武 麗 陳 軍 張海瑞

鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院，河南鄭州 451150

基于傅里葉描述子的形狀特征提取的討論與研究

武 麗 陳 軍 張海瑞

鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院，河南鄭州 451150

形狀特征是物體的最重要的視覺特征之一，本文提出利用傅里葉描述子來提取物體形狀特征的頻譜信息，闡述了利用低頻信息即可用來表征物體的形狀，從而提高了圖像檢索的實時性及準(zhǔn)確性，并利用Matlab實驗論證了該算法的有效性及可行性。

圖像檢索；形狀特征；傅里葉描述子；Matlab

引言

圖像檢索的研究從上個世紀(jì)70年代已經(jīng)開始，發(fā)展至今，已經(jīng)成為多媒體應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域的一個研究的熱點。其發(fā)展主要包含兩個分支：1）基于文本的圖像檢索（TBIR，Text-based Image Retrieval）；2）基于內(nèi)容的圖像檢索（CBIR，Content-based Image Retrieval）。而形狀是物體的一個重要的視覺特征，相對于紋理、顏色、布局等其他特征，形狀特征更能從語義上描述物體的內(nèi)容，因此分析物體的形狀特征是CBIR研究領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容。形狀特征的一個焦點就是如何描述形狀，即如何有效提取物體的形狀特征，它是完成形狀的匹配、識別、分析、檢索等后續(xù)任務(wù)的關(guān)鍵[1]。當(dāng)今的形狀描述方法可分為基于區(qū)域的形狀描述子和基于輪廓線的形狀描述子兩大類，前者是從這個目標(biāo)圖像的區(qū)域來提取物體的形狀特征，而后者是考慮物體邊界上的像素點。

本文利用傅里葉變換提取物體的形狀特征，這是一種極其有效的形狀描述算法，其主要思想是將圖像空間從二維空間域變換到頻率域，用圖像的頻譜信息來描述形狀，這種算法又稱為傅里葉描述子（FD, Fourier Descriptors）。本文主要研究傅里葉描述子的提取以及利用傅里葉描述子對物體形狀進(jìn)行恢復(fù)，詳細(xì)闡述了該算法的優(yōu)勢及可行性。

1 傅里葉描述子的基本原理

傅里葉描述子的基本思想如圖1所示。

圖1 封閉曲線

假定物體的形狀是一條封閉、連續(xù)、光滑的曲線，在圖形邊界上找出任一點作為始點，如（x0，y0），沿著順時針方向依次取N點至（xN，yN），x、y分別為邊界點的空間橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。將N+1對坐標(biāo)值賦值給復(fù)變量U，其中x的值賦值給U的實部，y的值賦值給U的虛部?？傻孟率剑?）

這里引入復(fù)變量U(k)，從而將二維空間的變量轉(zhuǎn)到一維空間。對U(k)求快速傅里葉變換得F(μ)，見下式（2）

參數(shù)F(μ)為復(fù)變量U(k)的頻率信息，本文中稱為傅里葉描述子，是物體形狀邊界曲線的傅里葉變換系數(shù), 即物體邊界曲線信號的頻域分析的結(jié)果。傅里葉描述子F(μ)數(shù)值的變化體現(xiàn)了物體邊界信息在空間坐標(biāo)上變化的快慢程度。傅里葉描述子中的低頻系數(shù)體現(xiàn)了物體大致的形狀，而高頻系數(shù)則代表了物體更為精確的形狀信息。

2 傅里葉描述子的提取及形狀恢復(fù)

通過上述分析可知，對物體的邊界曲線求傅里葉變換，便可得到頻域信號，即傅里葉描述子，提取其低頻系數(shù)也就獲取了物體的大致情況，從而在存儲物體形狀信息時，節(jié)省了大量的內(nèi)存空間，這也成了利用物體形狀特征作為基于內(nèi)容的圖像檢索的一個重要優(yōu)勢[2]。下面我們利用Matlab軟件仿真，驗證上述算法的可行性。

2.1 圖像預(yù)處理

在圖像的形成、傳輸過程中，由于受到多種因素的干擾，會造成所獲取的圖片和真實圖像存在一定的差別，毫無疑問這將會影響計算機對圖像的檢索，因此在進(jìn)行目標(biāo)提取之前，一般都需要對圖像進(jìn)行預(yù)處理，比如圖像平滑，圖像增強等等，主要是為了消除圖像生成過程中的噪音，增強圖像對比度，從而獲得更為清晰的圖像，便于后續(xù)處理和分析[3]。為了描述方便，我們生成一個60*60的黑底圖片內(nèi)嵌一個20*20的白色圖形為原始圖片，如圖2所示：

圖2 原始圖片

2.2 傅里葉描述子的生成及形狀恢復(fù)

掃描圖像，獲取圖像目標(biāo)的空間形狀信息，得到圖形的邊界信息，如圖3所示。

對空間坐標(biāo)求快速傅里葉變換，便可以得到傅里葉描述子F(μ)，其表征了物體形狀在空間坐標(biāo)上變換情況。下面分三種情況對原始圖形進(jìn)行恢復(fù)：

情況一：利用前兩個傅里葉描述子系數(shù)來恢復(fù)物體的形狀。實現(xiàn)方法：選傅里葉描述子的前兩個系數(shù)，對其求快速傅里葉反變換，即可得到物體形狀的空間信息，如圖4，該圖為一圓形，已經(jīng)不能準(zhǔn)確表征物體的形狀信息，由此可見，傅里葉描述子的前兩個低頻系數(shù)近似地代表了物體形狀的直流信息；

圖3 圖形邊界

圖4 前兩個FD系數(shù)恢復(fù)的圖形

情況二：利用前八個傅里葉描述子系數(shù)來恢復(fù)物體的形狀。具體操作見情況1，結(jié)果如圖5，可見物體形狀的空間信息已經(jīng)得到了較好的恢復(fù)；

圖6 前八個FD系數(shù)恢復(fù)的圖形

情況三：利用所有的傅里葉描述子來恢復(fù)物體的形狀。理論而言，此時應(yīng)該對原物體的形狀信息無損失恢復(fù)，實驗結(jié)果正是如此，如圖6。

綜合以上三種情況，可見傅里葉描述子代表了物體的形狀信息，利用傅里葉描述子對其求傅里葉反變換，便可恢復(fù)物體形狀信息。本實驗顯示利用八個傅里葉描述子系數(shù)便做夠表征物體的形狀信息了。當(dāng)然傅里葉描述子的系數(shù)越多，物體的形狀特征就會越明顯，如圖6所示。

圖6 所以的FD系數(shù)恢復(fù)的圖形

下面我們再舉一個例子，兩片樹葉的原始圖片，如圖7所示：

圖7 兩種樹葉的圖片

分別對其求傅里葉描述子，并利用前二十個FD系數(shù)，恢復(fù)物體形狀，如圖8所示：

圖8 前二十個FD系數(shù)恢復(fù)的樹葉圖片

由此可見對圖7兩種樹葉的識別，只需要前二十個傅里葉描述子便可代表物體的形狀信息，進(jìn)而準(zhǔn)確區(qū)分兩種葉子的種類。

通過以上分析可知，傅里葉描述子個數(shù)的選擇，應(yīng)根據(jù)物體圖形的復(fù)雜程度來多次選擇，從而既能夠使傅里葉描述子代表物體的形狀信息提高檢索的精確度，又能節(jié)省內(nèi)存空間，減少運算量，從而降低成本。

3 結(jié)語

物體的形狀描述是圖像分析領(lǐng)域的熱點話題，有著很多潛在的應(yīng)用[4]。本文詳細(xì)闡述了利用傅里葉描述子對物體的形狀特征的提取。該算法以快速傅里葉變換為基礎(chǔ)，計算簡單，快速。同時，利用傅里葉描述子中的低頻信息表征物體的形狀，使運算量得到了較大的減少，進(jìn)而降低成本。

[1]Rafael C. Gonzales and Richard E. Woods，‘Digital image processing’

[2]Jonas De Vylder,‘IMPROVED FOURIER DESCRIPTORS FOR 2-D SHAPE REPRESENTATION’

[3]姚玉榮.利用小波和矩進(jìn)行基于形狀的圖像檢索[J].中國圖像學(xué)報，2000，5(3)：206-210

[4]魯晉，沙莎.一種基于傅里葉變換的形狀描述方法[J].科技廣場，2010：80-82

武麗（1983-）.女，助教，碩士，鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院電子信息工程學(xué)院，主要從事信號處理方向的教學(xué)與研究；

陳軍（1972-）.男，工程師，碩士，鄭州大學(xué)西亞斯國際學(xué)院電子信息工程學(xué)院，主要從事自動化方向的教學(xué)與研究；

張海瑞（1983-）.女，助教，碩士，河南省防空兵學(xué)院基礎(chǔ)部，主要從事電子方向的教學(xué)工作。