摘要：分離變量法在解波動(dòng)方程及熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題是很常用的方法，通過把所求方程的解分離成若干分別只含有一個(gè)自變量的待定函數(shù)之積，再將這些特解做適當(dāng)?shù)木€性組合，就可得初邊值問題的解。

關(guān)鍵詞：分離變量法；疊加原理；Sturm-Liouville問題；特征函數(shù)；特征值

中圖分類號(hào)：TN248.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9599 （2012） 17-0000-02

1 Sturm-Liouville問題

對(duì)問題

假設(shè)：

（1） 和 在 上連續(xù)，

（2） 在 上連續(xù)且 或 在 內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)處有一階奇性

（3） 在 上連續(xù)且

則：（1）存在無窮多個(gè)特征值

當(dāng) 時(shí)，

對(duì)應(yīng)這些特征值有無窮多個(gè)特征函數(shù) ……

（2）設(shè) 是特征值 所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，那么所有的 組成一個(gè)正交函數(shù)系

（3）若函數(shù) 在 有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且滿足所給的邊界條件，則 在 內(nèi)按特征函數(shù)展開為絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)

其中

2 分離變量法

（1）定義：利用具有變量分離形式的特解來構(gòu)造初邊值問題的解的方法稱為分離變量法。

（2）下面以齊次波動(dòng)方程的初邊值問題為例來具體介紹分離變量法

我們求（1）的可以分離變量的不恒等于零的特解：

并要求它滿足齊次邊界條件（3）（4）。

將（5）代入方程（1）得到

將上式分離變量，有 （6）

由于在（6）式中，左邊僅是t的函數(shù)，右邊僅是x的函數(shù)，左右兩端要相等，只有等于同一個(gè)常數(shù)才可能，記為 ，就得到

（7）

（8）

這樣方程（6）就被分離為兩個(gè)常微分方程，求解這兩個(gè)方程來得到（1）的特解，為使此解是滿足齊次邊界條件的非平凡解，就必須找方程（8）滿足邊界條件的非平凡解。

（9）

（1）當(dāng) <0時(shí)， ，要使它滿足邊界條件（9），就必須

只能 。故在 <0的情況得不到非平凡解。

（2）當(dāng) 時(shí)， ，要滿足邊界條件（9）， 也只能恒等于零。

（3）當(dāng) 時(shí)， 。邊界條件 知 ，再由 可知，為了使 ，就必須 。于是

。這樣就找到一族非零解 （10）

稱（10）右端的函數(shù)為常微分方程（8）滿足邊界條件（9）的固有函數(shù)（或特征函數(shù)），而 稱為響應(yīng)的固有值（或特征值）。

將固有值 代入方程（7），可得其通解為

其中 為任意常數(shù)。這樣就得到方程（1）滿足齊次邊界條件（3），（4）的下列分離變量形式的特解：

再由疊加原理，作這種特解的適當(dāng)?shù)木€性組合，得出初邊值問題的解

接下來決定常數(shù) ，在這里問題

對(duì)應(yīng)上面的問題一Sturm-Liouville問題，相當(dāng)于取

由初始條件有 ，

對(duì)應(yīng)Sturm-Liouville問題結(jié)論（3）的情形

， ， 。

同理， ，

最終，得到用級(jí)數(shù)形式表示的齊次波動(dòng)方程的初邊值問題的解為

其中， ， 。

3 在不同邊界條件下對(duì)方程 的特征值及特征函數(shù)的討論

隨著 和 在不同邊界條件下方程

的特征值及特征函數(shù)如下：

邊界條件特征值特征函數(shù)

（k=1，2，3……）

（k=1，2，3……）

，其中 是方程 的第k個(gè)根

4 通過例題解析體現(xiàn)分離變量法的應(yīng)用

例：

邊界條件齊次的且是第一類的，令

得固有函數(shù) ，且

于是 ，再由初始條件確定常數(shù) 及 ，由初始值得 ，

（當(dāng) 時(shí)）

因此所求解為

5 小結(jié)

本文借助Sturm-Liouville問題的結(jié)論以齊次波動(dòng)方程的初邊值問題為例介紹了分離變量法，分離變量法還可以解決熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題，在數(shù)學(xué)物理方程中應(yīng)用十分廣泛，又對(duì)不同邊界條件下經(jīng)常要求的方程 的特征值和特征函數(shù)加以歸納，直接使用結(jié)論可簡(jiǎn)化計(jì)算，最后以實(shí)例展示分離變量法的具體應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]谷超豪.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002，7.