劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024）

射影線束形成的拋物線與橢圓拋物面的相似斷層表示

劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024）

利用圖示法，說明了二射影對(duì)應(yīng)線束形成拋物線時(shí)，線束中的特殊線影響了拋物線的形狀。如果任意五邊形的頂點(diǎn)在一條拋物線上，由相似五邊形的頂點(diǎn)確定的另一條拋物線與其“相似”。我們可以用一系列平行的截平面來表示橢圓拋物面，這些平行的截平面上拋物線相似，稱為相似斷層表示法。這種表示法為我們實(shí)現(xiàn)用計(jì)算機(jī)繪制三維橢圓拋物面奠定了理論基礎(chǔ)。

射影線束；相似拋物線；橢圓拋物面；斷層法

同向二射影線束，如果僅僅存在一對(duì)對(duì)應(yīng)平行直線時(shí)，對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)軌跡形成拋物線[1]。一對(duì)對(duì)應(yīng)線束與另一對(duì)對(duì)應(yīng)線束是不同的，它們?cè)鯓佑绊憭佄锞€的形狀？平移二線束之一怎樣影響拋物線的形狀？怎樣選用合適的正投影圖來表示橢圓拋物面，從而更有利于計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成其三維圖形，這些都是我們需要解決的問題。

1 正放位置拋物線

如圖1所示，任意同向二射影線束L1L2通過平移和旋轉(zhuǎn)都可以建立透視對(duì)應(yīng)位置，這種透視對(duì)應(yīng)位置非常有利于二線束對(duì)應(yīng)直線的作圖。二線束L1L2中兩對(duì)對(duì)應(yīng)主直線為m1m2和n1n2、兩對(duì)特殊的“等角線”為x1x2和y1y2，一對(duì)對(duì)應(yīng)線束和另一對(duì)對(duì)應(yīng)線束的不同可以用x1和 y1夾角（或x2和 y2夾角）α來表示，稱為二線束度量角。α≠90°，因?yàn)棣?90°時(shí)，L1L2為合同線束。

圖1 α=43°同向二線束L1L2

如圖2所示，如果我們平移線束L1L2在d1g2重合時(shí)，對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)形成拋物線，這時(shí)y1y2交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，x1（或x2）是拋物線的軸線方向。顯然，如果二線束底L1L2位置固定，不同α角的線束得到不同的拋物線。

圖2 正放位置拋物線

當(dāng)然，在圖2中，如果旋轉(zhuǎn)線束L1（或L2），讓x1x2交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，y1（或y2）是拋物線的軸線方向，也可以得到同樣的拋物線。

由于這種拋物線形成時(shí)，二線束底L1L2連線d1g2是拋物線軸線的垂線，為了敘述方便，稱為正放位置拋物線。

如圖3所示，如果我們固定線束L2不動(dòng)，讓L1沿L1L2連線平移到 L3位置，形成“相似”拋物線。這是因?yàn)橛捎谖暹呅蔚捻旤c(diǎn)在一條拋物線上，另一個(gè)對(duì)應(yīng)相似五邊形頂點(diǎn)確定了另一條拋物線，為了表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們引用了相似拋物線的概念。

2 斜放位置拋物線

如圖4所示 ，如果我們平移二線束底 L1L2在任意直線b1上時(shí)，L1L2連線不是拋物線軸線的垂線，這時(shí)形成的拋物線稱為斜放位置拋物線。如果令d1d2交點(diǎn)為D，g1g2交點(diǎn)為G，則L1D中點(diǎn)與L2G中點(diǎn)連線是拋物線軸線，此時(shí)屬于L2的切線為b2，屬于L1的切線為s1。我們固定線束L1不動(dòng)，讓線束L2沿L1L2連線平移到L3位置，線束 L1L3形成的拋物線與 L1L2形成的拋物線相似。

圖3 相似拋物線的形成

圖4 斜放位置拋物線

我們知道，圓是正多邊形逼近形成，相似正多邊形形成大小不同的圓。如圖5所示，對(duì)于L1L2形成的拋物線，也可以看成由多邊形逼近形成，只是這時(shí)的多邊形中有一個(gè)點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。這種多邊形也有相似的對(duì)應(yīng)圖形。如 L1L3與 L1L2二線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)形成多邊形相似。這里，對(duì)于“相似”拋物線的概念，是指二線束沿底連線平移后形成的拋物線。

圖5 多邊形逼近形成拋物線

如圖6(b)所示，如果L1不是沿L1L2連線平移，而是沿任一條直線d1移動(dòng)到L3位置，形成的拋物線并不相似。因?yàn)榇嬖谥鴮?duì)應(yīng)五邊形不相似情況。如圖6(a)中L1L2M12N12D12五邊形和L3L2M32N32D32五邊形。這時(shí)L1L2形成的拋物線與L3L2形成的拋物線，只是軸線方向相同，并不相似。

拋物線僅限于二線束沿底的連線平移后形成。觀察下面一種情況：

如圖7 (a, c)所示，L1L2連線為b1線 ，拋物線通過五點(diǎn)形L1L2M12N12D12。如圖7(b, d)所示，如果我們讓L2沿拋物線軸線方向移動(dòng)到L3位置，L1L3連線為a1線，拋物線通過對(duì)應(yīng)五點(diǎn)形L1L3M13N13D13。顯然，兩個(gè)五點(diǎn)形中有3個(gè)三角形同向或反向相似，但兩個(gè)五點(diǎn)形并不相似，因此對(duì)應(yīng)拋物線不相似。

圖6 平移線束L1到L3形成拋物線線不相似

圖7 二線束底在a1和b1上形成拋物線不相似

如圖1所示，a1和b1是對(duì)稱于y1的線，a2和b2是對(duì)稱于y2的線，這樣的對(duì)應(yīng)“等角線”有若干條，但并不形成相似拋物線。而 n1m1和m2n2是這些“等角”線中特殊的兩條，因?yàn)樗鼈儕A角為90°。

綜上所述，對(duì)于正放位置拋物線，合適選擇二線束度量角α可以得到相對(duì)應(yīng)的拋物線。同一對(duì)對(duì)應(yīng)線束，斜放位置不同，得到不同“大小”形狀的拋物線。二線束沿底的連線平移，可以得到相似拋物線；二線束底的連線，如果分別是對(duì)稱于y（y1或y2）線的“等角”線中的兩條，并不能得到相似拋物線。

3 橢圓拋物面的斷層表示

3.1 正放位置橢圓拋物面

見圖8，橢圓中有若干對(duì)共軛直徑，其中長(zhǎng)短軸的特殊性是人所共知的。另外還有一對(duì)特殊共軛直徑，它的長(zhǎng)度相等，稱為等共軛徑，用AB、CD表示。AB（或CD）也把橢圓平分成等積的兩部分，和長(zhǎng)短軸不同的是，這兩部分并不對(duì)稱。

當(dāng)我們把一條等共軛徑AB放置為正平線，把另一條CD等分，作一系列平行于正平面的截平面，得到的拋物線相似。由此得到橢圓拋物面的正投影圖。因?yàn)樗恼嫱队笆怯扇舾蓚€(gè)平行的相似拋物線截交線來表示，為了敘述方便，稱為相似斷層法。如果這若干個(gè)平行的相似拋物線為正放位置拋物線，形成的橢圓拋物面稱為正放位置橢圓拋物面，如圖8所示。

二線束中各對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖9所示。

y1y2交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡始終屬于鉛垂面，該鉛垂面是屬于等共軛徑CD的半橢圓，如圖9(a)所示。

兩條主直線m1m2和n1n2交點(diǎn)始終在變徑圓上運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)軌跡也是屬于CD的半橢圓，如圖9(b)所示。

任取對(duì)稱于y線的直線a1a2和b1b2的交點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡也是屬于CD的半橢圓，如圖9(c)所示。

屬于一對(duì)非固有點(diǎn)x1x2交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓柱面，我們可以稱為方向柱面，如圖9(d)所示。正放位置橢圓拋物面方向柱面軸線為鉛垂線。

如果把橢圓等共軛徑CD放置為正平線，等分 AB，得到另一種位置橢圓拋物面。兩種位置橢圓拋物面雖然觀察方向不同，形狀相同。顯然，橢圓拋物面也可以看成由AB（或CD）為軸的半橢圓束組成。

在圖8中，如果用傳統(tǒng)方法，把橢圓長(zhǎng)軸（或短軸）放置為正平線，讓一系列平行的正平面截交線為相似拋物線，通過作圖證明，這時(shí)通過短軸（或長(zhǎng)軸），即側(cè)平面上截交線不是拋物線。

3.2 斜放位置橢圓拋物面

圖8 橢圓拋物面斷層表示

圖9 兩線束中對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)軌跡分解圖

如圖10所示，如果我們保持水平面上橢圓不動(dòng)，讓二線束L1L2形成斜放位置拋物線，這時(shí)形成的橢圓拋物面稱為斜放位置橢圓拋物面。此時(shí)方向柱面軸線是正平線。對(duì)于二線束 L1L2，每一對(duì)對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡都是屬于CD的半橢圓。

圖10 橢圓拋物面斜放置斷層表示

關(guān)于斜放位置橢圓拋物面性質(zhì)還需進(jìn)一步研究。

4 結(jié) 束 語

為了用計(jì)算機(jī)繪制三維的橢圓拋物面，我們只需選擇屬于橢圓的一條等共軛徑，共軛徑兩端點(diǎn)為兩對(duì)應(yīng)線束的底，屬于線束的平面垂直于橢圓面，該平面上二線束形成拋物線。讓該平面平行移動(dòng)，二線束底隨平面和橢圓交點(diǎn)平移，得到一系列平行且相似的拋物線。由于二射影對(duì)應(yīng)線束，不僅可以形成拋物線，還可以形成圓、橢圓、雙曲線等[1]，因此，這種方法還可以推廣到其它二次曲面，如橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面等。

[1] 劉阜平, 丁 勇. 射影線束形成二階曲線及其退化形式[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 33(4): 22-26.

[2] 南開大學(xué)數(shù)學(xué)系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978: 150-160, 231.

[3] 劉阜平, 丁 勇. 空間二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列形成的單葉雙曲面[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 33(5): 28-31.

The Similar Cutting Layers of Parabola and Elliptic Paraboloid Formed by two Projective Line Pencil

Liu Fuping, Ding Yong
( Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi 030024, China )

With drawing, a changing parabold is formed by the two projective line pencils formed. If the five vertexes of a pentagon are on a parabold, another parabold formed by a similar pentagon is similar to this one. In order to draw elliptic parabolaid using computer, a series of parallel cutting planes can be used which are similar parabolds to show the curves. This is referred to as cutting layers method.

projective line pencils; similar parabold; elliptic paraboloid; cutting layer method

O 185

A

2095-302X (2013)05-0062-04

2012-10-28；定稿日期：2013-01-04

劉阜平（1957-），女，江蘇阜寧人，副教授，主要研究方向?yàn)樯溆皫缀巍-mail：dylfp@sohu.com

丁 勇（1955-），男，安徽銅陵市人，副教授，主要研究方向?yàn)樯溆皫缀危?jì)算機(jī)三維CAD。E-mail：vhalf2010@sina.com