王丙參，張凡弟，田玉柱

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

1 問題的表述及模型的建立

(1)給定時(shí)間內(nèi)的短期集合風(fēng)險(xiǎn)模型

(2)長(zhǎng)期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型

模型(1)考慮的僅是一個(gè)固定時(shí)間內(nèi)的理賠次數(shù)和總理賠量.模型(2)討論的是對(duì)?t≥0時(shí)的概率結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用[5].

2 基本性質(zhì)

定理1 在長(zhǎng)期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中有

mgfmst(x)=mNt(logmXi(x))，
E[St]=E[Xi]E[Nt]
Var(St)=E[Nt]Var[Xi]+(E[Xi])2Var[Nt].

證明

mst(x)=E[exSt]=E[E[exSt|Nt]]=
E[Mxi(t)Nt]=mNt(logmXi(x)).

所以，

3 風(fēng)險(xiǎn)模型的性質(zhì)

定理2 在自回歸模型中，N0～P(r0)，{εt}是泊松過程，其中εt～P(λt)且λ1<λ2<…<λt<…，則Nt～P(λt+aE(Nt-1))，其中

E(Nt-1)=λt-1+aλt-2+…+d-1r0.

證明

所以N1～P(λ1+ar0)，由數(shù)學(xué)歸納法可證對(duì)?t∈{0，1，2，…}，Nt～P(λt+aE(Nt-1)).

定理3 設(shè)Nt～P(rt)，Xt1，Xt2，…，i.i.d，且與{Nt}獨(dú)立，則(1)φst(x)=exp{rt[φXt1(x)-1]}；(2)若E(Xt1)<∞，則E(St)=rtE(Xt1)，

證明

exp{rt[φXt1(x)-1]}

(2)證法1

證法2

特別有推論:

在推論(1)的條件下，當(dāng)

ESt在t時(shí)達(dá)到相對(duì)極小值；

同理可得，在推論(2)的條件下，當(dāng)

ESt在t時(shí)達(dá)到相對(duì)極小值；

在推論(3)的條件下，當(dāng)

ESt在t時(shí)達(dá)到相對(duì)極小值.

這樣有

如果n足夠大，則上面近似可以放心地使用，但我們很難對(duì)足夠大定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

在某些情形下我們不得不求助于一些近似公式，尤其在實(shí)際計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)的時(shí)候.隨著rt的增大近似的效果會(huì)改善，它們是漸進(jìn)精確的，這是因?yàn)樵跇O限意義下它們同基于中心極限定理的正態(tài)逼近.但這種近似在保險(xiǎn)實(shí)際中不能令人滿意，尾概率的近似誤差偏大，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是st的三階中心矩通常大于0，而正態(tài)分布的三階中心矩等于0，而尾概率對(duì)應(yīng)于大額理賠的概率，因此我們需要更為精細(xì)的近似.

參考文獻(xiàn)：

[1]周俊士，成世學(xué)，程乾生.個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型的復(fù)合possion模型近似[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2003，7(2).

[2]R.卡爾斯，等.現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論[M].唐啟鶴，等譯.北京:科學(xué)出版社，2005(3).

[3]李賢德，楊靜平.個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型的復(fù)合Poisson逼近[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2001，37(5).

[4]施久玉.一類聚合風(fēng)險(xiǎn)模型[J].運(yùn)籌與管理，2004，16(6).

[5]施久玉.整值自回歸聚合風(fēng)險(xiǎn)模型-INARCR[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25(3).