吳建成

(江蘇科技大學 數(shù)理學院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

本文所研究的初值問題[1-2]

式中:c∈R1,b=(b1,b2,…,bn)∈Rn都為常數(shù).x=(x1,x2,…,xn)為n維空間變量,t為時間變量,Du=(ux1,ux2,…,uxn),g(x)為已知函數(shù).

上述初值問題中的方程(1)是具有常系數(shù)的一階齊次線性偏微分方程.在大多數(shù)常微分方程和偏微分方程教程中,對一階偏微分方程通常都進行簡單的處理,原因之一是具有很明顯應用意義的偏微分方程，即位勢方程、熱傳導方程和波動方程等，都是標準的二階偏微分方程.實際上,一階偏微分方程在變分法、質點力學和幾何光學中都出現(xiàn)過,在流體力學、空氣動力學和其他工程技術等領域有著廣泛的應用.

一階偏微分方程的特點是:其通解可以通過解一個常微分方程組而得到,稱這種求解方法為特征線法[2-5].而高階偏微分方程和一階偏微分方程組沒有這個特點.特征線法是一種重要又實用的方法,利用該方法證明了半有界弦振動的一維半線性波動方程的間斷初邊值問題的分片光滑解的全局存在性定理[6];用該方法給出了一類倉庫貨物儲存模型解的遞推表達式,并證明其光滑性，從而得到了經典解的唯一性[7];通過運用特征線法,討論了無粘性Burgers方程柯西問題解的衰減估計,并給出了證明[8];運用特征線法給出了Born-Infeld方程的顯式表示[9]等等.特征線法除了可以運用于理論證明,也可以用于數(shù)值計算和一些實際問題的解決.

在方程(1)中,令c=0,則方程退化為齊次傳輸方程,初值問題變?yōu)閭鬏敺匠痰某踔祮栴}.傳輸方程的初值問題已經得到解決,并且得到了古典解,受其啟示,研究初值問題(1～2),通過推導來尋找該初值問題的古典解.方程(1)是一階偏微分方程的其中一種情況,因此可以利用特征線法來研究初值問題(1～2).

1 利用特征線法來求解該初值問題

下面定理理論上保證了初值問題有解的存在唯一性.

定理[2]設曲線γ:(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))光滑,且f′2+g′2≠0,在點P0=(x0,y0,z0)=(f(s0),g(s0),h(s0))處行列式

又設a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在γ附近光滑.則初值問題

在參數(shù)s=s0的某一領域內存在唯一解.稱這樣的解為局部解.

該定理可以推廣到n元函數(shù)u=u(x1,x2,…,xn)的具有如下形式的擬線性一階方程的情況.

(3)

式(3)的特征方程是常微分方程組

(4)

初值問題是要在空間Rn+1中求滿足式(3)的積分曲面z=u(x1,x2,…,xn),使之通過用參數(shù)表示的n-1維超曲面γ:

過γ上每一個具有參數(shù)(s1,s2,…,sn-1)的點做特征曲線,即求出式(4)的當t=0時，(x1,x2,…,xn,z)=(f1,f2,…,fN,h)的解

(5)

在條件

下,就能夠由式(5)前n個式子解出s1,s2,…,sn-1,t,將它們代入式(5)的第n+1個式子,就得到積分曲面z=u(x1,x2,…,xn),它就是初值問題的解.

因為線性偏微分方程可以看作是擬線性偏微分方程的特殊情況,因此由以上對方程(3)初值問題的處理,來解決初值問題(1～2).

設參數(shù)τ=0時的初始超曲面為：

γ:x1=s1,x2=s2,…xn=sn,t=0,z=g(s1,s2,…,sn).

(6)

則常微分方程組

過初始曲面(6)的解為

(7)

又在γ上

則由式(7)的前n+1個方程可以解出

代入到式(7)的第n+2個方程可得

z=u(x,t)=g(x1-b1t,…,xn-bnt)e-ct=

g(x-bt)e-ct

(8)

它就是齊次傳輸方程初值問題的解.

2 利用特征線法的一種特殊情況求解

這是一種更直接、更直觀的求解方法.設方程

ut+b·Du=0x∈Rn,t∈(0,∞)

(9)

有光滑解u(x,t).由方程的形式可以看出,u(x,t)沿一個具體方向的方向微商等于零.

事實上,固定一點(x,t)∈Rn+1,令

z(s)=u(x+bs,t+s)s∈R

于是

最后一步等于0是因為u滿足方程(9).因此,函數(shù)z(s)在過點(x,t)且具有方向(b,1)∈Rn+1的直線上取常數(shù)值.所以,如果知道解u在這條直線上一點的值,則得到它沿此直線上的值.這就引出求解初值問題(1～2)的方法.

先取定(x,t)∈Rn+1,對s∈R,令z(s)=u(x+bs,t+s),s∈R.則

-cu(x+bs,t+s)=-cz(s)

這是可分離變量的一階常微分方程,它的通解是

z(s)=ae-cs

式中a為任意常數(shù).

令s=-t,結合初值條件(2),可得

g(x-bt)=u(x-bt,0)=z(-t)=aect

由此得

a=g(x-bt)e-ct

z(s)=g(x-bt)e-cte-cs

令s=0,可得

u(x,t)=z(0)=g(x-bt)e-ct

(10)

此即所要求的初值問題的解.

3 結論

如果問題(1～2)有充分正則的解u,它一定是由式(8)給出.反之,容易驗證:如果g∈C1,那么由式(8)定義的u確實是問題(1～2)的解.

以上利用特征線法把偏微分方程轉化為常微分方程求解了初值問題(1～2),這是一種基本又重要的方法,它不僅適用于該初值問題的求解,也適用于波動方程及其他類型的偏微分方程的求解.

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