萬 中，馮燕茹，梁文冬

（中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083）

固廢管理問題與人們的生活密切相關(guān)，是城市化和現(xiàn)代化進(jìn)程中關(guān)注的最重要的環(huán)境保護(hù)問題之一.為了做到科學(xué)管理和科學(xué)發(fā)展，近年來國(guó)內(nèi)外環(huán)境管理部門、應(yīng)用數(shù)學(xué)家、運(yùn)籌學(xué)家對(duì)城市固廢管理問題進(jìn)行了較深入廣泛的研究.最值得關(guān)注的是國(guó)外部分研究工作者利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法和科學(xué)計(jì)算方法建立了初步的固體廢棄物管理問題的數(shù)學(xué)模型并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的求解算法，部分研究成果參見［1－6］及其后所列參考文獻(xiàn).在文獻(xiàn)［1］中，作者以廢棄物對(duì)環(huán)境的不利影響和環(huán)境容納能力為基礎(chǔ)，使用線性規(guī)劃模型和網(wǎng)絡(luò)分析技術(shù)設(shè)計(jì)了固體廢棄物管理系統(tǒng)模型和決策方法.文獻(xiàn)［2］建立了固體廢棄物管理問題的線性規(guī)劃模型，得到了最優(yōu)的固體廢棄物管理策略.文獻(xiàn)［3］以管理成本最小化為目標(biāo)，利用線性規(guī)劃方法研究了區(qū)域危險(xiǎn)固體廢棄物管理規(guī)劃問題.文獻(xiàn)［4］利用動(dòng)態(tài)模型研究了區(qū)域尺度的垃圾填埋場(chǎng)和焚燒爐設(shè)施的最佳規(guī)模和時(shí)段問題.

然而，以上研究成果均是在確定環(huán)境下討論固廢管理問題.考慮到實(shí)際解決固廢管理問題過程中，常常存在許多不確定性因素，如填埋場(chǎng)和焚燒爐的處理能力，不同時(shí)期的垃圾處理量，不同時(shí)期不同城市的垃圾運(yùn)輸成本和處理成本等等.因此，研究利用合適的不確定性參數(shù)（如區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)、隨機(jī)數(shù)或模糊區(qū)間數(shù)等）描述城市固廢管理環(huán)境并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，必然能給環(huán)境管理部門提供更科學(xué)的管理策略.文獻(xiàn)［7］在不確定性環(huán)境下建立了廢物管理問題的混合區(qū)間模糊線性規(guī)劃模型.該模型把運(yùn)輸成本、設(shè)備運(yùn)輸費(fèi)用、填埋場(chǎng)處理能力等假設(shè)成區(qū)間參數(shù)，把焚燒爐的處理能力和安全系數(shù)假設(shè)成模糊參數(shù)，利用區(qū)間參數(shù)的左右邊界方法對(duì)模型進(jìn)行求解，得到區(qū)間決策方案.文獻(xiàn)［8－11］中，萬中等人結(jié)合燒結(jié)法氧化鋁配料優(yōu)化問題和V帶傳動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，針對(duì)實(shí)際環(huán)境中存在的多態(tài)不確定性，首次提出了多態(tài)不確定規(guī)劃的概念，建立了相關(guān)問題的多態(tài)不確定性優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)了求解這類問題的柔性優(yōu)化方法.

本文將在上述研究成果的基礎(chǔ)上，建立一類固廢管理問題的區(qū)間模糊優(yōu)化模型，并基于改進(jìn)的區(qū)間可能度的方法，對(duì)給定的權(quán)重系數(shù)和置信水平，推導(dǎo)原模型的確定型等價(jià)類，從而把區(qū)間模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為普通的線性規(guī)劃問題求解.與［7］不同的是，本文是以改進(jìn)的區(qū)間可能度的方法，將上述模型轉(zhuǎn)化為確定性的模型進(jìn)行求解，得到的是確定的最優(yōu)決策變量值，而不是區(qū)間數(shù).

1 含區(qū)間模糊混合參數(shù)的固廢管理問題的優(yōu)化模型

本文主要針對(duì)固廢管理系統(tǒng)中的城市垃圾處理問題進(jìn)行建模，設(shè)定規(guī)劃時(shí)段為15年，具體分為3個(gè)時(shí)段，每個(gè)時(shí)段的長(zhǎng)度是5年.出于簡(jiǎn)化考慮，不考慮垃圾種類.垃圾的處理設(shè)施主要包括兩類：垃圾填埋場(chǎng)和焚燒爐.每個(gè)處理設(shè)施都有對(duì)應(yīng)的處理成本和處理能力.焚燒爐可以通過焚燒產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)效益，而焚燒產(chǎn)生的垃圾廢液需要送到填埋場(chǎng)去處理.在這個(gè)過程中會(huì)有運(yùn)輸成本和處理設(shè)施成本，因此模型的目標(biāo)函數(shù)是垃圾處理成本最小，約束條件主要有垃圾填埋場(chǎng)、焚燒爐的處理能力和城市廢棄物的處理需求.

模型中的模糊參數(shù)包括焚燒爐的最大處理能力和安全系數(shù)，而其余的參數(shù)均為區(qū)間參數(shù).類似于文獻(xiàn)［7］，我們建立如下固廢管理問題的優(yōu)化模型：模型（1）中的符號(hào)的定義見表1：其中?表示模糊數(shù)的集合，R±表示區(qū)間數(shù)的集合.模型（1）中的第一個(gè)約束條件表示垃圾填埋場(chǎng)處理的垃圾總量不能超過垃圾填埋場(chǎng)的處理能力，第二個(gè)約束條件表示焚燒爐的處理能力約束，第三個(gè)約束條件表示處理的廢棄物總量不小于城市廢棄物的處理需求.在這種情況下，傳統(tǒng)的線性規(guī)劃的求解方法已經(jīng)不再適用.文獻(xiàn)［7］利用的區(qū)間參數(shù)的左右邊界方法對(duì)模型進(jìn)行求解，最終得到區(qū)間決策方案.本文將基于一種改進(jìn)的區(qū)間可能度的方法，把上述模型轉(zhuǎn)化為確定性的模型進(jìn)行求解，并給出確定性最優(yōu)決策變量值，而不是區(qū)間數(shù).

表1 符號(hào)說明Tab.1 Notations

2 基于改進(jìn)的區(qū)間可能度方法推導(dǎo)模型的確定型等價(jià)式

這一節(jié)我們研究含區(qū)間模糊混合參數(shù)的優(yōu)化模型（1）的確定型等價(jià)式.推導(dǎo)過程分為兩步，首先是將模型中的模糊約束條件轉(zhuǎn)化為含區(qū)間數(shù)的約束條件.

考察下面的模糊線性規(guī)劃問題：

先敘述模糊集的α截集的概念.

由模糊數(shù)學(xué)理論可知，當(dāng)μA?是擬凹函數(shù)時(shí)，是一個(gè)區(qū)間.如是梯形模糊集時(shí)，其隸屬函數(shù)：

利用α截集的概念，我們可以將模糊線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為含區(qū)間參數(shù)的線性規(guī)劃，即：

定理1 x＊是模型（2）的解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何α∈［0，1］，x＊是如下模型的解：

證 使用定義1中的水平截集的概念，把模型（2）轉(zhuǎn)化為區(qū)間線性規(guī)劃問題.由分解定理，?bi可以用水平截集表示為：

式（2）中的模糊約束條件的左邊可以用水平截集表示為：

假設(shè)用k個(gè)水平截集近似構(gòu)成模糊集合，即

由模糊數(shù)學(xué)理論可知，隸屬函數(shù)是擬凹函數(shù)的模糊集的α截集是閉區(qū)間，s個(gè)閉區(qū)間的并集依然是閉區(qū)間.令

則模型（2）的約束條件轉(zhuǎn)化為區(qū)間形式，即有：

定理1得證.

定理1給出了模糊規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為區(qū)間線性規(guī)劃模型的方法.在近似模糊集時(shí)選取的水平截集的個(gè)數(shù)可根據(jù)實(shí)際需要而定.為簡(jiǎn)單起見，我們?nèi)＝1.

接下來，我們基于改進(jìn)的區(qū)間可能度方法推導(dǎo)區(qū)間線性規(guī)劃的確定型等價(jià)式.

首先我們給出刻畫區(qū)間大小關(guān)系的可能度算子的公理化定義.

定義2 設(shè)Γ表示所有區(qū)間數(shù)構(gòu)成的集合，RI表示所有區(qū)間數(shù)之間大小關(guān)系構(gòu)成的集合.如果算子P：RI→［0，1］滿足如下條件：

1）當(dāng)A＝［a－，a＋］，B＝［b－，b＋］時(shí)，P （A≤B）＝1當(dāng)且僅當(dāng)a＋≤b－，

2）當(dāng)A＝［a－，a＋］，B＝［b－，b＋］時(shí)，P （A≤B）＝0當(dāng)且僅當(dāng)a－≥b＋，

3）P （A≤B）＝1－P （A≥B），

4）P （A≤B）＝P （A≥B）當(dāng)且僅當(dāng)A＝B.則稱P是RI上的可能度算子.

可以驗(yàn)證如下定義的算子：是RI上的可能度算子.

基于上述改進(jìn)的區(qū)間可能度算法，可將含區(qū)間參數(shù)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為普通約束優(yōu)化問題求解.我們可以證明如下結(jié)論：

定理2 對(duì)任何β∈［0，1］，區(qū)間規(guī)劃模型

的解等價(jià)于如下模型的解：

證 基于式（5）中給出的可能度算子的定義，模型（6）中的區(qū)間約束條件可以引入可能度參數(shù)β，使其轉(zhuǎn)化為確定性的約束條件，即

注1 求解問題（7）時(shí)，按式（5）定義的可能度算子，原問題中每一個(gè)約束最多可能對(duì)應(yīng)4種情形.具體地說，

1）當(dāng)β＝0時(shí)，只需滿足式（5a）的區(qū)間邊界約束.此時(shí)的約束條件轉(zhuǎn)化為：

2）當(dāng)β＝1時(shí)，只需滿足式（5f）的區(qū)間邊界約束.此時(shí)約束條件轉(zhuǎn)化為：

3）當(dāng)β∈（0，1）時(shí)，式（5）中（5b）到（5e）4種情況都符合條件.若模型（6）中有m個(gè)區(qū)間約束條件，由于每個(gè)約束條件的可能度計(jì)算式分為4種情況，因此原問題對(duì)應(yīng)著4m個(gè)子模型.求解這些子問題，并比較求解結(jié)果，則可得到有效的固廢處理方案.

例如，對(duì)特定范圍的可能度β，若式（5c）得到滿足，則對(duì)應(yīng)的子模型為如下一個(gè)優(yōu)化問題：

當(dāng)要求β足夠大時(shí)，則子模型的約束條件由式（5d）和（5e）決定，或僅由式（5e）決定.

基于定理1和定理2，通過引入權(quán)重系數(shù)λ，水平截集α和可能度β，則直接得到如下推論.

推論1 區(qū)間模糊規(guī)劃模型：

的確定型等價(jià)類為：

當(dāng)β足夠大時(shí)，由推論1可寫出模型（1）的確定型等價(jià)類.

推論2 模型（1）的確定型等價(jià)類為：

注2 模型（11）的求解過程中需要給定權(quán)重系數(shù)、區(qū)間可能度和截集水平3個(gè)參數(shù)值.文獻(xiàn)［10，12－13］在研究隨機(jī)環(huán)境下的多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解方法時(shí)，提出了此類參數(shù)值由決策者根據(jù)實(shí)際需要自己確定合理取值的交互式算法.文獻(xiàn)［10］在研究V帶傳動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化問題時(shí)提出了類似算法.仿照［10，12－13］，我們可類似設(shè)計(jì)求解固廢管理問題的交互式算法.

3 案例分析

這一節(jié)，我們將把本文提出的模型與求解方法應(yīng)用于求解一個(gè)具體的固廢管理問題.問題背景的刻畫和相關(guān)的參數(shù)取值的依據(jù)可參照文獻(xiàn)［14－15］.該固廢管理問題中涉及3個(gè)城市的垃圾處理問題.處理過程分為3個(gè)時(shí)間段，安全系數(shù)和焚燒爐的處理能力都是三角模糊數(shù)，參數(shù)取值見表2.此外，其它參數(shù)賦值如下：

表2 模型參數(shù)設(shè)置Tab.2 Settings for parameters in the model

表3 模型的求解結(jié)果Tab.3 Solution for the model

4 結(jié) 論

本文在不確定環(huán)境下建立了城市固廢處理優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)了有效的求解方法.實(shí)際案例研究表明所建立的模型和求解方法具有潛在的應(yīng)用前景.

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