張香成，徐趙東，冉成崧，朱俊濤

(1.東南大學(xué) 混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096;2.四川省建筑設(shè)計(jì)院，成都 610017)

基于桿系模型的磁流變阻尼結(jié)構(gòu)彈塑性動(dòng)力反應(yīng)分析

張香成1，徐趙東1，冉成崧2，朱俊濤1

(1.東南大學(xué) 混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096;2.四川省建筑設(shè)計(jì)院，成都 610017)

磁流變阻尼器(MRD)是一種性能優(yōu)越的半主動(dòng)控制裝置。首先推導(dǎo)了設(shè)置有MRD框架結(jié)構(gòu)中MRD的位置矩陣，然后將框架結(jié)構(gòu)簡化為桿系模型，用MATLAB編制了加入MRD的框架結(jié)構(gòu)的彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析程序，分別計(jì)算并對比了框架結(jié)構(gòu)在未控和有控下各層的位移、加速度響應(yīng)和各桿端塑性鉸分布情況。結(jié)果表明，設(shè)置MRD的框架結(jié)構(gòu)各層位移和加速度響應(yīng)顯著減小，其中位移的減震效果優(yōu)于加速度的減震效果，同時(shí)桿件屈服數(shù)量相應(yīng)減少。

磁流變阻尼器;桿系模型;彈塑性;動(dòng)力分析;框架結(jié)構(gòu)

磁流變阻尼器(MRD)是應(yīng)用磁流變液在磁場下的快速可逆流變特性而制造的一種新型振動(dòng)控制裝置，它具有功耗小、響應(yīng)快、連續(xù)可調(diào)和阻尼力大等特點(diǎn)，因此在振動(dòng)控制領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。目前，MRD的主要研究內(nèi)容包括其性能［1－2］、力學(xué)模型和利用MRD減振的控制算法的研究［3］，并已取得了很多成果。盡管如此，MRD在框架結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用還很少，對裝有MRD的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析的研究還不太深入，大多數(shù)彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析仍是建立在層間模型的基礎(chǔ)之上，該模型不能描述結(jié)構(gòu)各桿件開裂、屈服順序以及逐桿破壞的程度與過程，不能判斷整體結(jié)構(gòu)塑性變形集中部位、薄弱環(huán)節(jié)及可能的破壞類型，其分析模型的精確性有待于進(jìn)一步完善。

為此，本文將裝有MRD的框架結(jié)構(gòu)簡化為桿系模型，推導(dǎo)了MRD的位置矩陣，用MATLAB編制了磁流變阻尼框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)彈塑性動(dòng)力分析程序，對設(shè)置有MRD的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了彈塑性地震反應(yīng)分析，并對結(jié)構(gòu)的減振效果進(jìn)行了比較。

1 原理與公式

1.1 MRD及其力學(xué)模型

研究對象為課題組自制的MRD［4］，如圖1所示。

圖1 MRD裝配圖Fig.1 Assembly diagram of MRD

采用Bingham模型作為該MRD的力學(xué)模型：

式中，F(xiàn)y為可控庫倫阻尼力，C0為粘滯阻尼系數(shù)為活塞桿運(yùn)動(dòng)速度。

為使模型在改變電流時(shí)仍然有效，可將模型參數(shù)與電流之間的關(guān)系取為：

根據(jù)文獻(xiàn)［4］的試驗(yàn)結(jié)果，式(2)中各參數(shù)值為：

1.2 安裝MRD結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程

在地震作用下，安裝MRD結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，［M］、［C］和［K］分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣，x為受控結(jié)構(gòu)體系的位移為地震加速度，{I}為單位列向量，F(xiàn)為阻尼器的控制力向量，［H］為阻尼器的位置矩陣。

1.3 基于線性最優(yōu)控制算法(LQR)的半主動(dòng)控制策略

在結(jié)構(gòu)減振控制中，線性最優(yōu)控制算法［5－7］被廣泛用于計(jì)算MRD的最優(yōu)控制力，LQR的目標(biāo)函數(shù)為：

式中：G為反饋增益矩陣。最優(yōu)控制的效果與Q、R矩陣中 α、β 的選取有關(guān)［6］。

由于MRD是通過調(diào)整磁場強(qiáng)度來調(diào)整阻尼力，它不可能在任意瞬間都達(dá)到式(5)中的最優(yōu)控制力，而只能通過調(diào)整MRD的參數(shù)使它所產(chǎn)生的阻尼力向最優(yōu)控制力靠近。本文調(diào)整MRD參數(shù)的半主動(dòng)控制策略為［4］：

式中，F(xiàn)i，min和 Fi，max分別為磁場為零和磁場為最大時(shí)第i個(gè)MRD所產(chǎn)生的阻尼力，ui和分別為第i個(gè)MRD所產(chǎn)生的位移和速度，F(xiàn)i為第i個(gè)MRD所產(chǎn)生的控制力，Ui為由式(5)確定的第i個(gè)MRD的最優(yōu)控制力。

圖2 阻尼器出力位置示意圖Fig.2 The location diagram of the damper force

1.4 MRD位置矩陣的確定

圖2為MRD在框架中的位置示意圖，在由LQR控制算法及控制策略確定MRD所應(yīng)施加的控制力向量F(t)以后，需通過位置矩陣H將阻尼器的控制力向量分配到框架的節(jié)點(diǎn)上，此時(shí)阻尼器的出力和相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上的作用力有以下關(guān)系：

為使阻尼器的控制力向量分配到框架的節(jié)點(diǎn)上，位置矩陣H應(yīng)是一個(gè)(n×m)的矩陣，其中n表示結(jié)構(gòu)所有自由度的個(gè)數(shù)，m表示阻尼器的個(gè)數(shù)。則位置矩陣中對應(yīng)于節(jié)點(diǎn) i，i+1和第 k個(gè)阻尼器的元素為H(i，k)=H(i+1，k)=1/2;對應(yīng)于節(jié)點(diǎn) i+2，i+3 和第k個(gè)阻尼器的元素為H(i+2，k)=H(i+3，k)=－1/2，無阻尼力作用的節(jié)點(diǎn)元素則為零。在阻尼器位置矩陣確定以后，作用于整個(gè)結(jié)構(gòu)的阻尼力矩陣F可表達(dá)為：

2 MRD框架結(jié)構(gòu)的彈塑性動(dòng)力反應(yīng)分析程序

2.1 桿系模型及桿件彈塑性單元?jiǎng)偠染仃?/h3>

本文的計(jì)算模型采用較為精確的單分量桿系模型。設(shè)反彎點(diǎn)處于桿件中點(diǎn)，并且不考慮豎向位移對桿端彎矩的影響，根據(jù)Giberson單分量模型原則［8］，以桿件i端為例，如圖3所示，其彎矩增量與轉(zhuǎn)角增量的關(guān)系為：

圖3 桿端彎矩與轉(zhuǎn)角的恢復(fù)力曲線Fig.3 Hysteretic curve of moment－rotation at the end of member

當(dāng)僅考慮平面變形狀態(tài)時(shí)［9］，彈塑性桿件桿端力增量和桿端位移增量的關(guān)系可表示為：

Pi、Pj分別表示桿件i端和j端的剛度降低系數(shù)，在結(jié)構(gòu)彈塑性時(shí)程分析中單元?jiǎng)偠染仃嚨男拚峭ㄟ^桿件兩端剛度折減系數(shù)Pi、Pj的不斷變化體現(xiàn)的，并且Pi、Pj的改變是相互獨(dú)立的。

2.2 桿件恢復(fù)力模型

本文選用三線退化模型作為桿件的恢復(fù)力模型，桿端剛度降低系數(shù)Pi、Pj可根據(jù)圖4計(jì)算得出［10］。各桿件的開裂彎矩Mc、轉(zhuǎn)角 θc、屈服彎矩 My、轉(zhuǎn)角 θy以及屈服點(diǎn)割線剛度降低系數(shù)(αy)則根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50010—2010)以及結(jié)構(gòu)配筋圖計(jì)算確定。

圖4 三線性退化模型Fig.4 Three fold line stiffness retrograde model

2.3 基本假定

MATLAB程序編制時(shí)的基本假定：① 不考慮結(jié)構(gòu)變形帶來的二次矩的影響;② 不考慮桿件兩端切向相對位移對桿端彎矩、轉(zhuǎn)角的影響;③ 不考慮斜向支撐對結(jié)構(gòu)附加剛度的影響;④ 假定底層柱下端為固結(jié);⑤ 編程時(shí)采用一致質(zhì)量矩陣，未考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對質(zhì)量矩陣的影響。

3 實(shí)例分析

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)與阻尼器參數(shù)

圖5為8度區(qū)某10層辦公樓的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，如圖所示，在1～6層中間跨布置MRD。設(shè)計(jì)基本地震加速度值為0.20 g。

圖5 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖及桿件配筋圖Fig.5 The frame calculation sketch and reinforcement of the members

在對磁流變阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性時(shí)程分析時(shí)，采用Wilson－θ時(shí)程分析法求解結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程(3)，并取θ=1.4;假定時(shí)程分析中，當(dāng)桿件端部轉(zhuǎn)角大于由配筋圖計(jì)算的θc時(shí)，桿件產(chǎn)生開裂，當(dāng)轉(zhuǎn)角大于θy時(shí)，桿件產(chǎn)生屈服，形成塑性鉸，并且框架結(jié)構(gòu)中梁的第一剛度降低系數(shù)取0.4，柱的第一剛度降低系數(shù)取0.6，梁柱第二剛度降低系數(shù)均取0.1;結(jié)構(gòu)阻尼按Rayleigh阻尼確定，即C=0.05M+0.05K;地震波選用1940年南北向的El－Centro波，作用時(shí)間30 s，地震波步長ΔT=0.02 s，地震加速度時(shí)程曲線的最大值調(diào)整為400 gal。

根據(jù)上述條件，作者用MATLAB語言編制了磁流變阻尼框架結(jié)構(gòu)彈塑性動(dòng)力分析程序，通過程序試算，確定LQR控制算法中的權(quán)矩陣系數(shù) α=100、β=6 ×10－6。

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)以上條件分別對未加MRD的結(jié)構(gòu)和設(shè)置MRD的結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，結(jié)果見圖6～圖8。

圖6 節(jié)點(diǎn)40的水平位移、加速度時(shí)程響應(yīng)Fig.6 Horizontal displacement and acceleration responses of the node 40

圖7 各層最大水平位移、加速度Fig.7 The maximum displacement and acceleration of each floor

圖8 有控和未控狀態(tài)下塑性鉸分布圖Fig.8 Plastic hinges distribution of the frame with and without the control

由圖6(a)可以看出：LQR控制下磁流變阻尼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)40的最大水平位移小于純框架結(jié)構(gòu)該點(diǎn)的最大水平位移。在純框架結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)40的最大位移為152 mm，而在結(jié)構(gòu)中加入MRD以后，節(jié)點(diǎn)40的最大位移為100 mm，兩者相比，磁流變阻尼結(jié)構(gòu)最大水平位移比原結(jié)構(gòu)最大水平位移減小了34.2%。由圖6(b)可以看出：在純框架結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)40的最大水平加速度為7.383 m/s2，加入MRD以后，該節(jié)點(diǎn)的水平最大加速度為5.546 m/s2，磁流變阻尼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)40的最大水平加速度比原結(jié)構(gòu)該點(diǎn)的最大水平加速度減小了24.9%。分析表明，加入磁流變阻尼的框架結(jié)構(gòu)在LQR控制下可以產(chǎn)生較好的減振效果。此外，在整個(gè)地震動(dòng)作用時(shí)間內(nèi)，磁流變阻尼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)40的位移得到明顯的減小，而其加速度減小效果并不十分明顯，這主要是由于MRD在增加結(jié)構(gòu)阻尼的同時(shí)也加大了結(jié)構(gòu)的剛度，從而使加速度減小的效果要比位移減小的效果差。

從圖7可以看出：框架結(jié)構(gòu)中加入MRD明顯減小了結(jié)構(gòu)各層的最大水平位移及最大水平加速度響應(yīng)，以結(jié)構(gòu)的第8層為例，與純框架結(jié)構(gòu)相比，磁流變阻尼結(jié)構(gòu)第8層最大水平位移和水平加速度分別減小了37.9%和16.2%，位移的減弱效果優(yōu)于加速度的減弱效果，其它各層亦如此。

從圖7(a)中可看出，加入MRD的框架結(jié)構(gòu)1～6層的層間相對位移減小效果優(yōu)于6～10層的層間相對位移減弱效果，這是因?yàn)?～6層設(shè)有阻尼器，它不但可以增加結(jié)構(gòu)的整體剛度，也能加大結(jié)構(gòu)1～6層的層間剛度，從而使1～6層的最大絕對位移和層間相對位移均得到有效減小，而6～10的最大絕對位移雖然能得到有效控制，但層間相對位移減弱并不明顯;另外，磁流變阻尼結(jié)構(gòu)和純框架結(jié)構(gòu)的最大層間位移均出現(xiàn)在第7層，這是由于結(jié)構(gòu)在第7層發(fā)生變化，柱列數(shù)及柱截面均減小，導(dǎo)致層間剛度驟減，從而引起較大的層間位移。圖7(b)表明，在加入MRD以后，7～10層加速度明顯減小，而1～6層加速度基本沒有改變。以上分析說明，MRD可以明顯減小結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下的水平位移響應(yīng)，而對罕遇地震作用下結(jié)構(gòu)的水平加速度響應(yīng)控制效果并不十分明顯。

由圖8可以看出：未采用MRD控制時(shí)，大部分框架梁兩端均出現(xiàn)塑性鉸，而框架柱僅底部兩層個(gè)別柱端部屈服，結(jié)構(gòu)的大多數(shù)橫向構(gòu)件屈服而豎向構(gòu)件大部分處于彈性狀態(tài)，表現(xiàn)為理想的梁鉸屈服機(jī)制。在加入MRD以后，1～6框架梁端塑性鉸幾乎全部消失，7～10層框架梁端及柱端塑性鉸也有所減少，框架結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下的破壞程度明顯減小，雖然此時(shí)仍有部分桿件發(fā)生破壞，但卻不致危及結(jié)構(gòu)的整體安全。由此可見，MRD可以明顯減小框架結(jié)構(gòu)桿件的屈服數(shù)量，延緩桿件屈服時(shí)間，顯著提高結(jié)構(gòu)的抗震性能。

4 結(jié)論

(1)作者編制的磁流變阻尼框架結(jié)構(gòu)彈塑性動(dòng)力分析程序能夠很好的分析MRD對框架結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)(桿件)位移、加速度的控制效果;并且該程序能夠確定磁流變阻尼結(jié)構(gòu)各桿件開裂、屈服的先后順序。

(2)加入MRD以后，結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點(diǎn)40的最大水平位移減少34.2%，最大水平加速度減少24.9%。此外，各層的最大水平位移均減小，7～10層的加速度有所減小，但1～6層的加速度并未改變，結(jié)構(gòu)水平位移的減弱效果優(yōu)于水平加速度的減弱效果。

(3)加入MRD以后，結(jié)構(gòu)桿件塑性鉸的數(shù)量明顯減少，說明MRD能有效的消耗傳入結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量，顯著提高結(jié)構(gòu)的整體抗震性能。

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Elastic-plastic dynamic response analysis on frame structure incorporated with MR dampers based on the member model of system

ZHANG Xiang－cheng1，XU Zhao－dong1，RAN Cheng－song2，ZHU Jun－tao1
(1.Key Laboratory of C ＆ PC Structures，Ministry of Education，Southeast University，Nanjing 210096，China;2.Sichuan Provincial Architectural Design Institute，Chengdu 610017，China)

Magneto－rheological damper(MRD)is an excellent semi－active control device.The location matrix of MRD in the frame structure incorporated with MRD was derived.Then a member model was selected as the mathematical model of the structure.An elastic－plastic dynamic response analysis of the structure incorporated with MRD was programmed by using MATLAB.The displacement and acceleration responses of the structure with and without MRD，as well as the distribution of plastic hinges of the member，were calculated and compared.Comparison results show that the displacement and the acceleration responses of each floor of the structure with MRD were reduced significantly，in which the vibration mitigation effect on displacement is superior to that on acceleration.At the same time，the number of plastic hinges is also reduced.

magneto－rheological damper;dynamic response;frame structure

TU352.1

A

國家863高科技計(jì)劃(2009AA03Z106);江蘇省科技支撐計(jì)劃(B12010069);常州市國際合作項(xiàng)目(CZ2009004);江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(CXLX_0131)

2012－03－15 修改稿收到日期：2012－04－09

張香成 男，博士，1983年生

徐趙東 男，教授，博導(dǎo)，1975年生