雷 霖 胡 俊 胡皓全

（電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都611731）

引 言

在武器系統(tǒng)的研制中，隱身設(shè)計(jì)是一項(xiàng)非常重要的軍事需求［1-6］.除外形設(shè)計(jì)技術(shù)之外，目標(biāo)表面涂覆吸收材料也是隱身設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用的一項(xiàng)技術(shù)，針對(duì)涂覆吸收材料目標(biāo)的電磁散射特性建模方法也就顯得很重要.傳統(tǒng)解析方法可以處理各向異性媒質(zhì)涂敷導(dǎo)體球的電磁散射，但不能用于任意涂敷復(fù)雜導(dǎo)體情形，使得解析方法有很大的局限性［5］.有限元方法是一種非常有效的方法，它在處理復(fù)雜非均勻介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射與輻射問題中有著極大的優(yōu)勢(shì)［7］.單純的有限元方法需要應(yīng)用吸收邊界條件去截?cái)嘤?jì)算區(qū)域的邊界.有限元方法與邊界元混合方法綜合了兩種方法的優(yōu)勢(shì)，只需將截?cái)噙吔邕x取在目標(biāo)的邊界上，使得內(nèi)存的需求和計(jì)算時(shí)間大為降低［8-11］.但是，由于涂覆材料的厚度很薄，無論采用積分方程方法還是采用有限元方法與邊界元混合，均會(huì)遇到待求未知量多、矩陣病態(tài)的困難.為實(shí)現(xiàn)薄層介質(zhì)的高效數(shù)值求解，阻抗邊界條件技術(shù)被廣泛使用［12］，薄介質(zhì)片及多層薄介質(zhì)片模型也被提出應(yīng)用在積分方程法用以進(jìn)一步降低未知量的數(shù)目［13-15］.為提升有限元方法分析薄層介質(zhì)的效率，D.Wulf，R.Bunger發(fā)展了三棱柱單元［16］.Z.Ren進(jìn)一步發(fā)展了薄殼單元［17］，該單元是三棱柱單元的退化，它類似于三角形面單元，對(duì)于薄層介質(zhì)只需要進(jìn)行面剖分，而不需要進(jìn)行體剖分.采用薄殼單元可以極大地降低未知量和計(jì)算時(shí)間.該方法也被應(yīng)用到時(shí)域有限元方法中［18］.

由于涂覆目標(biāo)往往是金屬的，在本文中主要處理涂覆各向異性介質(zhì)的導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射問題.首先，闡述有限元-邊界元方法處理各向異性媒質(zhì)的基本原理，介紹了薄殼單元的性質(zhì)及與有限元-邊界元方法的結(jié)合.通過對(duì)比驗(yàn)證了使用薄殼單元分析各向異性介質(zhì)涂敷金屬球和各向異性介質(zhì)涂敷金屬立方體電磁散射的精確性及優(yōu)勢(shì)，并給出了使用薄殼單元分析不同涂敷厚度對(duì)各向異性涂敷金屬立方體電磁散射特性的影響和不同各向異性介質(zhì)涂敷時(shí)對(duì)金屬立方體電磁散射的影響，得出了有益的結(jié)論.

1 有限元-邊界積分方法基本原理

研究導(dǎo)體目標(biāo)涂覆各向異性介質(zhì)材料的電磁散射問題.在各向異性媒質(zhì)中的電場(chǎng)滿足麥克斯韋方程為

分別是媒質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率和介電常數(shù)；k0是自由空間的波數(shù).

在各向異性媒質(zhì)與自由空間的邊界上，電場(chǎng)滿足下列邊界條件：

對(duì)于各向異性媒質(zhì)區(qū)域，用有限元方法建立方程為

對(duì)上述方程離散并應(yīng)用權(quán)函數(shù)，可得到下面的矩陣方程為

由于這個(gè)方程有兩個(gè)未知量，要求解還需要建立另一個(gè)方程.對(duì)于邊界上的場(chǎng)量，用積分方程方法建立另一個(gè)方程，聯(lián)立兩個(gè)方程即可求解.

積分方程分為電場(chǎng)積分方程和磁場(chǎng)積分方程：

通常為了避免內(nèi)部諧振，需要將兩種方程混合在一起構(gòu)成混合場(chǎng)積分方程.將混合場(chǎng)方程進(jìn)行離散并應(yīng)用權(quán)函數(shù)，可得到下面的矩陣方程為

內(nèi)外兩個(gè)區(qū)域的場(chǎng)通過邊界條件聯(lián)系起來，即聯(lián)立式（5）和式（10），可將整個(gè)問題用下面的矩陣方程表示為

求解方程（11）就可以得到邊界上及媒質(zhì)內(nèi)部的場(chǎng)量，從而可以進(jìn)行進(jìn)一步地分析其散射特性.

2 薄殼單元及與有限元-邊界積分方法的結(jié)合

如圖1所示，在薄殼單元中，將沿高度方向的矢量場(chǎng)表示為三個(gè)結(jié)點(diǎn)上的法向場(chǎng)，在薄殼單元中就由沿上下表面的棱邊場(chǎng)和結(jié)點(diǎn)上的法向場(chǎng)構(gòu)成所有的場(chǎng)量.高度d方向的場(chǎng)的變化可以用一個(gè)線性函數(shù)β（z）來表示，并且有?β＝-n＾/d.上下表面的棱邊場(chǎng)的基函數(shù)分別用βNj（j＝1，2，3）和β′N′j（j＝1，2，3）來表示（Nj和N′j是三角形單元的棱邊基函數(shù)）.結(jié)點(diǎn)處場(chǎng)的基函數(shù)用Lj，j＝1，2，3來表示（Lj是體積坐標(biāo)）.

圖1 薄殼單元的結(jié)構(gòu)及矢量方向

在薄殼單元中的電場(chǎng)可以表示為［7］：

采用薄殼單元，在薄層介質(zhì)中的體積分就可以轉(zhuǎn)換為面積分.有限元方程可寫為

式（13）中，體積分的處理類似于下面幾個(gè)式子：

對(duì)于導(dǎo)體涂敷各向異性介質(zhì)的情況，矩陣方程可改寫成

式中：En1是結(jié)點(diǎn)處法向電場(chǎng)展開系數(shù)；Eu1是上表面棱邊電場(chǎng)展開系數(shù).

3 數(shù)值結(jié)果

為了驗(yàn)證采用薄殼元的有限元-邊界積分方程方法的精確性，進(jìn)行了下列考察.

3.1 介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球

介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球參數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)均為：k0a＝1，厚度為a/30.不同的只是介電常數(shù).

1）各向同性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球

為驗(yàn)證程序的有效性，先用采用薄殼單元的有限元-邊界積分方法的針對(duì)各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體雷達(dá)散射截面（Radar Cross-Section，RCS）的程序計(jì)算各向同性介質(zhì)涂敷金屬球的雙站RCS，選擇相對(duì)介電常數(shù)為＝4.其結(jié)果如圖2所示，可見其計(jì)算結(jié)果與解析解結(jié)果完全吻合，證明該方法的精度是可靠的.

圖2 各向同性介質(zhì)涂敷金屬球雙站RCS

2）各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球

將各向同性介質(zhì)換成各向異性介質(zhì)，通過改變介電常數(shù)來對(duì)比傳統(tǒng)有限元-邊界積分方程方法與使用薄殼元的有限元-邊界積分方程方法的計(jì)算結(jié)果，以證明其精確性和優(yōu)越性.

兩種方法的結(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)、內(nèi)存和未知量的對(duì)比如表1所示，從表1可知采用四面體單元計(jì)算所需計(jì)算機(jī)內(nèi)存、單元數(shù)、未知量分別是采用薄殼元的1.7倍、2.44倍、1.3倍.

表1 兩種方法對(duì)比

圖3 各向異性介質(zhì)涂敷金屬球雙站RCS

3.2 介質(zhì)涂敷金屬立方體

計(jì)算介質(zhì)涂敷金屬立方體的結(jié)構(gòu)均為：邊長(zhǎng)0.1 m；波長(zhǎng)0.1m；入射波僅有分量，入射波方向θinc＝45°，φinc＝0°.不同的是介質(zhì)厚度和介電常數(shù).

1）各向同性介質(zhì)涂敷金屬立方體

為驗(yàn)證方法的精確性，先用采用薄殼單元的有限元-邊界積分方法計(jì)算各向異性介質(zhì)散射特性的程序計(jì)算各向同性介質(zhì)＝4，介質(zhì)厚度為0.001m時(shí)的雙站RCS.從圖4可以看出：采用薄殼元的有限元邊界積分方程方法與FEKO軟件的計(jì)算結(jié)果非常吻合，與傳統(tǒng)有限元-邊界積分方程方法也比較吻合.

2）各向異性介質(zhì)涂敷金屬立方體

兩種方法的結(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)、內(nèi)存和未知量的對(duì)比如表2所示，從表2可知采用四面體單元計(jì)算所需計(jì)算機(jī)內(nèi)存、單元數(shù)、未知量分別是采用薄殼元的1.92倍、2.7倍、1.4倍.

表2 兩種方法對(duì)比

3.3 參數(shù)改變對(duì)RCS的影響

通過改變各向異性介質(zhì)涂層的厚度和參數(shù)來看對(duì)雙站RCS有什么影響.

1）厚度對(duì)RCS的影響

選擇涂層的介電常數(shù)

2）不同介質(zhì)參數(shù)對(duì)RCS的影響

采用薄殼元的有限元-邊界積分方法分析改變介質(zhì)參數(shù)對(duì)RCS的影響，選擇下面幾種不同的參數(shù)＝εr1、＝εr2、＝εr3進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7所示，其中0表示的是沒有涂敷的金屬立方體.

從圖7可以看出，沒有涂敷各向異性介質(zhì)的金屬立方體比1號(hào)介質(zhì)的前向RCS減少了約5dB，后向RCS增大了約5dB.從前三種介質(zhì)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1號(hào)介質(zhì)與3號(hào)介質(zhì)由于材料類似，對(duì)角線元素的值變化不大所以結(jié)果相差不大，2號(hào)介質(zhì)與1，3號(hào)介質(zhì)由于材料不同，所以對(duì)結(jié)果有一定影響，在本文所選介質(zhì)的情況下，前向RCS變化不大，但2號(hào)介質(zhì)的后向RCS比1、3號(hào)介質(zhì)減小了約2dB.

4 結(jié) 論

通過使用四面體單元的有限元-邊界積分方程方法與使用薄殼單元的有限元-邊界積分方程方法的對(duì)比可以看出：采用薄殼元的有限元-邊界積分方法與采用四面體的有限元-邊界積分方法相比具有比較高的精度，無論是所需剖分單元數(shù)量、未知量還是所需計(jì)算機(jī)內(nèi)存上，前者都明顯優(yōu)于后者，采用薄殼元的有限元-邊界積分方法在計(jì)算各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體時(shí)能節(jié)省大量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間，剖分越密，效果越明顯.由于實(shí)際工程中使用吸波材料的厚度都在0.1λ0以下，前面的數(shù)據(jù)也證明該方法計(jì)算厚度為0.1λ0各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體目標(biāo)雙站RCS的精度還是符合要求的，從而證明了該方法分析各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體電磁散射的可行性.

從采用薄殼單元來分析當(dāng)涂敷各向異性介質(zhì)的厚度改變對(duì)目標(biāo)雙站RCS的影響中可以看出：介質(zhì)厚度的改變對(duì)目標(biāo)RCS有很大的影響.

從采用薄殼單元來分析當(dāng)涂敷各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)改變對(duì)目標(biāo)雙站RCS的影響中可以看出：涂敷各向異性介質(zhì)材料與不涂敷介質(zhì)材料對(duì)導(dǎo)體目標(biāo)的電磁特性有很大影響，并且由于介電常數(shù)的不同，其散射特性也有所不同.

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