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        m階非齊次馬氏鏈關于廣義賭博系統(tǒng)的一類強極限定理

        2013-02-28 01:25:50王康康宗德才孟義平
        關鍵詞:中令馬氏馬爾可夫

        王康康,宗德才,孟義平

        (1.江蘇科技大學數(shù)理學院,江蘇鎮(zhèn)江212003)(2.常熟理工學院 計算機科學與工程學院,江蘇常熟215500)(3.上海交通大學數(shù)學系,上海200240)

        設{Xn,n≥0}為定義在概率空間(Ω,F(xiàn),P)上并于S={1,2,…,N}上取值的任意隨機變量序列,其聯(lián)合分布為

        如果{Xn,n≥0}為m階非齊次馬氏鏈,其m維初始分布與m階轉移概率分別為

        則有

        馬氏鏈的極限理論是馬爾可夫過程研究的基本領域之一.眾所周知,對齊次馬氏鏈的極限定理已經(jīng)有相當完善的結果.近幾十年來,廣大學者對非齊次馬氏鏈的極限理論和遍歷性展開了大量研究,取得了深入的結果.如文獻[1]中討論了可列非齊次馬氏鏈相對頻率的兩個不等式;文獻[2]中討論了可列非齊次馬氏鏈泛函的一類強極限定理;文獻[3-4]中研究了非齊次馬氏鏈的漸近均勻分割性及Shannon-Mcmillan定理;文獻[5]中研究了非齊次馬氏鏈隨機轉移概率的強極限定理;最近,文獻[6]中也對非齊次馬氏鏈隨機和的強偏差定理作了一些研究.

        高階馬爾可夫鏈是一般馬爾可夫鏈概念的自然推廣,隨著馬氏鏈理論的不斷發(fā)展和應用,人們對高階馬爾可夫鏈的理論和應用也越來越有興趣,如信息論中關于Shannon-McMillan定理的研究便是其核心問題之一.而高階馬爾可夫鏈也是一類非常重要的信源,如語聲,電視信號等往往都是高階馬爾可夫信源.因此,研究高階馬爾可夫鏈的強極限理論具有非常廣泛的理論和實際意義.文獻[7]中首先研究了二重非齊次馬氏鏈泛函關于可預報序列的若干極限定理及AEP性質;文獻[8]中討論了m階非齊次馬氏鏈的一些Shannon-Mcmillan定理;其后,文獻[9]又對m階非齊次馬氏鏈的一類Shannon-Mcmillan隨機偏差定理做了進一步討論.

        文中采用條件矩母函數(shù)與構造非負鞅相結合的方法,研究m階非齊次馬氏鏈多元函數(shù)關于廣義賭博系統(tǒng)的一類強極限定理.通過允許選擇函數(shù)在任意區(qū)間中取值,推廣了隨機選擇的概念.作為推論得到了一般情況下m階非齊次馬氏鏈多元函數(shù)的強極限定理以及m元狀態(tài)序組關于廣義隨機賭博系統(tǒng)的一類強極限定理.

        定義 給出廣義隨機選擇的概念,即對于一組定義在 Sn(n=1,2,…)上并取值于任意區(qū)間[a,b](a,b∈R)的非負實值函數(shù)列 fn(x0,…,xn).令

        那么 fn(x0,…,xn)稱為選擇函數(shù),{Yn,n≥0}稱為廣義賭博系統(tǒng)或廣義隨機選擇系統(tǒng)(傳統(tǒng)的隨機選擇系統(tǒng)取值于兩點集{0,1}).

        1 主要結果

        定理1 設{Xn,n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.{Yn,n≥0}如前定義.g(x0,…,xm)為定義在 Sm+1上的任意實值函數(shù).如果選擇函數(shù)fn(n≥m)均在任意有限區(qū)間[a,b]中取值,

        則有

        證明:考慮概率空間(Ω,F(xiàn),P),設s>0為常數(shù).令

        Pk(s,xk-m,…,xk-1)稱為在條件 Xk-m=xk-m,…,Xk-1=xk-1下 Ykg(Xk-m,…,Xk)的條件矩母函數(shù).

        由式(9~11)可知

        則 q(s,x0,…,xn),n=1,2,…是 Sn上的一組相容分布.令

        由于{Tn(s,ω),n≥1}是 a.s.收斂的非負上鞅,故由 Doob鞅收斂定理[10]有

        因而由式(7)有

        由式(4,10~11,13)有

        由式(15,16)有

        根據(jù)上極限的性質

        并注意到 G=max{|a|,|b|},存在,且|Yk|≤G,M=max{g(x0…xm),x0…xm∈S},由式(17)有

        a.s.ω∈D (20)

        設s>1,由式(20)有

        取si>1,i=1,2,…,使si→1(i→∞ 時),則對所有的i,由式(21)有

        設0<s<1,由式(20)有

        取0 <si<1,i=1,2,…,使si→1(i→∞時),那么對所有 i,由式(23)有

        于是由式(22,24)有

        即證式(8)成立.

        推論1 設{Xn,n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.g(x0,…,xm)如定理1中所定義.則有

        證明:在定理1中令 fn≡1,則 Yn≡1,.即有 D=Ω.

        于是由式(8)即可得式(26).

        2 m元序組關于賭博系統(tǒng)的若干強極限定理

        設σn(i0,…,im)表示被選擇函數(shù) Yk(m≤k≤n)選出的m+1元序組的序列(X0,…,Xm),(X1,…,Xm+1),…,(Xn-m,…,Xn)中 (i0,…,im)出現(xiàn)的次數(shù).即

        式中:

        則有如下結論:

        定理2 設{Xn,n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉移概率(3)的非齊次m階馬氏鏈.σn(i0,…,im),{Yn,n≥0}如前定義.則有證明:在定理 1 中令 g(Xk-m,…,Xk)=

        δi0…im(Xk-m,…,Xk),注意到

        n

        于是由式(28,8)即可得(27)成立.

        推論2設{Xn,n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.設Sn(i0,…,im)表示(i0,…,im)在 m+1 元序組(X0,…,Xm),(X1,…,Xm+1),…,(Xn-m,…,Xn)中出現(xiàn)的次數(shù).即

        則有

        證明:在定理2 中令Yn≡1,即有 σn(i0,…,im)=Sn(i0,…,im),D=Ω.由式(27)便可得式(30)成立.

        定理3 設{Xn,n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.{Yn,n≥1}如上定義.記 σn(im)為隨機選擇系統(tǒng)Yk(0≤k≤n)選出的隨機序列(X0,…,Xn)中狀態(tài)im出現(xiàn)的次數(shù).即).則有

        證明:在定理 1 中令 g(Xk-m,…,Xk)=δim(Xk),注意到

        于是由式(8,32)可得式(31)成立.

        推論3 設{Xn,n≥0}如定理2所定義.記Sn(im)為狀態(tài)im在隨機序列(X0,…,Xn)中出現(xiàn)的次數(shù).即.則有

        證明:在定理3中令 Yn≡1,n≥0.即有σn(im)=Sn(im),D=Ω.于是由式(31)即可得式(33)成立.

        References)

        [1]Liu Wen.A strong limit theorem for arbitrary countable nonhomogeneous Markov chains[J].Chinese J Math,1996,24(3):211 -232.

        [2]Liu Wen,Liu Guoxin.A class of strong laws for for functions of countable nonhomogeneous Markov chains[J].Stat Probab Letts,1995(22):87 -96.

        [3]劉文,楊衛(wèi)國.關于非齊次馬氏信源的漸近均分割性[J].應用概率統(tǒng)計,1997,13(4):359 -366.Liu Wen,Yang Weiguo.The asymptotic equipartition property for the nonhomogeneous Markov chain[J].Chinese Journal of Probability and Statistics,1997,13(4):359 -366.(in Chinese)

        [4]Liu Wen,Yang Weiguo.An extension of Shannon - Mcmillan theorem and some limit properties for nonhomogeneous Markov chains[J].Stochastic Process Appl,1996,61:129-145

        [5]Liu Wen.A strong limit theorem for the harmonic mean of the random transition probabilities of finite nonhomogeneous Markov chains[J].Acta Math Sci,2000,20(1):81-84.

        [6]Wang Kangkang,Chen Qing.A class of random approximation theorems for random sums of arbitrary stochastic sequence on nonhomogeneous Markov chains[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,2009,29(6):1022-1028.

        [7]Wang Zhongzhi,Yang Weiguo.Some strong limit theorems for both nonhomogeneous Markov chains of order two and their random transforms[J].J Sys Sci & Math Scis,2004,24(4):451 -462.

        [8]王康康,李芳.m階非齊次馬氏信源的一類Shannon-Mcmillan定理[J].江蘇科技大學學報:自然科學版,2009,23(2):176-178.Wang Kangkang,Li Fang.A class of Shannon-Mcmillan theormes for mth-order nonhomogeneous Markov information source[J].Journal of Jiangsu University of Science and Technology:Natural Science Edition,2009,23(2)176 -178.(in Chinese)

        [9] Wang Kangkang.Some research on Shannon-McMillan theorem for mth-order nonhomogeneous Markov information source[J].Stochastic Analysis and Applications,2009,27(6):1117 -1128.

        [10]Chung K L.A course in probability theory[M].2nd.New York:Academic Press,1974:354.

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