孔繁利，吉日木圖

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)a.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院；b.數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028043）

0 引言

隨著實(shí)際問(wèn)題的需要，庫(kù)存的優(yōu)化理論逐漸被深入研究，從單級(jí)庫(kù)存到多級(jí)庫(kù)存、從單產(chǎn)品庫(kù)存到多產(chǎn)品庫(kù)存、從確定需求到不確定需求都取得了較好的成果[1-3]。Teimoury等則研究了具有兩類顧客的多產(chǎn)品生產(chǎn)-庫(kù)存系統(tǒng)[4]。Consular等研究了允許缺貨和延期交貨下的庫(kù)存模型[5]。Abad等研究了在允許部分延期交貨情況下，價(jià)格和訂貨量都作為決策變量的一類庫(kù)存問(wèn)題[6]。而影響庫(kù)存的主要因素是需求的隨機(jī)性，由于需求的規(guī)律難以掌握，因此隨機(jī)需求條件下的庫(kù)存管理問(wèn)題仍然是供應(yīng)鏈管理中的一個(gè)難點(diǎn)。

本文研究了需求隨機(jī)變化條件下的庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題。在需求變化的情況下，建立了隨機(jī)庫(kù)存優(yōu)化模型。并采用蒙特卡洛仿真和Matlab優(yōu)化技術(shù)對(duì)建立的庫(kù)存模型求解，統(tǒng)計(jì)銷售周期和訂貨量出現(xiàn)的頻率，選取出現(xiàn)頻率最大的銷售周期和相應(yīng)的訂貨量作為最優(yōu)銷售周期和訂貨量。

1 問(wèn)題描述

從圖1可以看出在不同的周期內(nèi)需求對(duì)庫(kù)存的影響。在第一個(gè)周期內(nèi)需求與供給恰好平衡，在第二周期內(nèi)需求大于供給，導(dǎo)致存在著不能滿足需求的情況，導(dǎo)致缺貨損失。第三周期內(nèi)供給大于需求，產(chǎn)生了持貨成本。在這種隨機(jī)需求的情況下，本文在滿足一定服務(wù)水平下，建立以利潤(rùn)最大為目標(biāo)的規(guī)劃模型。通過(guò)蒙特卡洛仿真和Matlab尋優(yōu)研究了隨機(jī)需求的最優(yōu)定貨策略。而在需求變化的情況下，由于需求為隨機(jī)變量，我們無(wú)法求得周期（即兩次訂貨時(shí)間間隔）的確切時(shí)間，也無(wú)法求得再次訂貨點(diǎn)確切來(lái)到的時(shí)間。最優(yōu)庫(kù)存決策是利用庫(kù)存管理方法和庫(kù)存控制模型，在滿足需求的情況下，決定存儲(chǔ)點(diǎn)應(yīng)保持多少庫(kù)存、什么時(shí)候定貨、訂購(gòu)量為多少等等以達(dá)到庫(kù)存總費(fèi)用最省的目的。

圖1 隨機(jī)需求情況的庫(kù)存Q（t）的變化情況

2 模型建立

2.1 模型參數(shù)

（1）決策變量：TAC為全年總利潤(rùn)；Q為每次訂貨量；T為銷售周期；

（2）常量：U1為買入單位產(chǎn)品的價(jià)格；U2為賣出單位產(chǎn)品的價(jià)格；U3為單位缺貨損失；Q1為每周期需求量，Qi為第i天的需求量，此常量受到需求的影響；T′為缺貨周期內(nèi)的銷售天數(shù)；CR為每次的訂貨成本；CH為單位產(chǎn)品的庫(kù)存持有成本；MQ,MT分別為每周期最大需求量，周期內(nèi)最大可能天數(shù)。E(β)為在訂貨周期內(nèi)大于訂貨量的平均需求。β為服務(wù)水平。

2.2 模型假設(shè)

（1）需求不確定且具有一定量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；

（2）允許缺貨，缺貨會(huì)造成缺貨損失，缺貨預(yù)售而不是丟失銷售機(jī)會(huì)，但需要滿足一定的服務(wù)水平。

2.3 模型建立

3 數(shù)值算例

由于每天需求量Qi和周期內(nèi)的需求量Q1需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算，因此本文通過(guò)蒙特卡洛仿真計(jì)算Qi和Q1。

3.1 蒙特卡洛仿真

蒙特卡洛仿真是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所要求解的問(wèn)題同一定的概率模型相聯(lián)系，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬及抽樣，從而獲得問(wèn)題的近似解[5]。其基本思想是：首先為處理的問(wèn)題建立一個(gè)概率模型，然后產(chǎn)生該問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)抽樣樣本，最后分析樣本的特征，并以此作為原問(wèn)題的解。其主要的理論依據(jù)是概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定律。采用蒙特卡洛仿真時(shí)，需要做大量的統(tǒng)計(jì)模擬才能獲得原問(wèn)題的近似解，因此計(jì)算量非常大[1]。本文求解上述隨機(jī)需求的優(yōu)化模型（5）蒙特卡洛仿真步驟如下：

（1）根據(jù)每天需求量的分布，統(tǒng)計(jì)其概率分布并進(jìn)行隨機(jī)編碼；

（2）根據(jù)隨機(jī)編碼產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，計(jì)算模型（2.5）中的統(tǒng)計(jì)量Qi,Q1，其中Q1是Qi的和；

（3）對(duì)于任意的銷售周期T∈[0,MT]和訂貨量Q∈[0,MQ]和相應(yīng)的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)量Qi,Q1，利用Matlab優(yōu)化技術(shù)計(jì)算TAC并求解最優(yōu)的TAC和相應(yīng)的訂貨量和銷售周期；

（4）重復(fù)計(jì)算步驟二和步驟三N次，獲得N次最優(yōu)值TAC和相應(yīng)訂貨量和銷售周期；

（5）統(tǒng)計(jì)訂貨量和訂貨周期的概率分布，以出現(xiàn)頻率最高的定貨量和銷售周期作為最優(yōu)的訂貨量和銷售周期。

3.2 實(shí)際算例

本文以某種飲料作為研究對(duì)象。其中買入單位產(chǎn)品的價(jià)格U1=80（元/箱）；賣出單位產(chǎn)品的價(jià)格U2=100（元/箱）；單位缺貨損失U3=15（元/箱）；每次的訂貨成本CR=300（元）；單位產(chǎn)品的存儲(chǔ)費(fèi)用CH=0.2（元/箱）；每周期最大需求量，周期內(nèi)最大可能天數(shù)分別為MQ=200,TQ=100。零售商統(tǒng)計(jì)1000天此飲料的每天需求量（單位：箱/天）分布，如表1：

表1 1000天的產(chǎn)品每天需求量的分布 （單位：需求量，箱/天）

（1）對(duì)每天需求量進(jìn)行隨機(jī)編碼。根據(jù)每天的需求量，計(jì)算頻率和累計(jì)頻率。根據(jù)累計(jì)頻率進(jìn)行隨機(jī)編碼，如表2。

表2 產(chǎn)品的每天需求量的概率分布及隨機(jī)編碼

（2）在服務(wù)水平β=0.95,β=0.80兩種情況下，根據(jù)蒙特卡洛的仿真步驟2、3、4對(duì)模型（5）求N=1000次最優(yōu)解，在服務(wù)水平為0.95時(shí)，將模擬1000次的最優(yōu)訂貨批量與銷售周期及其頻數(shù)、頻率統(tǒng)計(jì)和匯總，見表3、表4：

表3 服務(wù)水平為0.95時(shí)最優(yōu)訂貨批量

表4 服務(wù)水平為0.95時(shí)最優(yōu)訂貨周期

模擬1000次，數(shù)值運(yùn)算結(jié)果在不同周期的訂貨量情況和銷售周期統(tǒng)計(jì)頻數(shù)情況見圖2-圖3。

圖2 服務(wù)水平β=0.95下的最優(yōu)訂貨批量分布圖

圖3 服務(wù)水平β=0.95下的銷售周期分布圖

而在服務(wù)水平為0.80時(shí)，將模擬1000次的最優(yōu)訂貨批量與銷售周期及其頻數(shù)、頻率統(tǒng)計(jì)和匯總，見表5、表6：

表5 服務(wù)水平為0.80時(shí)最優(yōu)訂貨批量

表6 服務(wù)水平為0.80時(shí)最優(yōu)訂貨周期

模擬1000次，數(shù)值運(yùn)算結(jié)果在不同周期的訂貨量情況和銷售周期統(tǒng)計(jì)頻數(shù)情況見圖4-圖5。

圖4 服務(wù)水平β=0.80下的最優(yōu)訂貨批量分布圖

圖5 服務(wù)水平β=0.80下的銷售周期分布圖

根據(jù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果與訂貨量和銷售周期分布圖2-圖5，在β=0.95下，我們可以看出數(shù)據(jù)銷售周期18-25天占有總量得50%以上，其中銷售量為21所占有的比例最大，而銷售量在120-140箱在銷售量中占有50%以上。為了科學(xué)客觀地反映最優(yōu)訂貨批量和銷售周期，本文采用訂貨批量期望和銷售周期期望，如下：

其中E(Qopt)和E(Topt)分別為模擬1000次后確定的最優(yōu)訂貨批量和銷售周期的期望值；Qopt(i)和Topt(i)分別為第i個(gè)最優(yōu)訂貨批量和銷售周期結(jié)果；PQopt(i)和PTopt(i)分別為1000次模擬中第i個(gè)最優(yōu)訂貨批量和銷售周期對(duì)應(yīng)的發(fā)生頻率。計(jì)算結(jié)果如表7：

表7 不同服務(wù)水平下的最優(yōu)銷售周期及批量期望

因此，在β=0.95時(shí)，最優(yōu)銷售周期選取為Topt=19天，對(duì)應(yīng)的訂貨量為Qopt=126箱。因此在β=0.80時(shí)，最優(yōu)的銷售周期為Topt=22天，相應(yīng)的訂貨量為Qopt=131箱。

4 結(jié)論

本文采用蒙特卡洛仿真求解隨機(jī)庫(kù)存問(wèn)題，獲得了統(tǒng)計(jì)上的最優(yōu)訂貨量和銷售周期。為隨機(jī)需求，但掌握市場(chǎng)需求動(dòng)態(tài)的管理者提供了一種決策方法。但是本文仍然需要有進(jìn)一步研究的內(nèi)容，例如，對(duì)多產(chǎn)品隨機(jī)需求下的庫(kù)存問(wèn)題。隨機(jī)需求下多級(jí)庫(kù)存問(wèn)題（牛鞭效應(yīng)增加了問(wèn)題的復(fù)雜性）等都需要進(jìn)一步分析。

[1]汪傳旭，蔣良奎.模糊隨機(jī)需求條件下供應(yīng)鏈定期庫(kù)存訂貨策略研究[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011,(7).

[2]Landinnr,Mendeslts,Vazlpr.Combined Effects of Tidal and Rotational Distortions on the Equilibrium Configuration of Low-Mass,Pre-Main Sequence Stars[J].A＆A，2009，494.

[3]Porteus,E.L.Foundations of Stochastic Inventory Control,Stanford [M].CA:Stanford University Press,2002.

[4]Teimoury E,Etal.Aqueueing Approach to Product Io-Inventory Planning for Supply Chain with Uncertain Demands:Case St Udy o f PAKSHOO Hemicals Company[J].Journal of Manufacturing Systems,2010, 29(1).

[5]Consular KV,De Kok T,Rutten W.Two Replenishment Strategies for the Lost Sales Inventory Model:a Comparison[J].International Journal of Production Economics,1996,46～47.

[6]Abad P L.Optimal Price and Order Size for a Reseller under Partial Backordering[J].Computers and Operations Research,2001,28.