☉北京市海淀區(qū)教師進修附屬實驗學(xué)校 夏繁軍

教材例習(xí)題編寫的思考和范例

☉北京市海淀區(qū)教師進修附屬實驗學(xué)校 夏繁軍

教材例習(xí)題是教材和教學(xué)的有機組成部分，它是幫助學(xué)生鞏固基本概念，評估學(xué)生學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生思維能力，訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)表達，促進學(xué)生學(xué)習(xí)的有力工具，下面結(jié)合對教材的研究和教學(xué)的體會，對教材例習(xí)題的作用，編寫的原則，例習(xí)題編寫的目標(biāo)測評方式給出個人的認(rèn)識，并結(jié)合人教B版選修2-2第一章第一單元導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義）給出我對例習(xí)題設(shè)計的思考.

一、教材例習(xí)題編寫的原則

1.明確性：幫助學(xué)生理解、鞏固教材的概念、公式、法則，提高學(xué)生的思維能力，開闊學(xué)生視野，感受數(shù)學(xué)的價值，幫助

學(xué)生進一步提出和解決問題；

2.適度性：題目數(shù)量、難度要適度，有利于學(xué)生對教材概念的理解，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和提問，提高學(xué)生思維能力；

3.系統(tǒng)性：注重不同知識間、不同學(xué)科間、不同領(lǐng)域間的聯(lián)系、整體要有系統(tǒng)的規(guī)劃，重點題目在不同的位置體現(xiàn)不同的作用.

二、教材例習(xí)題編寫的目標(biāo)測評表

根據(jù)以上分析，結(jié)合筆者的教學(xué)體會，制定以下教材例習(xí)題編寫的目標(biāo)測評表，供教師編寫例習(xí)題時參考.

注：①4.很能體現(xiàn)；3.比較能；2.一般；1.不能.②只要有一項是4分，就要考慮，或總分≥17分該題目可選用.（具體建議：理解核心概念3分以上，能力至少占一項，且此項得分在3分以上，后面5項指標(biāo)中至少要3項在3分以上，其余2項在2分以上，最低總分17分.）

三、范例

人教B版選修2-2第一章第1單元：導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對導(dǎo)數(shù)概念的要求：

導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

①通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.

②通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)建議：

通過實際背景和具體實例──速度、膨脹率、效率、增長率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的實例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù).體會凡變化的對象，都有變化率的問題，導(dǎo)數(shù)就是某個時刻的瞬時變化率.

根據(jù)課標(biāo)要求，我從教材例習(xí)題編寫的目的出發(fā)，以評價測評表為依據(jù)，對照分析人教B版選修2-2第一章第一單元導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義）的例、習(xí)題，分析修改的原因，并給出修改后的例習(xí)題和目的，詳細(xì)內(nèi)容見下表：

內(nèi)容安排 原例題、習(xí)題 修改原因 修改后的例、習(xí)題和設(shè)計目的1.1.1平均變化 本節(jié)的重點是理解函數(shù)f（x）在某一點x 0附近的平均變化率.教材引入：山坡—斜率—函數(shù)變化率例1 求 函 數(shù)y=x 2在 區(qū) 間［x 0，x 0+Δ x］的平均變化率.例2 求函數(shù)y=1 W x 在區(qū)間［x 0，x 0+Δ x］（x 2≠0，x 0+Δ x≠0） 的平均變化率.甲廠例題此處兩個例題全部求［x 0，x 0+Δ x］的平均變化率.應(yīng)該增加通過圖像分析變化率的例題，研究函數(shù)的不同方法：解析式、圖像、導(dǎo)數(shù)，同時提高學(xué)生的觀察能力，找準(zhǔn)思考的角度分析問題，規(guī)范學(xué)生表達能力，而例題2可以放在練習(xí)B例1求函數(shù)y=x 2在區(qū)間［x 0，x 0+Δ x］的平均變化率.（目的：鞏固概念）例2兩個工廠經(jīng)過治理，污水的排放量（W）與時間（t）的關(guān)系如圖1所示.試指出在接近t 0時哪個工廠治污效果較好.（目的：通過圖像直觀分析變化率，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)語言進行表達和交流）乙廠O t 0-Δ t t 0 t圖1 A組A組1.通過圖像分析變化率（好例子）2.求函數(shù)y=x 2在區(qū)間 1，4［ ］，3 1.甲乙兩人跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程與時間關(guān)系分別如圖2、3所示：3的平均變化率并比較大小.3.求函數(shù)y=x 2－2 x+3在區(qū)間2 3 1［ ］，8 2，7路程3［ ］3，1 0 0 m［ ］O 2，2，2，2 5 1［ ］的平均變化率.圖2 t 圖3 t O 2 1.1.1練習(xí)B組練習(xí)2重復(fù)運算太多，可以讓學(xué)生計算區(qū)間［1，2］，［2，3］的變化率，并比較大小，與例題1相對應(yīng)，一個是一般的區(qū)間，一個是具體的，并且讓學(xué)生從具體數(shù)據(jù)體會到函數(shù)y=x 2在x>0時平均變化率是增大的.練習(xí)3運算過于復(fù)雜，不利于學(xué)生理解概念，建議刪去.1.通過圖像比較平均變化率（好例子）2.求函數(shù)y=s i n x在區(qū)間 0，π［ ］6［ ］的平均變化率的大小.（好例子，有利于不同模塊間的聯(lián)系）和π 3，π 2（1）甲乙兩人哪個跑得快？（2）甲乙兩人百米賽跑，問接近終點時，誰跑得較快？（目的：通過圖像直觀分析變化率）（原題保留）2.求函數(shù)y=x 2在區(qū)間［1，2］，［2，3］的平均變化率，并比較大小.（目的：從具體數(shù)據(jù)體會到函數(shù)y=x 2在x>0時平均變化率是增大的.）B組1.求函數(shù)y=1 x 在區(qū)間［x 0，x 0+Δ x］（x 0≠0，x 0+Δ x≠0）的平均變化率.（目的：例題1的對應(yīng)練習(xí)）（原例題保留）

2.比較 函數(shù)y=s i n x在 區(qū)間 0，π［ ］和6 1.1.1練習(xí)［ ］的平均變化率的大小.（目的：有利于建立不同模塊間的聯(lián)系）（原題保留）π 3，π 2 1.1.2瞬時速度與導(dǎo)數(shù)概念本節(jié)重點是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從平均變化率到瞬時變化率的過程，明確函數(shù)的瞬時變化率就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).并且給出導(dǎo)函數(shù)概念.體會極限的思想.教材以1 0米跳臺跳水運動為例，分析運動員在t=2秒時的瞬時速度，函數(shù)h（t）=1 0+6.5 t－1 2 g t 2，重視過程.2 g t 2，求向上速度為0時經(jīng)過的時間.例2面積對溫度的膨脹率（二次函數(shù)型）（應(yīng)增加對導(dǎo)數(shù)概念理解的題目）.例1 火箭做豎直上拋運動，函數(shù)h（t）=1 0 0 t－1例題一方面讓學(xué)生通過運算瞬時變化率來體會導(dǎo)數(shù)的概念，還應(yīng)當(dāng)通過圖像等方式讓學(xué)生體會導(dǎo)數(shù)的概念，建議例2放在練習(xí)B中第2題與討論 火箭上升最大高度 偏離方向，成了解物理題，刪去例1包括思考與探究都保留.（典型模型的再次利用，體會瞬時速度就是導(dǎo)數(shù)）例2求函數(shù)y=a x 2+b x+c在x=1和x=2處的導(dǎo)數(shù).目的：體會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是求瞬時變化率，與例1在問題的問法上相反.利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).思考探索與研究通過圓的面積與圓周長的關(guān)系，球的體積與球的面積的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的概念建議放在導(dǎo)數(shù)一章的后面，作為一個完整的探究問題.觀察與思考：如圖4是我們見到的汽車過橋時的限速牌，圓牌上的速度（2 0），（4 0）你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)是平均速度還是瞬時速度？（放在導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)后面，源于生活，和學(xué)生生活密切相關(guān)，幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，同時滲透生活教育，我們應(yīng)當(dāng)多找些這種例子）圖4 A組A組A組1.求運動方程為s（t）=v 0t+1 1.求運動方程為s（t）=v 0t+1 y 2 a t 2在t=2秒時的瞬時速度.2.以初速度為4 0 m/s斜拋一石頭，拋擲方向與水平成4 5°，求石頭達到的最高高度.3.求函數(shù)y=a x+b的導(dǎo)數(shù).4.如果一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處為零，這個函數(shù)是什么函數(shù)？B組1.以初速度為5 0 m/s斜拋一手榴彈，拋擲方向與水平成6 0°，求手榴彈能擲多遠(yuǎn).2.求函數(shù)y=a x 2+b x+c在x=1和x=2處的導(dǎo)數(shù).練習(xí)2運算的復(fù)雜性干擾了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解，練習(xí)2可以換成具體的一次函數(shù)，更有利于學(xué)生的理解，然后問學(xué)生一般的一次函數(shù)在各點的導(dǎo)數(shù).B組練習(xí)1與A組的第2題重復(fù).其中膨脹率有利于幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念，故保留在B組練習(xí)2中.2 a t 2在t=2秒時的瞬時速度.目的：例題1的對應(yīng)練習(xí)2.圖5是函數(shù)f（x）的圖像，根據(jù)圖像分別求函數(shù)f（x） 在點x 0=1，x 0=2處的導(dǎo)數(shù).并思考函數(shù)y=a x+b在各點的導(dǎo)數(shù)是什么.目的：滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高歸納概括能力B組1.如果一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處為零，這個函數(shù)是什么函數(shù)？1 x 1.1.2練習(xí)O 2圖5

1.1.2練習(xí)2.（原例題2）一正方形鐵板在時，邊長是1 0 c m，加熱后鐵板會膨脹，當(dāng)溫度是時，邊長變?yōu)? 0（1+a t）c m，a為常數(shù)，試求鐵板面積對溫度的膨脹率.1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義體會由割線的斜率無限逼近切線的斜率，給出導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f′（x 0）是函數(shù)f（x）在點（x 0，f（x 0））的切線的斜率.教材的說法感到比較生硬.可用問題引導(dǎo)：求曲線在已知點A處的切線，只需要再求什么？（在割線無限逼近切線的過程中，割線的斜率就會趨近于切線的斜率，割線的斜率的極限就是切線的斜率，即函數(shù)在點A的導(dǎo)數(shù)）問題引導(dǎo)，體現(xiàn)過程，會更好些.例1 求拋物線y=x 2在點（1，1）的切線的斜率.例2求雙曲線y=1 6此處三個例題主要圍繞函數(shù)在的切線的求法，與本節(jié)課的核心概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解有所偏離.求曲線的切線僅僅是一個導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用問題，可以舉一個例子即可.其他的可以放在運算法則后面.對于曲線的切線準(zhǔn)確的理解可以通過思考探究題來呈現(xiàn)，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).例題3那種不過切點的情況可以放在后面.例1 二次函數(shù)f（x）的圖像如圖6所示，不用計算，試比較圖像上三個點B、C、D的導(dǎo)數(shù)值大小.目的：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，問法上引導(dǎo)學(xué)生由導(dǎo)數(shù)聯(lián)想幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，動手操作能力.思考：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值的大小與函數(shù)在此點附近變化的關(guān)系？目的：在于引導(dǎo)學(xué)生由導(dǎo)數(shù)的情況來研究函數(shù)的單調(diào)性，以及體會以直代曲思想.例2求拋物線y=x 2在點（1，1）的切線方程.目的：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例3函數(shù)y=x 3的圖像如圖7所示，以圖像上一點A（1，1）為切點，作函數(shù)的切線l，則直線l與函數(shù)圖像有幾個公共點？這與初中所學(xué)的切線的定義有什么不同？目的：準(zhǔn)確理解曲線的切線的定義.y 4 B 2（ ）處x在點 2，1 C D 2-2 5 O x的切線方程.（重復(fù)，可以換成一個理解以直代曲思想的題目）例3求拋物線y=x 2過點 5圖6 6的切線方程.（ ）2，例題6 4 y 2 A x-2-4 5圖7 A組A組A組y 1.求函數(shù)y=x 2在點（0.3，0.0 9），（1，1），（3，9）的切線的斜率.2.求下列曲線在給定點的切線的斜率（1）y=2 x 2，（1，2）；（2）y=x 2+1，（1，2）；（3）y=3 x－5，（2，1）；（4）y=1第1題與例題重復(fù)，第2題求切線的不同形式，而且是在運算法則介紹以前，只能用定義算，掩蓋了幾何意義的理解.B組第2題從方法上與第1題一樣，而且運算量大，不利于理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.1.如圖8，函數(shù)f（x）的圖像是折線段A B C，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f（f（0））=______；l i m 4 3 2 C 1 1.1.3練習(xí)B 1 2 3 4 5 6 x圖8 Δ x→0 f（1+Δ x）－f（1）Δ x x ，（1,1）.=______.（用數(shù)字作答）

B組1.已知曲線y=x 2-1和其上一點，這點的橫坐標(biāo)是-1，求曲線在這點的切線方程.（有此題，前面A組練習(xí)就可以不要）2.求拋物線y=x 2+3 x+4上一點（x 0，y 0）的切線方程.（一般點就不用推導(dǎo)）目的：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（2 0 0 8北京）2.求雙曲線y=1 x在點 2，1（ ）處的切線方程.2目的：例2對應(yīng)練習(xí)，函數(shù)類型換成反比例函數(shù).B組1.已知曲線y=x 2－1和其上一點，這點的橫坐標(biāo)是1，求曲線在這點的切線方程.2.畫出函數(shù)f（x）=s i n x（x∈R）包含原點的部分圖像，類比割線逼近切線的方法，畫出函數(shù)f（x）在原點出的切線.（鏈接動畫）目的：經(jīng)歷由割線無限逼近切線的過程，體會曲線切線的定義.聯(lián)系三角函數(shù)圖像和性質(zhì).A組A組A組1.已知質(zhì)點按照規(guī)律s=2 t 2+4 t運動，求（1）質(zhì)點開始運動后3 s內(nèi)的平均速度；（2）質(zhì)點在2 s到3 s內(nèi)的平均速度；（3）質(zhì)點在3 s時的瞬時速度.2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=a x+b（與練習(xí)2 A組第3題重復(fù)）；（2）y=1 x+1.已知質(zhì)點按照規(guī)律s=2 t 2+4 t運動，求（1）質(zhì)點開始運動后3 s內(nèi)的平均速度；（2）質(zhì)點在2 s到3 s內(nèi)的平均速度；（3）質(zhì)點在3 s時的瞬時速度.目的：復(fù)習(xí)平均變化率與瞬時變化率.2.高臺運動員相對于水面的高度關(guān)于時間的函數(shù)是h（t）=1 0+6.5 t－4.9 t 2，高度h關(guān)于時間t導(dǎo)數(shù)是速度v，則速度v關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是什么？目的：加深對導(dǎo)數(shù)的意義的理解.（參照人教A）3.下圖是某一運動路程關(guān)于時間的大致圖像.則運動速度與圖像的對應(yīng)可以是：習(xí)題1-1 2（重復(fù)）.3.已知函數(shù)f（x）=（x－1）2，求f′（x），f′（0），f′（2）.B組1.函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)與在x 0處的導(dǎo)函有何區(qū)別.2.商 f（x+Δ x）-f（x）Δ第1題復(fù)習(xí)平均變化率與瞬時變化率，保留.第2題與前面的重復(fù)，刪去第3題目的是區(qū)分導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)值，保留.B組第2題原來想放在導(dǎo)數(shù)概念的后面，后來反復(fù)考慮：如果放在哪里，在學(xué)生沒有經(jīng)過導(dǎo)數(shù)的運算過程，會給導(dǎo)數(shù)的概念帶來混亂，還是放在習(xí)題較好，在學(xué)生經(jīng)過大量導(dǎo)數(shù)運算后再認(rèn)識其中x的不變性會更好，體會變化中的不變性.x 與x有關(guān)嗎？令Δ x→0，x是否應(yīng)保持不變？3.分別求拋物線y=1（ ） （ ） （ ）A.勻速行駛 B.加速行駛 C.減速行駛4 x 2在點（-2，1）和（2，1）的切線方程.4.求拋物線y=1 4 x 2過點 4，7（ ）的4切線方程.x 與x有關(guān)嗎？令Δ x→0，x是否應(yīng)保持不變？3.已知函數(shù)f（x）=（x－1）2，求f′（x），f′（0），f′（2）.（目的：是區(qū)分導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)值）（重點體會函數(shù)的導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)原函數(shù)的變化情況）B組1.函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)與在x 0處的導(dǎo)函有何區(qū)別.2.商 f（x+Δ x）-f（x）Δ

4 x 2在點 （-2，1）和（2，1）的切線方程.（目的：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用）5.你已經(jīng)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，那你如何給你未學(xué)過導(dǎo)數(shù)的同學(xué)介紹什么是導(dǎo)數(shù)？（目的：對所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識的匯總：導(dǎo)數(shù)概念的不同表達形式）4.分別求拋物線y=1例習(xí)題編寫建議增加思考與討論借鑒近幾年高考題、模擬題中的優(yōu)秀題目，數(shù)學(xué)教育讀物中的優(yōu)秀題目，大學(xué)教材中的習(xí)題導(dǎo)數(shù)一章的探索與研究作業(yè)：利用所學(xué)的導(dǎo)數(shù)的知識，研究圓的面積和圓的周長，球的體積和球的表面積的關(guān)系，寫一篇研究論文，相信你會做好，做完與同學(xué)交流一下，以小組為單位在班級展示.目的；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用研究，合作意識的培養(yǎng)對原來例習(xí)題的總體印象：1.運算太多，干擾對概念的理解.2.重復(fù)太多，給老師學(xué)生心里造成負(fù)擔(dān).3.缺少思維訓(xùn)練，能力提升的分析.4.缺少靈活和動手操作層面的內(nèi)容.修改后：題量比較適當(dāng)，題目集中突出對概念、本質(zhì)的理解，注重數(shù)學(xué)思想的提煉，特別是數(shù)形結(jié)合思想，注重學(xué)生的體驗，通過圖像、解析式、運算研究函數(shù)性質(zhì)，注重學(xué)生思維能力的提升和動手能力培養(yǎng).

四、教材例習(xí)題編寫和利用的思考

1.教師觀念要轉(zhuǎn)變：“用教材教，不是教教材，不能為教完而教完”.

2.真正貫徹新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，新理念要落實在教材編寫中；

3.參與教材編寫的教師，用教材的區(qū)域的教師培訓(xùn)要到位；

4.教參編寫要到位，要盡量說明題目的目的和意圖；

5.借鑒近幾年高考題、模擬題中的優(yōu)秀題目，數(shù)學(xué)教育讀物中的優(yōu)秀題目，大學(xué)教材中的優(yōu)秀習(xí)題.

1.中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.人民教育出版社，2003.

2.嚴(yán)士建.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀［M］.南京：江蘇教育出版社，2004.

3.人民教育出版社，中學(xué)數(shù)學(xué)教材試驗研究所.人教B版《數(shù)學(xué)》選修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.人民教育出版社，中學(xué)數(shù)學(xué)教材試驗研究所.人教B版《數(shù)學(xué)》選修2-2教師教學(xué)用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.人民教育出版社，中學(xué)數(shù)學(xué)教材試驗研究所.人教A版《數(shù)學(xué)》選修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007.

6.人民教育出版社，中學(xué)數(shù)學(xué)教材試驗研究所.人教A版《數(shù)學(xué)》選修2-2教師教學(xué)用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.

7.張景中，任宏碩.漫畫數(shù)學(xué)［M］.北京：中國少年兒童出版社，2003.

8.張奠宙，丁傳松，柴俊.情真意切話數(shù)學(xué)［M］.北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2011.■

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