張興福，李博峰，魏德宏，劉 成

1.廣東工業(yè)大學(xué) 測繪工程系，廣東廣州510006；2.同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海200092；3.鐵道第三勘察設(shè)計院集團有限公司 測繪分院，天津300251

1 引 言

高分辨率、高精度的地球重力場模型在利用GPS技術(shù)快速確定正常高過程中發(fā)揮重要的作用［1－2］，隨著 CHAMP、GRACE 和 GOCE 等 重 力衛(wèi)星的成功實施，全球重力場模型的中低階位系數(shù)的精度提高了約兩個量級甚至更高［3－10］。因此，如何綜合利用由不同反演方法及數(shù)據(jù)源求得的具有不同精度及分辨率的地球重力場模型并分析其用于GPS正常高測量的精度，具有重要的現(xiàn)實意義。2008年EGM2008模型的公布，使得重力場模型所表示的全球大地水準(zhǔn)面的精度和分辨率均達到了前所未有的水平，其分辨率約5′［11－15］。文獻［16］分析表明，該模型在我國區(qū)域的整體精度約20cm，華北地區(qū)高達9cm［16］，而EGM2008模型僅采用了由不足5年GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)獲得的ITG－GRACE03S模型的有關(guān)信息。

近年來，國際相關(guān)科研機構(gòu)發(fā)布了利用CHAMP、GRACE、GOCE、Lageos、SLR 及地面重力測量等數(shù)據(jù)獲得的一系列高精度的地球重力場模型。本文重點探討ITG－GRACE2010S、AIUB－GRACE03S、EIGEN－6C、GOCO02S、DIR＿R3、TIM＿R3、SPW＿R2、gif48以及 EGM2008模型中低階位系數(shù)的精度，特別是利用長時間GRACE和GOCE觀測數(shù)據(jù)以及最新DTU10全球重力異常數(shù)據(jù)［17］對重力場模型精度的改進情況。通過分析不同模型不同頻域所對應(yīng)的位系數(shù)精度，探討不同模型組合應(yīng)用，提高區(qū)域模型高程異常精度的方法。

2 原理與方法

2.1 地球重力場模型的精度評定方法

評價地球重力場模型精度的常用方法有兩種：①通過地球重力場位系數(shù)方差計算大地水準(zhǔn)面的階誤差及其累積誤差，該精度稱為內(nèi)符合精度；②通過與已有高精度重力場模型比較，計算模型間位系數(shù)差值所對應(yīng)的大地水準(zhǔn)面差或通過已有的GPS／水準(zhǔn)及地面重力等數(shù)據(jù)對其進行檢核，該精度稱為外符合精度。

若將地球重力場位系數(shù)方差或不同位系數(shù)間的差值表示成大地水準(zhǔn)面累積誤差的形式，則精度評定公式為

式中，Nmax為計算采用的模型最高階數(shù)；ae為參考橢球的長半徑；δˉCnm和δˉSnm為位系數(shù)方差或兩組位系數(shù)的差值。大地水準(zhǔn)面的階誤差類似式（1），只對每階變量求和即可。

采用已有的GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)評定模型精度的公式為

式中，Hi、ζi和hi分別為第i個點的大地高、模型高程異常和正常高；n為用于評價模型精度的GPS／水準(zhǔn)點個數(shù)；Δ＾H為模型對應(yīng)的似大地水準(zhǔn)面和我國正常高基準(zhǔn)的系統(tǒng)偏差；m為用于計算該偏差的GPS／水準(zhǔn)點個數(shù)。值得注意的是，若采用相同的GPS／水準(zhǔn)點計算Δ和mζ，則公式（2a）中分母應(yīng)取n－1（此時m＝n）；若不考慮偏差影響，則取Δ＾H＝0。

2.2 模型尺度參數(shù)ae對模型高程異常計算的影響

不同地球重力場模型，如EGM2008、EIGEN－6C等，其尺度參數(shù)GM通常取GM＝0.398 600 441 5E＋15（引力常數(shù)與地球質(zhì)量的乘積，本文所有模型GM均為此值），而尺度參數(shù)ae的取值不同，如EGM2008模型取ae＝6 378 136.3m，EIGEN－6C模型取ae＝6 378 136.46m等。為分析模型尺度參數(shù)ae的不同取值對模型高程異常計算的影響，現(xiàn)選擇EGM2008模型作為參考模型，階次取2160，沿經(jīng)度113°從緯度－90°～90°每隔1°選取一個計算點，將ae＝6 378 136.3m作為參考值，其他幾個常用取值的計算結(jié)果與參考值對應(yīng)的結(jié)果比較，差值統(tǒng)計結(jié)果見表1。結(jié)果表明，目前幾個常用的ae數(shù)值對應(yīng)的模型高程異常與參考值對應(yīng)的模型高程異常的差異最大為3.0mm，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5mm。值得說明的是，本文僅有AIUB－GRACE03S模型取ae＝6 378 137m，故不同模型間ae的差異對模型高程異常的影響值絕大部分不超過1mm，因此，下文分析中可忽略不同模型尺度參數(shù)ae對結(jié)果的影響。

表1 ae不同取值對高程異常的影響Tab.1 The effects on height anomaly for the different ae mm

2.3 多類重力場模型聯(lián)合確定GPS點正常高的方法

根據(jù)Bruns公式，GPS點的模型高程異?？衫靡欢A次的地球重力場模型計算［1，16，18］

式中，ρ、φ和λ分別為計算點P的地心向徑、地心緯度和經(jīng)度；γP為點P的正常重力；為完全規(guī)格化位系數(shù)，其中偶次帶諧系數(shù)代表實際引力位與正常引力位的系數(shù)之差為完全規(guī)格化Legendre函數(shù)。

目前諸多重力場模型的分辨率各不相同，特別是僅利用衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)（如GRACE衛(wèi)星）只能獲得中低階重力場位系數(shù)，且一般都具有較高的精度，但其最高階次一般不超過180階，即使聯(lián)合GOCE衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)，其最高階次也不超過250。因此可考慮采用譜組合技術(shù)來確定GPS點的模型高程異常，即任意GPS點全頻域的高程異?？杀硎緸槿缦滦问?/p>

式中，n1為全頻域高程異常分解的頻域數(shù)，一般取n1＝3，即將全頻域高程異常分為3部分：ζ1、ζ2和ζ3，其分別表示模型中低階位系數(shù)、高階和超高階位系數(shù)以及模型截斷誤差對應(yīng)的高程異常，模型截斷誤差可采用SRTM／DTM2006.0剩余地形模型計算［19－20］，該項在地形起伏大的地區(qū)影響較大，在平坦地區(qū)影響很?。涣硗鈨刹糠志刹捎貌煌Ｐ偷牟煌A次計算

式中，Nmin和Nmax分別為所采用模型的最低階和最高階；其他參數(shù)含義與式（3）相同。用式（4）計算任意點模型高程異常的方法稱為簡單譜組合方法，雖然采用簡單譜組合方法可獲得任意點的全頻域的高程異常，但在不同區(qū)域，每個簡單譜組合模型得到的高程異常的精度也會不同，因此，可采用對多個簡單譜組合模型求得的高程異常進行加權(quán)處理，以提高高程異常計算的精度和穩(wěn)定性

式中，取權(quán)Pi＝C／σ2i，σi可利用若干個 GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)按式（2）計算，C為常數(shù)；n2為計算所采用簡單譜組合模型的個數(shù)；ζi為每個簡單譜組合模型的計算結(jié)果。用式（5）計算GPS點高程異常的方法稱為加權(quán)譜組合方法。

3 9種地球重力場模型的精度分析與比較

截至2011年12月，國際相關(guān)科研機構(gòu)先后發(fā)布了多達幾十個高精度的地球重力場模型，最具代表性的模型有：ITG－GRACE2010S、AIUBGRACE03S、EIGEN－6C、GOCO02S、DIR＿R3、TIM＿R3、SPW＿R2、gif48以及 EGM2008等。其中EGM2008及EIGEN－6C屬于超高階地球重力場模型，模型階分別高達2190和1420。下文將分析這9個典型重力場模型的精度。

3.1 各重力場模型大地水準(zhǔn)面精度分析

圖1為由各重力場模型位系數(shù)方差按式（1）求得的大地水準(zhǔn)面的階誤差和累積誤差，即為各模型的內(nèi)符合精度。ITG－GRACE2010S、AIUBGRACE03S、EIGEN－6C、GOCO02S 及 DIR＿R3模型中低階位系數(shù)與EGM2008模型相比。各模型大地水準(zhǔn)面階誤差小于EGM2008模型所對應(yīng)的階次分別為：143、137、188、165和187，各模型大地水準(zhǔn)面累積誤差小于EGM2008模型所對應(yīng)的階次分別為：163、156、252、207 和240。而TIM＿R3和SPW＿R2模型分別在65～165、83～150階范圍內(nèi)的大地水準(zhǔn)面階誤差小于EGM2008模型，SPW＿R2模型大地水準(zhǔn)面累積誤差均大于EGM2008模型，TIM＿R3模型大地水準(zhǔn)面累積誤差在79～210階范圍內(nèi)小于EGM2008模型，主要因為這兩個重力場模型都是僅利用短時間的GOCE觀測數(shù)據(jù)求得。gif48模型大地水準(zhǔn)面階誤差以及累積誤差小于EGM2008模型的階范圍分別為9～128、28～202。由于EIGEN－6C、GOCO02S及 DIR＿R3模型是聯(lián)合了GRACE衛(wèi)星以及GOCE衛(wèi)星重力梯度等數(shù)據(jù)獲得的，100階后，EIGEN－6C和GOCO02S模型的精度要優(yōu)于ITG－GRACE2010S模型，DIR＿R3模型精度也優(yōu)于同階次的gif48模型，說明GOCE衛(wèi)星重力梯度數(shù)據(jù)能有效改善100階后的重力位系數(shù)的精度。

3.2 利用高精度GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)對各模型進行譜分析

為了對上文給出的9種地球重力場模型不同階次精度作進一步分析，選擇我國東北某4條客運專線的高精度GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)作試驗，線路平均長度約200km。共收集GPS／水準(zhǔn)點430個，其中GPS為客運專線的CPI和CPII控制點，坐標(biāo)基準(zhǔn)為2000國家大地坐標(biāo)系，水準(zhǔn)測量為二等，高程基準(zhǔn)為1985國家高程基準(zhǔn)。分析過程分兩步：第1步利用實測GPS數(shù)據(jù)分析各模型與EGM2008模型間的差異；第2步用實測GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)分析各模型高程異常精度及可靠階次。

第1步是利用各模型不同階次的位系數(shù)計算430個GPS點的模型高程異常，所有模型均與EGM2008模型對應(yīng)值進行比較，差值的標(biāo)準(zhǔn)差見圖2。結(jié)果表明：①前70階各模型與EGM2008模型高程異常差異很?。虎谠?0～135階內(nèi)，各模型與EGM2008模型的差異幾乎是一致的，意味這些模型精度相當(dāng)，135階后，gif48模型與EGM2008模型的差異及其變化較其他模型要??；③在135～220階內(nèi)，當(dāng)模型階次超過150階后，AIUB－GRACE03S模型與EGM2008模型的差異迅速變大，而gif48模型與EGM2008模型的差異近乎常數(shù)，當(dāng)模型階次超過160階后，ITGGRACE2010S模型與EGM2008模型的差異迅速變大，當(dāng)模型階次超過180階后，GOCO02S和SPW－R2模型與EGM2008模型的差異逐漸變大，且這兩個模型與其他模型的差異也逐漸變大，其他模型與EGM2008模型的差異基本是一致的；④當(dāng)模型階次超過220階后，EIGEN－6C模型與EGM2008模型的差異近乎常數(shù)，而DIR－R3和TIM－R3模型與EGM2008模型的差異逐漸變大；⑤雖然gif48和EIGEN－6C模型均使用了DTU10全球重力異常數(shù)據(jù)，但EIGEN－6C模型還增加了約6.7個月GOCE數(shù)據(jù)，這可能是在135～220階范圍內(nèi)，兩模型與EGM2008模型的差異不同的主要原因。

第2步具體分析過程為：①使用實測GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)對各模型不同階次的精度進行分析，為避免各模型的譜泄露，采用譜組合技術(shù)，即被分析模型所選擇階次以外的位系數(shù)均用EGM2008模型擴充到2160階次，并忽略這些補充位系數(shù)對結(jié)果的影響，如被分析模型選擇階次為N，則N＋1階至2160階用EGM2008位系數(shù)補充；②由于測區(qū)地勢起伏相對平坦，可不考慮RTM的影響；③各模型從60階開始計算分析，每條線路均獨立計算模型所對應(yīng)的似大地水準(zhǔn)面與我國高程基準(zhǔn)的系統(tǒng)偏差，綜合4條線路數(shù)據(jù)計算各模型不同階次的精度，結(jié)果見圖3。

圖1 各模型大地水準(zhǔn)面階誤差（a）和大地水準(zhǔn)面累積誤差（b）Fig.1 The degree error（a）and accumulative error（b）of geoid height for all models

圖2 各模型不同階次對應(yīng)的模型高程異常與EGM2008對應(yīng)結(jié)果差值的標(biāo)準(zhǔn)差Fg.2 STDs of height anomaly differences between all 9GGMs and EGM2008for different degrees

圖3 各模型從60階到最高階的模型高程異常與GPS／水準(zhǔn)點高程異常差值的標(biāo)準(zhǔn)差Fig.3 STDs of height anomaly differences between model height anomaly from degree 60to max degree and GPS／leveling height anomaly

圖3結(jié)果表明：①AIUB－GRACE03S、DIR＿R3、GOCO02S、ITG－GRACE2010S、SPW＿R2以及TIM＿R3模型可靠階次分別為150、220、170、160、180以及210，判定的依據(jù)是當(dāng)被評價模型達到一定階次后其精度迅速變差，則該階次即為模型可靠階次（或信號丟失的階次）；②當(dāng)模型階次為2～100階時，所有模型與EGM2008模型精度相當(dāng)；③當(dāng)模型階次為201～360階時，EIGEN－6C和gif48模型精度與EGM2008模型相當(dāng)，而當(dāng)模型階次為101～200階時，兩模型整體精度優(yōu)于EGM2008模型；④DIR＿R3模型在101～210階范圍內(nèi)整體精度優(yōu)于EGM2008模型；⑤GOCO02S、SPW＿R2以及TIM＿R3模型在101～170階范圍內(nèi)與EGM2008模型精度相差不大，部分階次精度要優(yōu)于EGM2008模型。由于用于本文分析的模型來自不同的科研機構(gòu)，計算方法也不盡相同，且在全球范圍內(nèi)EGM2008模型具有公認(rèn)的較高精度，因此通過實測GPS數(shù)據(jù)或GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)可基本判定一個模型的可靠階次，且模型間可相互檢核。

4 多類重力場模型聯(lián)合確定GPS點正常高的精度分析

本文所分析的9種地球重力場模型的分辨率及精度各不相同，為了充分挖掘各模型所蘊涵的重力場信息，在上文分析各重力場模型精度的基礎(chǔ)上，本節(jié)將采用簡單譜組合方法（獲得的模型命名為組合模型）和加權(quán)譜組合方法（獲得的模型命名為綜合模型）求解任意GPS點的全頻域高程異常并分析其精度。

4.1 簡單譜組合方法精度分析

簡單譜組合方法是利用各模型精度較高的譜域位系數(shù)或可靠譜域位系數(shù)，其余譜域位系數(shù)用EGM2008模型補充至2160階次，通過該簡單組合模型從而獲得任意GPS點全頻域高程異常。

表2給出了各模型確定的模型高程異常與430個GPS／水準(zhǔn)實測高程異常的比較結(jié)果，其中“EIGEN－6C（1420）／EGM2008”表示 EIGEN－6C與EGM2008模型進行簡單譜組合，“1420”為EIGEN－6C所采用的階次，“2160”為組合模型的最高階次，其他情況依次類推。表2結(jié)果表明：①4條線路獨立計算各模型對應(yīng)的似大地水準(zhǔn)面與我國高程基準(zhǔn)的系統(tǒng)偏差（以下簡稱為高程系統(tǒng)偏差，即各模型所確定的模型高程異常與GPS／水準(zhǔn)點確定的高程異常差值的平均值，見2.1節(jié)）后的精度比4條線路整體計算高程系統(tǒng)偏差的精度均有不同程度的提高，精度最高約提高34%，說明各模型對應(yīng)的高程系統(tǒng)偏差在不同區(qū)域有所差異，消除這種差異可提高各GPS點模型高程異常精度；②EIGEN－6C模型比同階次的EGM2008模型的整體精度要高，對應(yīng)360、720、1420階的模型精度分別為0.106m、0.056m和0.052m，而與同階次的gif48模型差異不大；③當(dāng)各模型的階次為2160時，EGM2008模型精度為0.059m、EIGEN－6C（1420）／EGM2008模型的精度為0.052m、gif48（360）／EGM2008模型的精度為0.051m，其余組合模型的精度均優(yōu)于0.050m，但它們相互間的差異不大，組合模型比EGM2008模型精度提高至少12%，特別是各模型135階與EGM2008模型的組合結(jié)果更好，說明各模型的中低階位系數(shù)比EGM2008模型精度高，原因是這些模型均采用了更長時間的GRACE衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)或聯(lián)合了GOCE衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)或采用了最新的DTU10全球重力異常數(shù)據(jù)。

表2 各模型確定的高程異常與實測GPS／水準(zhǔn)結(jié)果的比較Tab.2 The statistic results of the height anomaly differences between GPS／leveling and the height anomaly from all models m

續(xù)表2

4.2 加權(quán)譜組合方法精度分析

上文采用所有430個GPS／水準(zhǔn)點對簡單譜組合方法的精度進行了分析，但在實際應(yīng)用中，若能實現(xiàn)綜合各類重力場模型信息，用盡量少的GPS／水準(zhǔn)點獲取待求GPS點穩(wěn)定的、高精度的高程異常才更具有現(xiàn)實意義，故本文探討采用加權(quán)譜組合方法實現(xiàn)該目的。其過程是先利用所有GPS點數(shù)據(jù)大致判定各模型的可靠階次（圖2或圖3），然后確定各簡單譜組合模型的組合階次，再選擇一定量的GPS／水準(zhǔn)點作為已知點，統(tǒng)計各組合模型的精度，最后對待求GPS點的所有簡單譜組合模型結(jié)果加權(quán)得到該GPS點的全頻域高程異常。

現(xiàn)從每條線路中均勻選擇6個GPS／水準(zhǔn)點作為已知點，其余406個GPS／水準(zhǔn)點作為檢核點進行精度評定，已知GPS／水準(zhǔn)點平均間距約40km，利用選擇的已知GPS／水準(zhǔn)點獨立確定每條線路高程系統(tǒng)偏差，并統(tǒng)計各綜合模型精度，結(jié)果見圖4。圖中，最小值為其絕對值，“EGM2008”表示EGM2008模型的精度統(tǒng)計信息，“EGM＿COM＿135”表示綜合模型，即由每個簡單譜組合模型（見4.1節(jié)）加權(quán)求得（見2.3節(jié)）；每個簡單譜組合模型前135階利用各自模型計算，135階后利用EGM2008模型補充，其他情況依次類推。另外，綜合模型在確保每個簡單譜組合模型的中低階位系數(shù)不超出其可靠階次或最高階次的前提下，盡可能地利用所有9種模型的信息。圖4結(jié)果表明：①EGM2008模型的精度為0.061m，比表2中的結(jié)果（0.059m）稍差一些，主要是由于兩次計算所采用的已知GPS／水準(zhǔn)點數(shù)量不同造成的；②其他8種綜合模型的精度介于0.049m和0.052m之間，平均精度為0.051m，比僅利用EGM2008模型精度平均提高了16.4%，無論是“EGM＿COM＿135”還是“EGM＿COM＿180”綜合模型結(jié)果都較為穩(wěn)定，模型高程異常與實測高程異常的差值均在±15cm內(nèi)。

圖4 綜合模型精度統(tǒng)計結(jié)果Fig.4 The statistic results from combination models

5 結(jié) 論

（1）數(shù)值分析結(jié)果表明各地球重力場模型的不同尺度因子ae對模型高程異常計算的影響可以忽略。本文分析的9種地球重力場模型中，AIUB－GRACE03S等8種模型的中低階位系數(shù)（約135階）整體精度要比同階次的EGM2008模型高，所有模型精度提高階次主要集中在100～135階，部分模型如EIGEN－6C精度提高的階次更高。

（2）在CGCS2000大地坐標(biāo)基準(zhǔn)下，通過GPS點的大地坐標(biāo)以及EGM2008模型或GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)可基本確定各模型的可靠階次。每一種模型（包括組合或綜合模型）對應(yīng)的似大地水準(zhǔn)面和我國1985國家高程基準(zhǔn)存在系統(tǒng)偏差，且不同區(qū)域系統(tǒng)偏差不同，獨立確定區(qū)域高程系統(tǒng)偏差能提高精度，提高量為7.9%～34.2%。

（3）簡單譜組合方法（組合模型）能充分利用各模型的高精度中低階位系數(shù)，組合模型比EGM2008模型精度提高至少12%。加權(quán)譜組合方法（綜合模型）能綜合利用各類重力場模型信息，求得穩(wěn)定、高精度的模型高程異常，本文算例得到的高程異常的平均精度為0.051m，且精度穩(wěn)定，模型高程異常與實測高程異常的差值均在±15cm內(nèi)。值得說明的是，使用該方法時，每個簡單譜組合模型對應(yīng)的高程系統(tǒng)偏差可能不同，加權(quán)處理前需要先校正該偏差，加權(quán)處理后，也需要利用已知GPS／水準(zhǔn)點重新計算該高程系統(tǒng)偏差，從而確定有無必要重新進行系統(tǒng)偏差校正。

（4）綜合各類重力場模型實現(xiàn)區(qū)域GPS高程轉(zhuǎn)換具有很好的應(yīng)用價值，利用少量的GPS／水準(zhǔn)點即可獲得穩(wěn)定的、高精度的模型高程異常。本文方法結(jié)合GPS測量技術(shù)可應(yīng)用于數(shù)字化、信息化成圖、土木工程建設(shè)等方面，實現(xiàn)低成本、快速高程測量，同時也可用于不穩(wěn)定地區(qū)原有水準(zhǔn)點的穩(wěn)定性檢測（如在該區(qū)域探測超過15cm的水準(zhǔn)點沉降）。

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