和提升小波相結(jié)合的數(shù)字圖像加密方法。該方法首先利用提升小波對數(shù)字圖像進行二維分解，然后利用混沌映射對分解系數(shù)進行置換，通過對數(shù)字圖像提升小波分解系數(shù)的置亂實現(xiàn)數(shù)字圖像的加密。通過計算機仿真表明，該方法對數(shù)字圖像加密具有較好的隱藏效果，并且對椒鹽和高斯噪聲攻擊有很好的魯棒性。

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