焦 佳，周慶健，2

(1.大連民族學院 理學院，遼寧 大連116605;2.大連理工大學 系統(tǒng)研究所，遼寧 大連116024)

多屬性決策是決策者在考慮多個屬性的情況下，對方案集進行排序并擇優(yōu)的決策問題，是現(xiàn)代決策科學的一個重要組成部分，在當今社會諸多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。一般說來，多屬性決策可分為兩個步驟:(1)獲得相應(yīng)決策信息，它一般包括兩個方面，即屬性權(quán)重和屬性值;(2)通過一定方式對決策信息進行集結(jié)并對方案集進行排序和擇優(yōu)。在多屬性決策問題中，由于決策問題的復雜性和決策者對事物判斷的不確定性，決策者常常不能給出屬性的精確數(shù)值，因此在描述不確定性信息時常采用區(qū)間數(shù)形式。所以屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題受到了眾多該研究領(lǐng)域的專家及學者的關(guān)注。當前現(xiàn)有的針對屬性值為區(qū)間數(shù)的決策方法有:可能度法、逼近理性點算法、最小偏差法、粗糙集法、概率方法和中轉(zhuǎn)算法等等［1－7］。其中文獻［1，5］對屬性值為實數(shù)的多屬性決策給出了OWA 算法，文獻［2］中應(yīng)用OWA算法解決了對共識語言模型的群決策問題，文獻［3］給出了決策對象的優(yōu)勢關(guān)系與其屬性值兩端點的實數(shù)值之和存在等價關(guān)系的論斷。

本文結(jié)合以上研究結(jié)果，對此類問題提出了一種新的更為簡潔實用的決策分析方法。首先論證決策對象的優(yōu)勢關(guān)系與其屬性值區(qū)間數(shù)的兩端點數(shù)值平均值(區(qū)間中值)存在等價關(guān)系，然后將區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題轉(zhuǎn)化為以區(qū)間中值為屬性值的決策問題，應(yīng)用OWA 算法進行方案的排序與擇優(yōu)，最后給出一個實例。

1 決策分析

1.1 區(qū)間數(shù)

1.2 區(qū)間數(shù)優(yōu)勢關(guān)系

性質(zhì)2 理想點的優(yōu)勢關(guān)系:

由此說明在決策中，決策對象的優(yōu)勢關(guān)系與決策區(qū)間屬性值的區(qū)間中值大小等價。

性質(zhì)3 (1)當且僅當由正理想點構(gòu)成的方案為最優(yōu)方案時，;

(2)當且僅當由負理想點構(gòu)成的方案為最優(yōu)方案時，

證明 (1)當U*={，，…，}為正理想點構(gòu)成的決策方案時，有，則若A?B，則，有即;同理可證(2)成立。

綜上可知，屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策對象排序時，決策對象優(yōu)勢關(guān)系大小與其屬性值區(qū)間的區(qū)間中值大小等價。從而可以把對區(qū)間數(shù)的排序問題轉(zhuǎn)化為對區(qū)間中值的排序，這種方法比較簡潔方便。

1.3 多屬性決策的有序加權(quán)平均算法(OWA 算法)

對于某一多屬性決策問題，設(shè)X=(x1，x2，…，xn)為方案集，U=(u1，u2，…，um)為屬性集。

定義6 設(shè)算子OWA:Rn→R，若OWAω(α1，α2，…，αn)=，其中ω=(ω1，ω2，…，ωn)是加權(quán)向量，ωi∈［0，1］，且=1，bj是一組數(shù)據(jù)(α1，α2，…，αn)中第j 大的元素，R 為實數(shù)集，則稱函數(shù)OWA 是有序加權(quán)平均算子，也稱OWA 算子。在此我們采用權(quán)重ω=(ω1，ω2，…，ωn)的一種常用選擇:

這樣就可以根據(jù)多屬性決策的OWA 算法進行方案集的排序和擇優(yōu)，進而解決屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題。

2 多屬性決策的OWA 算法決策步驟

綜上分析，我們應(yīng)用OWA 算法解決屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題的步驟如下:

步驟1 由決策對象優(yōu)勢關(guān)系大小與其屬性值區(qū)間的區(qū)間中值的大小等價，我們把原始決策矩陣中的每個區(qū)間［aL，aU］用區(qū)間中值來等價替換，這樣原始的有區(qū)間數(shù)構(gòu)成的決策矩陣就轉(zhuǎn)換成由實數(shù)構(gòu)成的決策矩陣A=(aij)。

步驟2 將決策信息的原始數(shù)據(jù)構(gòu)成的決策矩陣A=(aij)規(guī)范化，得到規(guī)范化矩陣R (rij)。常見的屬性類型有效益型和成本型，其中效益型屬性是越大越好，成本型屬性是越小越好。設(shè)I1，I2分別表示效益型和成本型屬性的下標集，為消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響，可對原始屬性值作如下規(guī)范化處理:

這樣就得到規(guī)范化矩陣R=(rij)。

步驟3 應(yīng)用式(1)中給出的方法確定加權(quán)向量ω=(ω1，ω2，…，ωn)，利用OWA 算法對各方案xi進行集結(jié)，求得其綜合屬性值zi(ω)=OWAω(ri1，ri2，…，rim)=，且bij是ri1，ri2，…，rim中第j 大的元素。

步驟4 按zi(ω)的大小對方案進行排序和擇優(yōu)，確定最優(yōu)方案。

3 實例分析

某投資銀行擬對某市4 家企業(yè)(方案)xi，i=1，2，3，4 進行投資，抽取下列5 項指標(屬性)進行評估:u1表示產(chǎn)值(萬元)，u2表示投資成本(萬元)，u3表示銷售額(萬元)，u4表示國家收益比重，u5表示環(huán)境污染程度。投資銀行考察了上年度4 家企業(yè)的上述指標情況，所得評估結(jié)果見表1，其中，投資成本、環(huán)境污染程度為成本型，其他3 個為效益型，屬性權(quán)重按式(1)取定，試確定最優(yōu)投資方案［1］。

表1 決策矩陣表格

步驟1 把原始決策矩陣中的每個區(qū)間數(shù)用區(qū)間中值來等價替換，得到由實數(shù)構(gòu)成的決策矩陣:

步驟2 將A=(aij)按照式(2)(3)規(guī)范化得矩陣

步驟3 按屬性權(quán)重式(1)，結(jié)合問題實際意義設(shè)α=0.6，則ω=(0.6，0.1，0.1，0.1，0.1)，利用OWA 算子對每個方案xi，i=1，2，3，4 的屬性值進行集結(jié)，求其綜合屬性值zi(ω)，i=1，2，3，4，則

步驟4 按綜合屬性值zi(ω)，i=1，2，3，4 的大小對各企業(yè)進行排序x3＞x2＞x4＞x1。

故可看出最優(yōu)企業(yè)是x3，該投資銀行可選擇第3 家企業(yè)。

4 結(jié) 語

屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題是現(xiàn)代決策科學的重要組成部分。本文針對此類多屬性決策進行了深入研究，主要做了如下3 個方面工作:(1)首先論證決策對象的優(yōu)勢關(guān)系與其屬性值區(qū)間數(shù)的區(qū)間中值存在等價關(guān)系;(2)將區(qū)間數(shù)的決策問題轉(zhuǎn)化為以區(qū)間中值為屬性值的決策問題;(3)應(yīng)用有序加權(quán)平均算法進行方案集的排序與擇優(yōu)。通過驗證表明，本文方法實用可行，較好地解決了屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題。

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