曹金明，沈 雁，周 瑞

（湖南大學數(shù)學與計量經(jīng)濟學院，湖南長沙 410082）

1 簡 介

設Fq為有q個元素的有限域.PG（2，q）是Fq上的一個二維射影空間.PG（2，q）中的一個t－blocking集合定義為這樣的一個點集，它與PG（2，q）中的每條直線都至少相交t個點，并且存在一條直線與之正好相交t個點.

由于t－blocking集合的多樣性，不可能決定一般的t－blocking集合的精確值，所以估計t－blocking集合的元素的上下界就是自然的事情.

其中第二條的內(nèi)容就是有名的Ball定理.它要求t－blocking集合不包含一條直線.在本文中，對Ball定理的條件和結論進行改進，得到了S的一個新的更大的下界，即定理1.

定理1 設S為PG（2，q）中的一個有k個元的t－blocking集合，令k＝tq＋x，則

2 主要結果

首先給出t－blocking集合中一個很重要的引理.

設K為PG（2，q）中的一個t－blocking集合.對PG（2，q）中的任意一條直線Li，我們定義ti＝K｜（1≤i≤q2＋q＋1）.并定義二元數(shù)組（P，L），其中P∈K，L為過點P的直線.

引理1 設K為PG（2，q）中的一個t－blocking集合，ti如上所示，則

證 我們通過2種不同的方法來計算所有符合條件的二元數(shù)組（P，L）的個數(shù).

因為PG（2，q）中任意一條直線Li上有ti個點是屬于K中的，即它確定了ti個不同的二元數(shù)組，而在PG（2，q）中共有q2＋q＋1條直線，所以所有符合條件的

另外也可用過點P的直線的條數(shù)來計算這些二元數(shù)組的個數(shù).因為過點P的直線有q＋1條，即這一點確定了q＋1個二元數(shù)組，而K中點的個數(shù)總共有個，所以所有符合條件的＝（q＋1）.

下面證明定理1.

證 （?。┊攛≥q時，結論顯然成立.

（ⅱ）當x＜q時，我們對PG（2，q）中的任意一條直線Li，定義ti＝，（1＝1，…，q2＋q＋1）.

現(xiàn)在來證明在PG（2，q）中每條直線上最多有S中的x個點.

利用反證法：假設PG（2，q）中存在一條直線Li0與S相交的點有x＋1個，那么Li0至少有一點Q不屬于S.因為過點Q的直線有q＋1條，那么計算過點Q的q＋1條直線上S的點數(shù).根據(jù)t－blocking集合的定義，過點Q的每條直線上至少有S上的t個點，則k≥tq＋x＋1.

這與題設k＝tq＋x矛盾.因此，每條直線上最多有S中的x個點，不屬于S的點至少有q＋1－x個.顯然，x≥t.

現(xiàn)在對PG（2，q）中所有直線上的ti求和：S，L為PG（2，q）中過點P的直線｝｜＝｜S｜（q＋1）＝k（q＋1）.

下面對PG（2，q）中所有直線上的ti－t求和：

取任意的一點N∈PG（2，q）－S，過點N的q＋1條直線分別為M1，…，Mq＋1，令mi＝，1≤i≤q＋1，得到：

因此對過點N的q＋1條直線上的mi－t求和，有：

這樣

現(xiàn)在，比較式（1）和式（2）：式（1）是對PG（2，q）中所有直線上的ti－t求和，而且PG（2，q）中的每條直線都被計算且只被計算了一次.而在式（2）中，前面已經(jīng)證明了每條直線上至少有q＋1－x個點在PG（2，q）－S中，因此每條直線在式（2）中至少被重復計算了q＋1－x次.這樣，就得到了關于式（1）和式（2）的不等式：

即

化簡得：

解這個不等式：

這個結果比Ball定理要好一些，事實上，將兩個結果作差，得到：

［1］ BALL S.Multiple blocking sets and arcs in finite planes［J］.J London Math Soc，1996（54）：581－593.

［2］ BLOCKHUIS A.On multiple nuclei and a conjecture of lunelli and sce［J］.Bull Belg Math Soc，1994（3）：349－353.

［3］ BRUEN A A.Polynomial multiplicities over finite fields and intersection sets［J］.J Combin Theory Ser A，1992（60）：19－33.

［4］ HILL R.Some problems concerning（k，n）－arcs in finite projective planes［J］.Rend Sem Mat Brescia，1984（7）：367－383.