郭秀英，劉洪偉，徐中海

(1.吉林市第十八高級(jí)中學(xué)，吉林吉林132012;2.東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林吉林132012)

對(duì)稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則，它的重要作用之一就是用來(lái)研究系統(tǒng)的守恒量。主要有Noether對(duì)稱性、Lie對(duì)稱性及Mei對(duì)稱性，三種對(duì)稱性可直接也可間接導(dǎo)致Noether守恒量、Hojman守恒量和Mei守恒量。關(guān)于Hamilton系統(tǒng)對(duì)稱性的研究已取得一些成果［1－2］。傳統(tǒng)的Hamilton系統(tǒng)是在偶數(shù)維相空間上定義的，這極大地限制了它的應(yīng)用。后來(lái)人們又發(fā)展為廣義Hamilton系統(tǒng)，因目前尚未找到廣義Hamilton系統(tǒng)的相應(yīng)作用量，致使無(wú)法利用Noether對(duì)稱性來(lái)研究其守恒量。可見，利用Lie對(duì)稱性和Mei對(duì)稱性研究廣義Hamilton系統(tǒng)的守恒量顯得尤為重要［3－6］。本文將研究廣義Hamilton系統(tǒng)Mei對(duì)稱性直接導(dǎo)致的新守恒量。并舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

1 系統(tǒng)Mei對(duì)稱性判據(jù)和確定方程

廣義Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中:H=H(t，xi)為Hamilton函數(shù)，Jij=Jij(xi)滿足條件Jij=-Jji，

引入一般無(wú)限小變換

其中:ε為無(wú)限小參數(shù)，ξ0，ξi為無(wú)限小生成元。

定義對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果動(dòng)力學(xué)函數(shù)H=H(t，xi)在無(wú)限小變換(3)下有

使得系統(tǒng)(1)保持形式不變，即

這種不變性稱為廣義Hamilton系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性。其中

判據(jù)對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果動(dòng)力學(xué)函數(shù)H=H(t，xi)在無(wú)限小變換(3)下的生成元ξ0，ξi滿足方程

則廣義Hamilton系統(tǒng)具有Mei對(duì)稱性。

3 Mei對(duì)稱性導(dǎo)致的Mei守恒量

廣義Hamilton系統(tǒng)(1)是否還存在其它形式的Mei守恒量及給出如下定理。

定理對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果動(dòng)力學(xué)函數(shù)H=H(t，xi)在無(wú)限小變換(3)下的生成元ξ0，ξi滿足方程(6)，并且存在規(guī)范函數(shù)GM=GM(t，xi)滿足方程

則廣義Hamilton系統(tǒng)(1)的Mei對(duì)稱性直接導(dǎo)致如下的守恒量

其中是使規(guī)范函數(shù)GM存在的任意函數(shù)。

4 算例

試研究其Mei對(duì)稱性及其守恒量。

系統(tǒng)(9)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

考慮一般無(wú)限小變換(3)式，由(6)式給出Mei對(duì)稱性確定方程為

方程組(11)式有如下解

計(jì)算X(0)(H)=t，將(12)式代入Mei守恒量存在條件(7)式得

當(dāng)f=1時(shí)，(13)式有解

將f=1和(14)式代入(8)式得新守恒量

5 結(jié)論

本文給出了廣義Hamilton系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性直接導(dǎo)致的新守恒量，守恒量存在的條件和守恒量的形式更為簡(jiǎn)潔，并且結(jié)果具有一般意義?？梢愿鶕?jù)規(guī)范函數(shù)GM的需要適當(dāng)選取函數(shù)f。另外，本文研究了含有時(shí)間的廣義Hamilton系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性與守恒量，豐富和發(fā)展了約束力學(xué)系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性理論。

［1］羅紹凱.Hamilton系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性、Noether對(duì)稱性和Lie對(duì)稱性［J］.物理學(xué)報(bào)，2003，52(12):2941－2944.

［2］羅紹凱.奇異系統(tǒng)Hamilton正則方程的Mei對(duì)稱性、Noether對(duì)稱性和Lie對(duì)稱性［J］.物理學(xué)報(bào)，2004，53(1):5－10.

［3］梅鳳翔.廣義Hamilton系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量［J］.物理學(xué)報(bào)，2003，52(5):1048－1050.

［4］賈利群，鄭世旺.帶有附加項(xiàng)的廣義Hamilton系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性［J］.物理學(xué)報(bào)，2006，55(8):3829－3832.

［5］梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2004.

［6］劉洪偉，李玲飛，楊士通.Kepler方程的共形不變性、Mei對(duì)稱性與守恒量［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61(20):200202.