張 帆，趙建平

(南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 211816)

內(nèi)聚力單元在Voronoi元胞的晶間斷裂模擬中的應(yīng)用*

張 帆，趙建平

(南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 211816)

應(yīng)用二維Voronoi算法進(jìn)行晶粒的幾何建模，采用粘聚力模型模擬晶界的分離現(xiàn)象。以多晶鋁為研究對(duì)象，研究了無(wú)缺陷條件下，施加單向拉伸載荷時(shí)，晶界的損傷和失效，以及整個(gè)模型的應(yīng)力分布，并與有缺陷、單向拉伸時(shí)，晶界的損傷、應(yīng)力的分布進(jìn)行了對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)在單向拉伸加載的情況下，垂直于拉伸方向，最靠近加載邊界的一條晶界帶上出現(xiàn)了連續(xù)的失效單元，形成晶間斷裂“裂紋”。模擬結(jié)果表明，隨著單向拉伸載荷的增大，多晶鋁晶界的損傷會(huì)加劇;晶界帶上缺陷的數(shù)量與分布影響了整個(gè)模型的應(yīng)力分布，因此不同內(nèi)聚力單元的應(yīng)力值隨著載荷的增加呈現(xiàn)出不同的變化規(guī)律。

多晶鋁;晶間斷裂;晶界損傷

0 引言

為了分析工程結(jié)構(gòu)的耐用性和壽命周期，通常采用唯象的損傷斷裂模型［1］，對(duì)其宏觀破壞行為進(jìn)行數(shù)值模擬，然而，這種宏觀同質(zhì)化［2］的處理方法忽略了導(dǎo)致裂紋萌生與擴(kuò)展的真正的物理機(jī)制。為了綜合考慮這些物理機(jī)制的影響，必須進(jìn)行介觀或微觀尺度下的數(shù)值模擬。

在介觀尺度下，多晶體金屬材料的裂紋主要沿晶界擴(kuò)展［1］。Luther等［1，3］研究了單向靜態(tài)加載、不定義初始損傷的條件下，多晶鋁介觀尺度的代表性體積單元［4］(RVE)的裂紋萌生與擴(kuò)展;司良英等［5］采用晶體塑性有限元方法(CPFEM)對(duì)多晶鋁在拉伸試驗(yàn)中的變形行為進(jìn)行了數(shù)值模擬;Iesulauro等［6］應(yīng)用FRANC2D/L軟件，研究了多晶鋁晶粒構(gòu)型、材料模型、晶粒與晶界參數(shù)對(duì)失效路徑、應(yīng)力分布、失效應(yīng)變的影響;文獻(xiàn)［4］中運(yùn)用AutoRVE軟件，對(duì)各向異性多晶鋁在對(duì)稱邊界條件下作靜力拉伸時(shí)的應(yīng)力狀況進(jìn)行了數(shù)值模擬。然而，在晶界上設(shè)置“缺陷”對(duì)應(yīng)力分布與晶界損傷的影響研究還鮮見報(bào)道。

鑒于此，本文將分別在晶界有、無(wú)缺陷的情況下，對(duì)多晶鋁單向拉伸進(jìn)行不同載荷大小下的數(shù)值模擬，探究載荷與缺陷對(duì)應(yīng)力分布與晶界損傷的影響。

1 基本理論

1.1 模擬晶界的內(nèi)聚力模型

內(nèi)聚力模型的核心是用局部的應(yīng)力——位移之間的關(guān)系來描述損傷或斷裂過程［7］，即內(nèi)聚區(qū)的本構(gòu)關(guān)系，稱為 Traction Separation Law(TSL)。在ABAQUS軟件中，內(nèi)聚區(qū)采用一層內(nèi)聚力單元表示［8］。本文在計(jì)算中采用具有線性軟化的混合損傷模式［9］下的TSL，其一維形式如圖1所示，其中T和δ分別代表界面的內(nèi)聚力和相對(duì)位移。從圖中可以看到，在內(nèi)聚區(qū)開始承載時(shí)，內(nèi)聚力單元的初始剛度值［10-11］為Kn，當(dāng)內(nèi)聚力達(dá)到內(nèi)聚力強(qiáng)度Tl時(shí)界面相對(duì)位移達(dá)到δm0，此時(shí)內(nèi)聚力單元開始損傷，(1-D)Kn表示材料損傷后的實(shí)際剛度;隨著外力的進(jìn)一步增大，界面相對(duì)位移增大，內(nèi)聚力則線性降低直至減小為0，相應(yīng)地界面相對(duì)位移達(dá)到臨界值δfm，此時(shí)內(nèi)聚力單元完全失效，該處的斷裂能達(dá)到臨界值Gc，Gc的值為 TSL 曲線所包圍的面積［8，12］。

圖1 具有線性軟化的混合損傷模式下的TSL

對(duì)于線性軟化，ABAQUS采用Camanho和Davila提出的損傷演化變量D定義失效退化［13-14］:

其中δmaxm為加載過程中界面達(dá)到的相對(duì)位移的最大值。

損傷變量D的初始值為0，一旦損傷開始，在后續(xù)載荷的作用下，該變量由0逐漸增長(zhǎng)到1。當(dāng)D=1時(shí)，表示內(nèi)聚力單元完全失效，此時(shí)單元?jiǎng)偠韧耆珡哪Ｐ涂傮w剛度矩陣中刪除，意味著此處發(fā)生了斷裂［10-11，15-16］。

1.2 界面元的混合型失效準(zhǔn)則

1.2.1 降階準(zhǔn)則

復(fù)雜結(jié)構(gòu)中常見的裂紋形式是混合型裂紋，相應(yīng)的有初始失效判斷準(zhǔn)則及失效擴(kuò)展判斷準(zhǔn)則［12］。本文采用二次準(zhǔn)則［10-11，15-16］作為判斷界面元的剛度降階的失效準(zhǔn)則:

式中 σn、τs、τt分別為內(nèi)聚力單元法向、切向一、切向二的應(yīng)力;T、S分別為拉伸、剪切強(qiáng)度。

1.2.2 失效準(zhǔn)則

在混合模式加載下，失效退化進(jìn)程判斷以能量準(zhǔn)則作為判斷混合模式失效的標(biāo)準(zhǔn)［15］。本文采用冪指數(shù)準(zhǔn)則［10-11，15-16］作為判斷混合斷裂模式中界面元最終破壞的失效準(zhǔn)則:

式中，Gic(i=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)分別代表了在純i型載荷下，材料單位長(zhǎng)度的臨界應(yīng)變能釋放率。

2 計(jì)算模型與材料參數(shù)

2.1 模型分析與假設(shè)

多晶鋁晶間斷裂的實(shí)際過程非常復(fù)雜，其斷裂模式不僅有晶間斷裂，還有穿晶斷裂。另外，實(shí)際的晶粒結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)很難確切定義，這些因素就給建立與材料介觀結(jié)構(gòu)完全一致的模型并考慮所有可能的失效模式，從而進(jìn)行精確的有限元計(jì)算帶來相當(dāng)大的困難［6，9］。

考慮到本研究的主要目的是分析載荷與缺陷對(duì)多晶鋁代表性體積單元的應(yīng)力分布與晶界損傷的影響，在有限元建模與計(jì)算過程中作了如下假設(shè):

(1)晶粒內(nèi)部各向同性，各個(gè)晶粒具有相同的材料屬性。

(2)所有晶界帶具有相同的材料參數(shù)。

(3)晶粒內(nèi)部無(wú)缺陷，缺陷只存在于晶界帶上。

(4)晶間斷裂是多晶鋁唯一的斷裂失效模式。

2.2 有限元模型

本文利用Voronoi tessellation方法［17-19］生成了具有隨機(jī)晶粒幾何形狀的49晶粒Voronoi元胞模型。計(jì)算模型選用的材料為AA7075多晶鋁，平均晶粒度［6］為50 μm，整個(gè)Voronoi元胞模型的長(zhǎng)和寬均為350μm。

在進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分時(shí)，晶粒內(nèi)部采用CPS4R單元，晶界帶采用一層COH2D4單元，共劃分26529個(gè)單元。

為了考察載荷大小對(duì)多晶鋁代表性體積單元的應(yīng)力分布與晶界損傷的影響，在邊界BC-1上施加單向拉伸載荷U1，在邊界BC-2上設(shè)置邊界條件UX=0及UY=0如圖2所示，其中UX、UY分別表示X軸、Y軸方向的位移。

圖2 Voronoi元胞模型和邊界條件示意圖

2.3 材料參數(shù)

對(duì)于 AA7075 多晶鋁，化學(xué)成分［6，20］(質(zhì)量分?jǐn)?shù)，%)為:Zn 5.6，Cu 1.6，Mg 2.5，Cr 0.25，Al余量。晶粒內(nèi)部彈性模量E=72000Mpa，泊松比μ=0.33，晶粒內(nèi)部的塑性硬化則根據(jù)圖3所示的硬化曲線［6］，通過GetData軟件捕捉曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，定義屈服應(yīng)力與塑性應(yīng)變。晶界的計(jì)算參數(shù)［1，6］為Tl=500Mpa，Gc=0.15N/mm，Kn=4e7Mpa。

圖3 晶粒內(nèi)部的塑性硬化曲線

2.4 有限元計(jì)算流程

有限元分析一般包括以下三個(gè)步驟:前處理、分析計(jì)算和后處理。這些步驟在ABAQUS軟件中是通過一系列功能模塊完成的［21］。本文采用的有限元計(jì)算過程如圖4所示。

圖4 有限元計(jì)算流程圖

3 計(jì)算結(jié)果與討論

3.1 缺陷率對(duì)應(yīng)力值的影響

在不含缺陷、載荷U1=0.005 mm的情況下，晶界帶損傷模擬結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，垂直于拉伸方向的一條晶界帶出現(xiàn)了連續(xù)的失效單元，形成晶間斷裂“裂紋”。因此，在該晶界帶上分別隨機(jī)選取50%、40%、30%、20%、10%的單元作為“缺陷”，選取晶界帶上的24502、26509號(hào)單元作為研究對(duì)象，考察含缺陷情況下應(yīng)力值、損傷值的變化規(guī)律，并與無(wú)缺陷情況下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

單個(gè)內(nèi)聚力單元的應(yīng)力值隨載荷變化規(guī)律:在載荷 U1分別為 0.001 mm、0.002 mm、0.003 mm、0.004 mm、0.005 mm的情況下，單元 24502、26509的應(yīng)力值隨U1的變化曲線如圖6所示。從圖6a中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單元24502來說，當(dāng)缺陷率為0%、10%、30%時(shí)，隨著載荷的增加，單元積分點(diǎn)的應(yīng)力值逐漸下降，之后突降為0然后保持恒定，這是由于載荷的增加降低了內(nèi)聚力單元的承載能力，直至單元完全失效被刪除，從而失去了承載能力;當(dāng)缺陷率為20%、40%、50%時(shí)，隨著載荷的增加，單元積分點(diǎn)的應(yīng)力值相應(yīng)地降低至某個(gè)極限值，之后基本保持恒定，這是由于晶界帶上缺陷的數(shù)量與分布影響了整個(gè)模型的應(yīng)力分布，使得該內(nèi)聚力單元在載荷增加的情況下并未完全失效，而是具有一定承載能力。

從圖6b中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單元26509來說，當(dāng)缺陷率≤10%時(shí)，隨著載荷的增加，單元積分點(diǎn)的應(yīng)力值大體上逐漸下降;當(dāng)缺陷率在20% ～50%之間時(shí)，隨著載荷的增加，單元積分點(diǎn)的應(yīng)力值相應(yīng)地降低至某個(gè)極限值，之后基本保持恒定。

圖6 不同缺陷率下單個(gè)內(nèi)聚力單元的應(yīng)力值隨載荷的變化情況

3.2 缺陷率對(duì)損傷值的影響

3.2.1 單個(gè)內(nèi)聚力單元的損傷值隨載荷變化規(guī)律選取單元號(hào)為13159、13733、1295、13162 的內(nèi)聚力單元，在載荷 U1分別為0.001 mm、0.002 mm、0.003 mm、0.004 mm、0.005 mm的情況下，分別考察這些單元積分點(diǎn)的SDEG值隨U1的變化如圖7a所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著載荷的增加，這些單元的SDEG值基本保持恒定。

定義SDEG值在0.9～1之間，內(nèi)聚力單元失效。在載荷U1分別為0.001 mm、0.002 mm、0.003 mm、0.004 mm、0.005 mm 的情況下，單元 24502、26509的損傷值隨載荷的變化曲線分別如圖7b、7c所示。從圖7b中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單元24502來說，隨著載荷的增加，單元積分點(diǎn)的SDEG值均保持在0.9～1之間，意味著該單元已經(jīng)失效。

圖7 不同缺陷率下單個(gè)內(nèi)聚力單元的損傷值隨載荷的變化情況

從圖7c中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單元26509來說，隨著載荷的增加，單元積分點(diǎn)的SDEG值出現(xiàn)波動(dòng)，之后基本保持恒定。

圖8 不同缺陷率下單個(gè)內(nèi)聚力單元的損傷值隨增量步的變化情況

3.2.2 單個(gè)內(nèi)聚力單元的損傷值隨增量步變化規(guī)律

選取24502號(hào)單元，在不同的缺陷率下，考察該單元積分點(diǎn)的SDEG值隨增量步的變化如圖8所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著增量步的增加，該單元積分點(diǎn)的SDEG值均經(jīng)過一個(gè)階躍式上升。當(dāng)缺陷率為0時(shí)，經(jīng)過階躍式上升之后SDEG值以緩慢的速率上升;當(dāng)缺陷率在0% ～50%之間時(shí)，經(jīng)過階躍式上升之后SDEG值基本保持恒定。

4 結(jié)論

(1)在不同的缺陷率下，隨著載荷的增加，不同內(nèi)聚力單元的應(yīng)力值呈現(xiàn)出不同的變化規(guī)律，這是由于晶界帶上缺陷的數(shù)量與分布影響了整個(gè)模型的應(yīng)力分布，各個(gè)內(nèi)聚力單元因而處于不同的受力狀態(tài)。

(2)在不同的缺陷率下，隨著載荷的增大，已經(jīng)失效的內(nèi)聚力單元的SDEG值經(jīng)過波動(dòng)之后，均保持在0.9～1之間，這是由于內(nèi)聚力單元的損傷程度隨著載荷的增大而不斷加深，在達(dá)到極限狀態(tài)之后，SDEG值基本保持恒定。

(3)隨著增量步的增加，內(nèi)聚力單元積分點(diǎn)的SDEG值均經(jīng)過一個(gè)階躍式上升。當(dāng)缺陷率為0時(shí)，經(jīng)過階躍式上升之后SDEG值以緩慢的速率上升;當(dāng)缺陷率在0% ～50%之間時(shí)，經(jīng)過階躍式上升之后SDEG值基本保持恒定。

［1］T.Luther，C.K?nke.Analysis of crack initiation and propagation in polycrystallinemeso-andmicrostructures ofmetal materials［C］//III European Conference on Computational Mechanics.Lisbon，Portugal: ［s.n.］，2006:1-2.

［2］E.Iesulauro，A.R.Ingraffea，S.Arwade，et al.Simulation of grain boundary decohesion and crack initiation in aluminum microstructuremodels.Fatigue and Fracture Mechanics:33rd Volume，ASTM STP 1417，W.G.Reuter and R.S.Piascik，Eds.，American Society for Testing and Materials，West Conshohocken，PA，715-728，2002.

［3］T.Luther，C.K?nke.Investigation of crack growth in polycrystalline mesostructures［C］//17th International Conference on the Application of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering.Weimar，Germany: ［s.n.］，2006:12-14.

［4］任淮輝，李旭東，李俊琛，等.二維多晶體材料微結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)計(jì)算［J］.武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31(4):427-430.

［5］SIL Y，K.Tie.Simulation of polycrystalline aluminum tensile test with crystal plasticity finite element method［J］.Trans.Nonferrous Met.Soc.China，2007(17):1412-l416.

［6］E.Iesulauro.Decohesion of grain boundaries in statistical representations of aluminium polycrystals［D］.Cornell University，2002.

［7］吳治輝.韌性材料損傷斷裂過程的數(shù)值模擬［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2003.

［8］王艷飛，鞏建鳴，蔣文春，等.基于內(nèi)聚力模型的 AISI4135高強(qiáng)鋼氫致滯后斷裂數(shù)值模擬［J］.金屬學(xué)報(bào)，2011，47(5):594-596.

［9］吳波，魏悅廣，譚建松，等.納米晶Ni晶間斷裂的數(shù)值模擬［J］. 金屬學(xué)報(bào)，2009，45(9):1077-1081.

［10］Carlos G.D?vila，Pedro P.Camanho，Marcelo F.de Moura.Mixed-mode decohesion elements for analyses of progressive delamination［C］//42nd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics and Materials Conference.Seattle，Washington: ［s.n.］，2001:2-6.

［11］崔浩，李玉龍，劉元鏞，等.基于粘聚區(qū)模型的含填充區(qū)復(fù)合材料接頭失效數(shù)值模擬［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2010，27(2):162-164.

［12］黃劉剛.內(nèi)聚力模型的分析及有限元子程序開發(fā)［D］.鄭州:鄭州大學(xué)，2010.

［13］ABAQUSVersion6.9 Analysis User’s Manual.2009.

［14］陳國(guó)華，陳靈杰.解相關(guān)路徑的裂紋擴(kuò)展模擬及其應(yīng)用［J］. 壓力容器，2012，29(10):37-38.

［15］趙寧，歐陽(yáng)海彬，戴建京，等.內(nèi)聚力模型在結(jié)構(gòu)膠接強(qiáng)度分析中的應(yīng)用［J］.現(xiàn)代制造工程，2009(11):128-129.

［16］劉紅霞.復(fù)合材料分層損傷的數(shù)值模擬［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2006.

［17］司良英，鄧關(guān)宇，呂程，等.基于Voronoi圖的晶體塑性有限元多晶幾何建模［J］.材料與冶金學(xué)報(bào)，2009，8(3):193-197.

［18］蘇金明，阮沈勇.MATLAB實(shí)用教程(第2版)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2008.

［19］倪黎，李旭東.應(yīng)用TransMesh進(jìn)行微觀組織結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格劃分［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，31(2):24-28.

［20］T.Venugopal，K.Srinivasa Rao，K.Prasad Rao.Studies on friction stir welded AA 7075 aluminum alloy［J］.Trans.Indian Inst.Met，2004，57(6):660.

［21］石亦平.ABAQUS有限元分析實(shí)例詳解［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

(編輯 李秀敏)

The Application of Cohesive Elements in Numerical Simulations of the Intergranular Fracture in Voronoi Cellular Models

ZHANG Fan，ZHAO Jian-ping
(School of Mechanical and Power Engineering，Nanjing University of Technology，Nanjing 211816，China)

The 2D Voronoi algorithms were used for geometric modeling of crystalline grains.A cohesive interfacemodel was used to simulate the process of grain-boundary separation.Polycrystalline aluminum was chosen as the research object.Under the condition of no defectswhile the uniaxial stretching load was applied，damage and failure of the grain boundaries as well as the stress distribution of the whole model were investigated.Based on this，a comparative study on grain-boundary damage and stress distribution was carried out in the case of defective while uniaxially stretched.It has been found that in the case of uniaxial stretch continuous failure elements appeared on the grain boundary perpendicular to the stretching direction，closest to the loading surface.This led to the formation of the so-called intergranular fracture‘crack’.The simulation results showed that as the uniaxial tensile load increased the damage to the grain boundaries of polycrystalline aluminum would exacerbate，and due to the effect of quantity and distribution of the defects in grain boundaries on stress distribution of the entire model different cohesive elements showed a different variation in stress value with the increase of the load.

polycrystalline aluminum;intergranular fracture;grain-boundary damage

張帆(1987—)，男，南京人，南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院碩士，主要研究方向?yàn)槭Х治雠c壽命預(yù)測(cè)，(E-mail)gzlza@163.com。

TH122;TG111.91

A

1001-2265(2013)11-0026-04

2013-03-20

“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2011BAK06B03和2012BAK13B03)