歐 軍 江月松 邵宇偉 屈曉聲 華厚強(qiáng) 聞東海

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191)

(2012年9月15日收到;2013年2月2日收到修改稿)

1 引言

自1992年Allen等[1]發(fā)現(xiàn)具有方位角相位為exp(ilφ)(l為整數(shù))的光束的每個(gè)光子在其傳播方向上攜帶有l(wèi)的軌道角動量之后，具有螺旋波前的光束如拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian，LG)光束在量子信息處理[2]、粒子操縱[3,4]、空間通信[5,6]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.尤其是在空間通信領(lǐng)域，可以大大增強(qiáng)通信的傳輸數(shù)據(jù)容量[5]和保密性[6].然而光波在傳播過程中將不可避免地遇到大氣粒子如雨滴、氣溶膠、冰晶等，這些粒子對光的作用主要是粒子的散射而引起光能的衰減[7].已有部分專家學(xué)者致力于研究LG光束入射時(shí)球形粒子的散射特性[8,9]，針對非球形粒子對LG光束的散射研究仍然很少.由于自然界中的粒子形狀很多都是非球形的，并且橢球模型更接近粒子的實(shí)際形狀，因此研究橢球粒子對LG光束的散射作用是很有意義和必要的.

對于橢球粒子的散射研究工作，最著名的是由Asano等[10]開展的，尤其是他們提出的對于橢球粒子邊界條件的處理方法，是一種公認(rèn)的能夠解決邊界問題的好方法.韓一平等人糾正了Asano對于邊界條件處理的錯誤參數(shù)，基于廣義Mie理論[11]計(jì)算得到高斯波束在橢球坐標(biāo)系中的波束因子[12]，研究了均勻橢球粒子對于高斯波束的散射特性[13].本文在以上工作的基礎(chǔ)上對在軸入射的LG光束與橢球粒子相互作用過程展開了理論研究.采用局域近似法求解LG光束在橢球坐標(biāo)系中的波束因子，然后由散射系數(shù)求得散射強(qiáng)度.討論了散射強(qiáng)度隨橢球粒子尺寸參數(shù)和扁圓程度的變化特性，并針對不同拓?fù)浜蓵r(shí)的散射強(qiáng)度進(jìn)行了對比分析.

2 理論分析

2.1 拉蓋爾-高斯光束

LG光束最突出的兩個(gè)特點(diǎn)是具有螺旋形的波前和光束是中空的即中心強(qiáng)度為零[14].忽略時(shí)間因子exp(-iwt)，LG光束可以寫為[15,16]

相位因子 exp(ilφ)表明此模式的光束具有螺旋波前.

2.2 入射LG光束在橢球坐標(biāo)系中展開

對于計(jì)算LG光束在球坐標(biāo)系中的展開系數(shù)，文獻(xiàn)[8，9]已給出具體方法.但是針對LG光束在橢球坐標(biāo)系中波束因子的計(jì)算，至今還很少人開展過這方面的工作.本文先將LG光束在球坐標(biāo)系中用球矢量波函數(shù)展開，根據(jù)球矢量波函數(shù)與橢球矢量波函數(shù)的關(guān)系，得到橢球坐標(biāo)系中的展開系數(shù).

圖1為設(shè)計(jì)的粒子散射模型圖.由于研究的粒子粒徑與光束的波長處于同一數(shù)量級，所以將LG光束經(jīng)過透鏡聚焦后，入射在橢球粒子的中心，粒子位于透鏡的焦平面處.

橢球粒子內(nèi)外電磁場滿足標(biāo)量Helmholz方程

其中k是波數(shù)，標(biāo)量 Helmholz方程的通解形式[17]為

m和n為整數(shù)，-∞＜m＜∞，|m|≤n＜∞.c為介質(zhì)的特征量且c=kf，f為橢球的半焦長度，k為介質(zhì)中的波數(shù).在長橢球坐標(biāo)系中-1≤η≤1，1≤ζ≤∞，0≤φ≤2π.Smn(c;η)是橢球角波函數(shù)，Smn(c;η)可以用連帶勒讓德函數(shù)的無限級數(shù)和來表示：

由標(biāo)量波動方程的解便可得到矢量橢球波函數(shù)

圖1 散射模型圖，Rf為透鏡焦距，w(Rf)為透鏡焦平面處的光斑半徑

在球坐標(biāo)系中入射光可表示為球矢量波函數(shù)的無限級數(shù)和[18]

經(jīng)過一系列的代數(shù)運(yùn)算可以得到入射光電場矢量在橢球坐標(biāo)系中的展開式

3 數(shù)值結(jié)果與分析

3.1 波束因子的數(shù)值求解

本文采用局域近似法來計(jì)算波束因子，局域近似法計(jì)算速度快，對計(jì)算機(jī)的配置要求不高，可在微機(jī)上進(jìn)行.在大多數(shù)場合與積分法[19]和有限級數(shù)法[20]相比其引起的誤差很小，并且在可接受范圍內(nèi)[21].

表1 在橢球坐標(biāo)系中波束因子的值(光束的束腰半徑w0=2.025μm，粒子折射率n=1.33)

3.2 遠(yuǎn)場散射光強(qiáng)

實(shí)際中人們通?？紤]遠(yuǎn)場(cζ→∞)的散射光強(qiáng)，借助于cζ→∞時(shí)忽略高于1/r的高階項(xiàng)，利用第三類橢球矢量波的漸近表達(dá)式，可得電場遠(yuǎn)場的各分量為

圖2 不同尺寸參數(shù)的橢球粒子在光束入射下散射強(qiáng)度的角分布圖 (a)c=3;(b)c=4;(c)c=5

圖3 不同扁圓程度的橢球粒子在光束入射下散射強(qiáng)度的角分布圖

拓?fù)浜蓴?shù)是LG光束的重要參量，因此本文對橢球粒子(c=5,a/b=3)攜帶有不同拓?fù)浜蓴?shù)(l=2，3，4)的LG光束作為入射光時(shí)的散射強(qiáng)度進(jìn)行了仿真計(jì)算，結(jié)果如圖5所示.從圖中可以看出，散射強(qiáng)度隨拓?fù)浜傻脑龃蠖鄳?yīng)減小，這是由隨著拓?fù)浜傻脑龃?，入射光束中空的面積將增大，與橢球粒子的作用面積將減少引起的.

圖4 球形鋁粒子在光束入射下散射強(qiáng)度的角分布圖

4 結(jié)論

本文研究了均勻橢球粒子對LG光束在軸入射下的散射特性.通過局域近似法計(jì)算得到了LG光束橢球坐標(biāo)系中波束因子，仿真計(jì)算得到散射光強(qiáng)隨橢球粒子不同尺寸參數(shù)和扁圓程度的變化特性曲線.對比分析具有不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束入射下的橢球粒子的散射特性，利用入射光在粒子尺度范圍內(nèi)的能量分布特點(diǎn)解釋了兩者的區(qū)別.本文的理論成果和數(shù)值方法可作為研究基礎(chǔ)，進(jìn)一步推廣到離軸入射以及復(fù)折射率介質(zhì)橢球的電磁散射中.

圖5 散射強(qiáng)度隨入射光束不同拓?fù)浜傻淖兓€圖 (a)l=2;(b)l=3;(c)l=4

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