王康康，宗德才，孟義平

(1.江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)(2.常熟理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇常熟215500)(3.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海200240)

設(shè){Xn，n≥0}為定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上并于S={1，2，…，N}上取值的任意隨機(jī)變量序列，其聯(lián)合分布為

如果{Xn，n≥0}為m階非齊次馬氏鏈，其m維初始分布與m階轉(zhuǎn)移概率分別為

則有

馬氏鏈的極限理論是馬爾可夫過程研究的基本領(lǐng)域之一.眾所周知，對齊次馬氏鏈的極限定理已經(jīng)有相當(dāng)完善的結(jié)果.近幾十年來，廣大學(xué)者對非齊次馬氏鏈的極限理論和遍歷性展開了大量研究，取得了深入的結(jié)果.如文獻(xiàn)［1］中討論了可列非齊次馬氏鏈相對頻率的兩個(gè)不等式;文獻(xiàn)［2］中討論了可列非齊次馬氏鏈泛函的一類強(qiáng)極限定理;文獻(xiàn)［3-4］中研究了非齊次馬氏鏈的漸近均勻分割性及Shannon-Mcmillan定理;文獻(xiàn)［5］中研究了非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率的強(qiáng)極限定理;最近，文獻(xiàn)［6］中也對非齊次馬氏鏈隨機(jī)和的強(qiáng)偏差定理作了一些研究.

高階馬爾可夫鏈?zhǔn)且话泷R爾可夫鏈概念的自然推廣，隨著馬氏鏈理論的不斷發(fā)展和應(yīng)用，人們對高階馬爾可夫鏈的理論和應(yīng)用也越來越有興趣，如信息論中關(guān)于Shannon-McMillan定理的研究便是其核心問題之一.而高階馬爾可夫鏈也是一類非常重要的信源，如語聲，電視信號(hào)等往往都是高階馬爾可夫信源.因此，研究高階馬爾可夫鏈的強(qiáng)極限理論具有非常廣泛的理論和實(shí)際意義.文獻(xiàn)［7］中首先研究了二重非齊次馬氏鏈泛函關(guān)于可預(yù)報(bào)序列的若干極限定理及AEP性質(zhì);文獻(xiàn)［8］中討論了m階非齊次馬氏鏈的一些Shannon-Mcmillan定理;其后，文獻(xiàn)［9］又對m階非齊次馬氏鏈的一類Shannon-Mcmillan隨機(jī)偏差定理做了進(jìn)一步討論.

文中采用條件矩母函數(shù)與構(gòu)造非負(fù)鞅相結(jié)合的方法，研究m階非齊次馬氏鏈多元函數(shù)關(guān)于廣義賭博系統(tǒng)的一類強(qiáng)極限定理.通過允許選擇函數(shù)在任意區(qū)間中取值，推廣了隨機(jī)選擇的概念.作為推論得到了一般情況下m階非齊次馬氏鏈多元函數(shù)的強(qiáng)極限定理以及m元狀態(tài)序組關(guān)于廣義隨機(jī)賭博系統(tǒng)的一類強(qiáng)極限定理.

定義 給出廣義隨機(jī)選擇的概念，即對于一組定義在 Sn(n=1，2，…)上并取值于任意區(qū)間［a，b］(a，b∈R)的非負(fù)實(shí)值函數(shù)列 fn(x0，…，xn).令

那么 fn(x0，…，xn)稱為選擇函數(shù)，{Yn，n≥0}稱為廣義賭博系統(tǒng)或廣義隨機(jī)選擇系統(tǒng)(傳統(tǒng)的隨機(jī)選擇系統(tǒng)取值于兩點(diǎn)集{0，1}).

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè){Xn，n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉(zhuǎn)移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.{Yn，n≥0}如前定義.g(x0，…，xm)為定義在 Sm+1上的任意實(shí)值函數(shù).如果選擇函數(shù)fn(n≥m)均在任意有限區(qū)間［a，b］中取值，

則有

證明:考慮概率空間(Ω，F(xiàn)，P)，設(shè)s＞0為常數(shù).令

Pk(s，xk-m，…，xk-1)稱為在條件 Xk-m=xk-m，…，Xk-1=xk-1下 Ykg(Xk-m，…，Xk)的條件矩母函數(shù).

令

由式(9～11)可知

則 q(s，x0，…，xn)，n=1，2，…是 Sn上的一組相容分布.令

由于{Tn(s，ω)，n≥1}是 a.s.收斂的非負(fù)上鞅，故由 Doob鞅收斂定理［10］有

因而由式(7)有

由式(4，10～11，13)有

由式(15，16)有

根據(jù)上極限的性質(zhì)

并注意到 G=max{|a|，|b|}，存在，且|Yk|≤G，M=max{g(x0…xm)，x0…xm∈S}，由式(17)有

a.s.ω∈D (20)

設(shè)s＞1，由式(20)有

取si＞1，i=1，2，…，使si→1(i→∞ 時(shí))，則對所有的i，由式(21)有

設(shè)0＜s＜1，由式(20)有

取0 ＜si＜1，i=1，2，…，使si→1(i→∞時(shí))，那么對所有 i，由式(23)有

于是由式(22，24)有

即證式(8)成立.

推論1 設(shè){Xn，n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉(zhuǎn)移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.g(x0，…，xm)如定理1中所定義.則有

證明:在定理1中令 fn≡1，則 Yn≡1，.即有 D=Ω.

于是由式(8)即可得式(26).

2 m元序組關(guān)于賭博系統(tǒng)的若干強(qiáng)極限定理

設(shè)σn(i0，…，im)表示被選擇函數(shù) Yk(m≤k≤n)選出的m+1元序組的序列(X0，…，Xm)，(X1，…，Xm+1)，…，(Xn-m，…，Xn)中 (i0，…，im)出現(xiàn)的次數(shù).即

式中:

則有如下結(jié)論:

定理2 設(shè){Xn，n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉(zhuǎn)移概率(3)的非齊次m階馬氏鏈.σn(i0，…，im)，{Yn，n≥0}如前定義.則有證明:在定理 1 中令 g(Xk-m，…，Xk)=

δi0…im(Xk-m，…，Xk)，注意到

n

于是由式(28，8)即可得(27)成立.

推論2設(shè){Xn，n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉(zhuǎn)移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.設(shè)Sn(i0，…，im)表示(i0，…，im)在 m+1 元序組(X0，…，Xm)，(X1，…，Xm+1)，…，(Xn-m，…，Xn)中出現(xiàn)的次數(shù).即

則有

證明:在定理2 中令Yn≡1，即有 σn(i0，…，im)=Sn(i0，…，im)，D=Ω.由式(27)便可得式(30)成立.

定理3 設(shè){Xn，n≥0}為具有m維初始分布(2)與m階轉(zhuǎn)移概率(3)的m階非齊次馬氏鏈.{Yn，n≥1}如上定義.記 σn(im)為隨機(jī)選擇系統(tǒng)Yk(0≤k≤n)選出的隨機(jī)序列(X0，…，Xn)中狀態(tài)im出現(xiàn)的次數(shù).即).則有

證明:在定理 1 中令 g(Xk-m，…，Xk)=δim(Xk)，注意到

于是由式(8，32)可得式(31)成立.

推論3 設(shè){Xn，n≥0}如定理2所定義.記Sn(im)為狀態(tài)im在隨機(jī)序列(X0，…，Xn)中出現(xiàn)的次數(shù).即.則有

證明:在定理3中令 Yn≡1，n≥0.即有σn(im)=Sn(im)，D=Ω.于是由式(31)即可得式(33)成立.

References)

［1］Liu Wen.A strong limit theorem for arbitrary countable nonhomogeneous Markov chains［J］.Chinese J Math，1996，24(3):211 -232.

［2］Liu Wen，Liu Guoxin.A class of strong laws for for functions of countable nonhomogeneous Markov chains［J］.Stat Probab Letts，1995(22):87 -96.

［3］劉文，楊衛(wèi)國.關(guān)于非齊次馬氏信源的漸近均分割性［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1997，13(4):359 -366.Liu Wen，Yang Weiguo.The asymptotic equipartition property for the nonhomogeneous Markov chain［J］.Chinese Journal of Probability and Statistics，1997，13(4):359 -366.(in Chinese)

［4］Liu Wen，Yang Weiguo.An extension of Shannon - Mcmillan theorem and some limit properties for nonhomogeneous Markov chains［J］.Stochastic Process Appl，1996，61:129-145

［5］Liu Wen.A strong limit theorem for the harmonic mean of the random transition probabilities of finite nonhomogeneous Markov chains［J］.Acta Math Sci，2000，20(1):81-84.

［6］Wang Kangkang，Chen Qing.A class of random approximation theorems for random sums of arbitrary stochastic sequence on nonhomogeneous Markov chains［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2009，29(6):1022-1028.

［7］Wang Zhongzhi，Yang Weiguo.Some strong limit theorems for both nonhomogeneous Markov chains of order two and their random transforms［J］.J Sys Sci ＆ Math Scis，2004，24(4):451 -462.

［8］王康康，李芳.m階非齊次馬氏信源的一類Shannon-Mcmillan定理［J］.江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，23(2):176-178.Wang Kangkang，Li Fang.A class of Shannon-Mcmillan theormes for mth-order nonhomogeneous Markov information source［J］.Journal of Jiangsu University of Science and Technology:Natural Science Edition，2009，23(2)176 -178.(in Chinese)

［9］ Wang Kangkang.Some research on Shannon-McMillan theorem for mth-order nonhomogeneous Markov information source［J］.Stochastic Analysis and Applications，2009，27(6):1117 -1128.

［10］Chung K L.A course in probability theory［M］.2nd.New York:Academic Press，1974:354.