廖敬波，唐光武，孟利波，鄭 罡

(重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司 橋梁工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067)

固結(jié)拉索的一種近似頻率計(jì)算公式

廖敬波，唐光武，孟利波，鄭 罡

(重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司 橋梁工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067)

在固結(jié)索力識(shí)別的復(fù)雜過程中，頻率方程中的雙曲線函數(shù)項(xiàng)有可能造成數(shù)據(jù)溢出等病態(tài)問題。為了克服該數(shù)值問題和簡化索力識(shí)別，利用雙曲線函數(shù)和三角函數(shù)的數(shù)值特性，對雙曲線函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行近似處理，得出簡化的近似頻率方程，并利用近似頻率方程為周期函數(shù)的特點(diǎn)，推導(dǎo)了固結(jié)拉索的近似頻率公式，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了近似頻率公式的合理性和可靠性。

固結(jié)拉索;近似頻率方程;近似頻率公式

為了掌握索纜承重體系在建造和運(yùn)營過程中的實(shí)際受力狀況，必須全面了解承重體系中所有拉索的實(shí)際受力情況。因此，準(zhǔn)確測量拉索的索力具有十分重要的實(shí)際工程背景。同時(shí)，橋梁檢測工程師也迫切需要一種既快捷又可靠的測量方法對大規(guī)模的拉索進(jìn)行高效的檢測，其中振動(dòng)測試法是拉索索力測試中應(yīng)用最廣泛的方法之一，該方法主要是用實(shí)際測試的固有頻率對拉索索力等相關(guān)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，該方法具有測試方便、測量精度高等優(yōu)點(diǎn)，適合于大規(guī)模的拉索索力測試。由于拉索的固有頻率不僅受到拉索索力影響，而且還受拉索彎曲剛度、傾角、垂跨比和邊界條件等因素的影響［1－5］。

鉸支拉索的索力公式將彎曲剛度、索力、索長、密度等參數(shù)用簡潔的解析式表示出來，便于實(shí)際工程中的推廣運(yùn)用，而考慮彎曲剛度的固結(jié)拉索的特征方程為超越方程，為了獲取拉索的索力，需要采用非線性數(shù)值方法進(jìn)行求解，整個(gè)求解過程十分繁瑣，不利于在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。Hiroshi等［1］引入無量綱參數(shù) ξ，對固結(jié)拉索的頻率方程進(jìn)行近似處理，給出了索力的近似表示式;文獻(xiàn)［2］推導(dǎo)出了考慮吊桿兩端彈性支承、附加質(zhì)量影響的吊桿張力與其橫向振動(dòng)頻率的隱式表達(dá)式;張巍等［3］研究了索力較小、垂度較大情況下的索力計(jì)算方法，并提出了斜拉索的實(shí)用索力計(jì)算方法;林立等［4］直接根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，對固支拉索的頻率方程進(jìn)行了簡化處理，得到了簡化的頻率方程;文獻(xiàn)［5］也對頻率方程進(jìn)行了簡化處理，近似結(jié)果與文獻(xiàn)［4］一致，并根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，給出了近似方程的求解條件。但以上兩篇文獻(xiàn)均未對近似頻率方程進(jìn)行嚴(yán)格的推導(dǎo)，也未給出近似頻率方程的近似解。文獻(xiàn)［6］在推導(dǎo)過程中，考慮了彎曲剛度、邊界條件等參數(shù)的影響，忽略拉索傾角、垂跨比和剪切效應(yīng)等因素的影響，利用頻率方程中雙曲線函數(shù)和三角函數(shù)的數(shù)值特性，對固結(jié)拉索近似頻率方程的簡化處理過程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)。然后，利用Rayleigh定理和鉸支拉索的頻率公式對近似頻率方程的求解條件進(jìn)行了討論。近似頻率方程避免了在固結(jié)拉索求解頻率過程中出現(xiàn)的“數(shù)據(jù)溢出”等數(shù)值病態(tài)問題，但是仍需要求解一個(gè)含有正切函數(shù)的超越方程，不便于在實(shí)際工程中的推廣運(yùn)用。因此，本文在文獻(xiàn)［6］的各種假設(shè)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)固結(jié)拉索的頻率計(jì)算公式及其求解條件，為固結(jié)拉索頻率公式的簡潔化、實(shí)用化提供一條有效的途徑。

1 固結(jié)拉索頻率特征方程

式中：EI為拉索的彎曲剛度;T為拉索的索力;ρA為拉索的線密度，y(x，t)為拉索各點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移函數(shù)。

利用變量分離技術(shù)對微分方程(1)進(jìn)行求解，y(x，t)可分解為時(shí)間函數(shù)與空間函數(shù)間的乘積關(guān)系，即

設(shè) α2=T/EI，k4= ω2ρA/EI，將式(2)代入到式(1)，得到方程：

式中：c1，c2，c3，c4為待定常數(shù)，由邊界條件確定;通解中的 λ1和 λ2分別為：

2 固結(jié)拉索頻率特征方程的近似方程

固結(jié)拉索的頻率方程式(8)為超越方程，主要由雙曲線函數(shù) sh(λ2l)、ch(λ2l)和三角函數(shù) sin(λ1l)、cos(λ1l)組成。利用雙曲線函數(shù)為非負(fù)的單調(diào)遞增函數(shù)和三角函數(shù)為周期函數(shù)，取值在［－1，1］間，將(8)式進(jìn)行等價(jià)處理，得到：

引入控制參數(shù)β，其含義是：當(dāng)x＞β時(shí)，方程(9)中的1.00/chx≈0.00和shx/chx≈1.00均近似成立。例如，當(dāng) β =10.00 時(shí)，1.00/chβ≈0.00，chβ =11 013.23，shβ/chβ≈1.00。

文獻(xiàn)［6］利用Rayleigh定理和鉸支索的頻率公式對方程(11)和(12)的成立條件進(jìn)行了詳細(xì)討論，導(dǎo)出控制參數(shù)β的取值范圍為：

β可取求解條件的下確界。若αl=0.00，討論β的取值：

(1)當(dāng)頻率階數(shù)i=1，該式的下確界可近似取常數(shù)π，即控制參數(shù)β的參考值為π，與雙曲線函數(shù)相關(guān)項(xiàng)的取值為：1.0/chπ≈0.086 3，shx/chπ≈1.000。若β=π使得式(10)對所有頻率方程均滿足精度要求，則式(9)表示的頻率方程可用式(10)進(jìn)行近似求解。

(2)若拉索基頻不作為計(jì)算頻率，則頻率階數(shù)可從第2階開始，則控制參數(shù)β可近似取2π，與雙曲線函數(shù)相關(guān)項(xiàng)的取值為：1.0/ch2π≈0.003 7，sh2π/ch2π≈1.000，用式(10)求解拉索頻率，計(jì)算精度滿足工程要求。

(3)以上兩種情況均假設(shè)αl=0.00，實(shí)際拉索中的αl值是一個(gè)非負(fù)數(shù)。因此，式(9)中λ2l的取值始終大于π，即與雙曲線函數(shù)相關(guān)項(xiàng)的取值應(yīng)有關(guān)系式：1.0/ch(λ2l)＜0.086 3，0.00 ＜sh(λ2l)/ch(λ2l)＜1.00，用式(10)進(jìn)行頻率求解，其求解頻率的精度將會(huì)更高。

3 求解近似頻率方程

等式(12)仍是一個(gè)含正切函數(shù)的超越方程，注意到等式左端項(xiàng)為λ1l的周期函數(shù)，右端項(xiàng)為λ1的單調(diào)遞增函數(shù)，將等式左右端的函數(shù)關(guān)系式表示出來，如圖1所示。

從圖1中可以看出，隨著頻率階數(shù)i的逐步升高，等式兩側(cè)函數(shù)間交點(diǎn)位置逐漸趨近于與其鄰近的漸近線：(i+1/2)π(i=1，2，…)，且交點(diǎn)位置始終大于 iπ。因此，在一定的精度范圍內(nèi)，可以近似地用漸近線來代替左右兩側(cè)方程(L－方程和R－方程)交點(diǎn)位置，即則將式(4)代入式(14)，得到

圖1 近似頻率方程左右兩端方程隨λ1變化情況Fig.1 Relationship of the left and right function of the approximate frequency function with λ1

式(15)與鉸支索的頻率公式非常相似，除頻率階數(shù)i用(i+1/2)代替外，其余部分均相同。

類似于近似頻率方程的控制參數(shù)β，式(14)成立條件，也可用一個(gè)參數(shù)δ來控制，注意到等式(12)的右端取值越大，則等式(14)求解精度越高。若等式(12)的右端項(xiàng)大于某個(gè)控制參數(shù)δ時(shí)，則近似解滿足要求，即

同理，利用鉸支索的頻率公式進(jìn)行不等式的縮放處理，可得到控制參數(shù)δ的取值范圍，即為

從式(17)可以看出，在低頻段，αl影響控制參數(shù)δ的取值，隨著頻率階數(shù)i的升高，頻率階數(shù)i逐漸起主導(dǎo)作用，則控制參數(shù)δ的取值也就越容易滿足，即在高頻段的計(jì)算精度必高于低頻段。

4 數(shù)值算例研究

分別用頻率方程、近似頻率方程和近似頻率公式求解兩根固結(jié)拉索的頻率值來研究近似頻率公式的求解誤差。

第一根固結(jié)拉索在數(shù)值設(shè)計(jì)上盡可能地使控制參數(shù)β接近于π，設(shè)彎曲剛度EI：1.0e7 N·m2，索長l：4.0 m，索力 T：200.0 kN，線密度 ρA：25.0 kg·m－1，近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程之間的對比分析情況見表1所示。

從表1可以看出，頻率方程和近似頻率方程求解得到的頻率值非常接近于近似頻率公式得到的頻率值;在第1階頻率處，近似頻率公式與頻率方程之間的相對誤差絕對值達(dá)到最大，為 －0.43%，這是由于(αl)2取值較小，式(17)在低頻段就能滿足要求，而且隨著頻率階數(shù)的升高，相對誤差值也將進(jìn)一步減小，表明近似頻率公式求解的頻率值越來越接近于頻率方程所得到的頻率值。

第二根固結(jié)拉索采用文獻(xiàn)［8］中提供的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行求解，拉索的彎曲剛度EI：2.67e5 N·m2，索長l：8.21 m，索力 T：574.31 kN，線密度 ρA：24.0 kg·m－1，近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程之間的對比分析情況見表2所示。

表1 近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程對比分析Tab.1 Comparing the approximate frequency formula with the frequency function，the approximate frequency function

表2 近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程對比分析Tab.2 Comparing the approximate frequency formula with the frequency function，the approximate frequency function

從表2可以看出，頻率方程與近似頻率方程間的頻率值幾乎一致，而頻率方程與近似頻率公式間的相對誤差在第1階頻率處達(dá)到30.1%，這是由于在低頻段，近似頻率公式的求解精度受(αl)2的影響較大，而其值達(dá)到18.75;然而隨著頻率階數(shù)i的逐步升高，頻率階數(shù)i在式(17)中起主導(dǎo)作用，進(jìn)而兩者間的相對誤差將會(huì)逐步降低，在第4階頻率處，兩者間的相對誤差降為3.17%，已滿足工程精度的要求。

5 結(jié)論

［1］ Zui H，Shinke T，Namita Y.Practical formulas for estimation cable tension by vibration method［J］.ASCE Journal of Structural Engineering，1996，122(6)：651 －656.

［2］何 偉，陳 淮，王 博.復(fù)雜邊界條件下基于頻率法的吊桿張力測定研究［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2012，45(3)：93－98.

HE Wei，CHEN Huai，WANG Bo.Study of suspender tension measurementbased on frequency method with complex boundary conditions［J］.China Civil Engineering Journal，2012，45(3)：93 －98.

［3］張 巍，王廣政，孫永明.考慮抗彎剛度的斜拉索頻率與索力分析［J］.公路交通科技，2012，29(7)：64 －69，75.

ZHANG Wei， WANG Guang－zheng， SUN Yong－ming.Analysis on frequency and force of stay cable considering flexural rigidity［J］.Journal of Highway and Transportation Research and Development，2012，29(7)：64 －69，75.

［4］林 立，李胡生，瞿志豪，等.考慮剛度及固支邊界條件的實(shí)用索力求解方法與試驗(yàn)研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(7)：221 －227，247.

LIN Li，LI Hu－sheng，QU Zhi－h(huán)ao，et al.Practical solution method and experimental study on cable tension considering cable stiffness and fixed boundary condition［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(7)：221 －227，247.

［5］應(yīng)懷樵.現(xiàn)代振動(dòng)與噪聲技術(shù)(第10卷)［M］.北京：航空工業(yè)出版社，2012.

［6］廖敬波，唐光武，孟利波，等.固結(jié)拉索的近似頻率方程及其求解條件討論［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，32(S)：48－51.

LIAO Jing－bo，TANG Guang－wu，MENG Li－bo，etal.Discussion on approximate frequency function and its solving condition of clamped cable［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，32(S)：48 －51.

［7］徐霞飛，任偉新.邊界條件對吊桿索力估算的影響［J］.鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2008，5(6)：26－31.

XU Xia－fei，REN Wei－xin.Effect of boundary conditions on the estimation of suspender tension［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2008，5(6)：26 －31.

［8］劉文峰，應(yīng)懷樵，柳春圖.考慮剛度及邊界條件的索力精確求解［J］. 振動(dòng)與沖擊，2003，22(4)：12－24，25.

LIU Wen－feng，YING Huai－qiao，LIU Chun－tu.Precise solution of cable tensile force in consideration of cable stiffness and its boundary conditions［J］.Journal of Vibration and Shock，2003，22(4)：12 －24，25.

Approximate frequency calculation method for clamped cables

LIAO Jing－bo，TANG Guang－wu，MENG Li－bo，ZHENG Gang
(State Key Laboratory of Bridge Engineering Structural Dynamics，Chongqing Communications Research＆ Design Institute，Chongqing 400067，China)

In the complex process of identifying the cable tension of clamped cables，the data overflow may be caused by the exponential function terms in the frequency equation.In order to handle the numerical problem and simplify the identification of cable tension，the exponential functions were approximated according to the numerical properties of exponential and trigonometric functions.The approximate frequency equation was deduced and the frequency expression of clamped cables was constructed using the periodicity of the equation.Some numerical examples verify the rationality and realibility of the approximate frequency formula.

clamped cable;approximate frequency equation;approximate frequency formula

U446.1;O327

A

重慶市杰出青年科技基金項(xiàng)目(2008BA6039)

2012－07－26 修改稿收到日期：2012－09－19

廖敬波 男，碩士，助理研究員，1980年10月生