摘要：有限元法已成為工程分析中強有力的數(shù)值分析工具，在多數(shù)工科院校中，“有限單元法”已經(jīng)普遍作為研究生課程中一門重要的的學(xué)位課。實踐證明，通過教學(xué)改革加強基礎(chǔ)理論教學(xué)、工程概念，增強學(xué)生通用軟件編寫能力，探討通用有限元分析軟件應(yīng)用與工程實際問題的解決對學(xué)生系統(tǒng)掌握該課程的理論和方法具有積極的作用，提高了學(xué)生利用有限元方法解決實際工程問題的能力，為本專業(yè)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：有限元教學(xué)；工程應(yīng)用；教學(xué)改革

作者簡介：劉義（1974-），男，山東平原人，河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，講師；薛玉君（1971-），男，河南焦作人，河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，教授。（河南洛陽471003）

基金項目：本文系河南省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題（課題編號：[2010]-JkGHAG-0188）的研究成果。

中圖分類號：G642.0#8195;#8195;#8195;#8195;#8195;文獻標(biāo)識碼：A#8195;#8195;#8195;#8195;#8195;文章編號：1007-0079（2012）16-0040-02

機械工程專業(yè)研究生需要掌握計算機科學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的理論方法，研究各種機械系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)及其元件的工作原理、運動和動力學(xué)性能、模擬仿真及優(yōu)化的理論方法，振動與噪聲、摩擦、磨損與潤滑、傳動、創(chuàng)新發(fā)明與設(shè)計及計算方法等。作為一種相對成熟的數(shù)值計算方法——有限元方法成為機械工程專業(yè)研究生進行機械設(shè)計、解決工程實際問題必不可少的工具之一，因而有限單元法普遍列入了研究生的學(xué)位課程。同時有限元法是一個龐大和復(fù)雜的理論體系，需要有較深厚的數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)知識，學(xué)生在一定時間內(nèi)掌握有限元法比較困難，因此如何提高有限元法教學(xué)效果成為一個急需解決的問題。

一、傳統(tǒng)教學(xué)方法存在的問題

教學(xué)方式的改革是我國當(dāng)前高教改革的重要內(nèi)容之一。在有限元傳統(tǒng)的接受式教學(xué)模式中，課程的“教”和“學(xué)”的內(nèi)容都是預(yù)先設(shè)定好的，而且內(nèi)容多是前人的經(jīng)驗積累；大多數(shù)的授課教師在教學(xué)過程中往往只注重于傳統(tǒng)理論知識的講解，這在一定程度上不利于啟發(fā)教學(xué)對象的創(chuàng)新性思維。有限元方法作為一門同工程實踐聯(lián)系較強的課程，應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生解決實際工程問題的能力，而不僅僅只是局限于理論知識的灌輸。只有讓學(xué)生在自己動手解決實際工程問題的過程中，體驗到該課程強大的解決問題的能力和作用，才能夠激勵學(xué)生掌握有限元方法的熱情，調(diào)動學(xué)習(xí)的主觀能動性。因此，要將有限元教學(xué)從傳統(tǒng)的以教師為主體的教學(xué)模式向以學(xué)生為主體的教學(xué)模式進行轉(zhuǎn)變。在教學(xué)過程中，教師的作用更多體現(xiàn)在引導(dǎo)、組織問題的討論和啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。只有提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，才能夠獲得更好的教學(xué)效果。

“有限元方法”是在基礎(chǔ)力學(xué)課程中不斷發(fā)展而獨立出來的一門課程。教師在教學(xué)時，應(yīng)該根據(jù)機械工程專業(yè)的研究生的培養(yǎng)目標(biāo)，確定相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容。對機械工程專業(yè)研究生來說，該課程教學(xué)內(nèi)容相對多：既包括常見的平面桿系及平面應(yīng)力、應(yīng)變問題等二維的有限元分析的基本方法，同時，又包括三維問題的有限元分析和靜力學(xué)、動力學(xué)、線性有限元問題的分析。非線性問題是工程中最為常見的問題，非線性有限元問題的分析應(yīng)該作為一個教學(xué)的重點和難點。在教學(xué)過程中應(yīng)該時刻體現(xiàn)教學(xué)目的：不但使學(xué)生理解基礎(chǔ)的計算理論，而且需要加強解決問題方法和能力的訓(xùn)練，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)該課程后，能夠用有限元的方法去解決一些常見的工程問題。傳統(tǒng)方法以培養(yǎng)學(xué)生的扎實理論知識為目的對學(xué)生進行系統(tǒng)的有限元理論知識講解和分析推導(dǎo)，而對于大多數(shù)機械工程專業(yè)非力學(xué)專業(yè)的研究生來說，由于有限元方法的理論知識包含數(shù)學(xué)、力學(xué)、材料力學(xué)、彈性力學(xué)、變分原理、線性代數(shù)、數(shù)值計算方法等多門課程的內(nèi)容，理論起點較高，教學(xué)效果不太理想。因此要根據(jù)機械工程專業(yè)研究生的培養(yǎng)要求，探索適合培養(yǎng)研究生解決實際問題能力的教學(xué)方法是十分必要的。

二、加強基礎(chǔ)理論的教學(xué)

基礎(chǔ)理論知識的學(xué)習(xí)是保證良好的教學(xué)效果必不可少的。矩陣位移法作為有限元法的課程主線，是最為基礎(chǔ)的理論知識。矩陣位移法的基礎(chǔ)是線性代數(shù)的矩陣運算以及結(jié)構(gòu)力學(xué)中學(xué)習(xí)到的位移法。矩陣位移法理論基礎(chǔ)就是加權(quán)余量法以及在彈性力學(xué)基本原理之一——變分原理。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生在基礎(chǔ)理論知識方面存在欠缺以及遺忘的情況，因此，在教學(xué)過程中應(yīng)該加強理論知識的補充，將有限元理論的基礎(chǔ)知識的教學(xué)提高到其應(yīng)用的重視程度上，才能夠保證以后本課程的教學(xué)效果。在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論知識的過程中，應(yīng)該使學(xué)生明白如何將解題的過程采用矩陣的形式進行表達，同時如何利用計算機計算程序來實現(xiàn)。保證足夠的教學(xué)時間來學(xué)習(xí)和提高有限元最為基礎(chǔ)的礎(chǔ)理論知識是很有必要的，在教學(xué)的過程中，同時需要注重啟發(fā)引導(dǎo)和互動，強化學(xué)生對所學(xué)的基礎(chǔ)理論知識的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生利用基礎(chǔ)理論知識分析問題以及解決問題的能力，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識的積極性，認(rèn)識到學(xué)習(xí)理論知識的作用。

三、建立有限元分析問題的思想

有限元法是一種工程實用性非常強的數(shù)值分析工具，在有限元方法的學(xué)習(xí)過程中，建立有限元分析問題的思想是很重要的。簡單說就是要明確有限元方法的實質(zhì)，以及處理問題過程的步驟和注意的問題，在以往的教學(xué)中這個問題沒有得到相應(yīng)的重視。

有限元法最為基礎(chǔ)的思想是將復(fù)雜問題用相對簡單的問題代替后進行求解，在這個過程中，有限元法將求解域劃分為許多小的互連子域（稱為有限單元），在對單元假定一個相對簡單的位移模式，從而得到每一單元近似解，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)求解這個域總的平衡方程，最終得到所求問題的解。有限元方法雖然應(yīng)用的領(lǐng)域很多，但是針對不同物理性質(zhì)以及數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本原理以及步驟大體是相同的，區(qū)別僅僅體現(xiàn)于不同物理模型的公式推導(dǎo)和運算求解方法。有限元法的基本步驟通常是相同和固定的：首先確定問題以及定義求解域；其次是將求解域離散化；再此需要確定狀態(tài)變量和控制方程，通常做法是將微分方程轉(zhuǎn)化為等價泛函形式；推導(dǎo)有限單元的列式，構(gòu)造單元適合的近似解，得到單元矩陣；最后聯(lián)立方程組，得到總求解并對結(jié)果的合理性進行解釋。

加強學(xué)生自己動手利用高級編程語言或者數(shù)學(xué)工具對某些具體結(jié)構(gòu)的問題進行有限元計算，對培養(yǎng)學(xué)生形成有限元分析問題的思想是必不可少的。作為教學(xué)的引導(dǎo)者，教師應(yīng)該提供典型的有限元計算程序，并進行必要的講解，使學(xué)生在這個過程中對有限元分析問題的思想有更進一步的認(rèn)識。

四、以實際工程應(yīng)用為目標(biāo)增加軟件教學(xué)

有限單元法是工程分析中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法之一，世界各國均開發(fā)了自己的大型通用有限元計算平臺。掌握一種或者多個有限元計算平臺是目前拓展有限元應(yīng)用的重要途徑。目前主流的有限元軟件主要有：ABAQUS、ANSYS、MSC.MARC、ADINA等。

為提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力，可采用國際上通用的大型有限元軟件進行案例教學(xué)的方法，有針對性地提煉出工程中典型的結(jié)構(gòu)作為案例，將有限元軟件的各種功能及操作貫穿在實際的結(jié)構(gòu)分析中。在每個案例分析中主要側(cè)重模型建立單元網(wǎng)格劃分邊界條件定義和載荷施加等操作方法的講解，使學(xué)生能夠快速、有效地建立起有限元分析的思路，并能夠觸類旁通。針對不同的工況進行有效地分析，可以使學(xué)生掌握有限元軟件基本的操作過程以及一些必要的操作技巧。在教學(xué)過程中，選用的教學(xué)案例應(yīng)該有針對性，比如對機械工程中常見的結(jié)構(gòu)分析問題，應(yīng)該包括普通的靜態(tài)分析；非線性常見的曲屈和失穩(wěn)接觸分析、沖激分析、材料失效和斷裂行為等問題分析；動力學(xué)分析中的振動模態(tài)分析、瞬態(tài)動力學(xué)問題等。在熱分析問題中，應(yīng)該包括穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析以及對流散熱分析和熱輻射分析等；在多場耦合教學(xué)中應(yīng)包括熱力耦合分析等。

五、使用多媒體教學(xué)和加強上機實踐教學(xué)

作為一種數(shù)值計算方法，有限元方法與程序設(shè)計注定在教學(xué)過程中不可避免地接觸大量的公式以及公式的推導(dǎo)，并且這些公式大多相當(dāng)繁雜。傳統(tǒng)的教學(xué)模式中有大量的板書，這樣對教師來說工作量大，而學(xué)生往往對這些枯燥的數(shù)學(xué)計算不感興趣，導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量不高。在規(guī)定的課時內(nèi)要保證教學(xué)效果，多媒體教學(xué)為本課程的學(xué)習(xí)提供了優(yōu)秀的媒介。利用多媒體技術(shù)，可以將有限元分析中的基本原理和有限元方法實現(xiàn)的過程更為形象生動地展現(xiàn)給學(xué)生，使教師有更多的時間去解釋分析問題的過程，并能和學(xué)生實現(xiàn)教學(xué)互動，有充足的課時針對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中普遍出現(xiàn)的難點和重點進行有針對性地講解。在教學(xué)模式上應(yīng)該采用多媒體教學(xué)和板書相結(jié)合，利用多媒體將抽象的理論、方法以及機械結(jié)構(gòu)較為具體地展現(xiàn)，從而使得學(xué)生在接受知識的過程中更形象直觀，提高了教學(xué)質(zhì)量。同時，利用多媒體教學(xué)，可以使得教學(xué)采用的有限元分析軟件的操作演示得以實現(xiàn)，能夠使得學(xué)生更為直觀地看到利用有限元分析軟件解決問題的過程，縮短了學(xué)生學(xué)習(xí)軟件的時間。

上機實踐也是進行有限元理論與操作技術(shù)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，是學(xué)生消化吸收所學(xué)知識和真正掌握有限元軟件應(yīng)用的關(guān)鍵問題。只有通過上機實踐，才能夠加深學(xué)生對有限元理論知識的理解和培養(yǎng)學(xué)生的實際動手解決問題的能力。更為重要的是，通過上機實踐，學(xué)生才能夠真正體會用有限元方法分析問題的整個過程，并能夠在這個過程中發(fā)現(xiàn)問題，在獨立或者在教師的幫助下分析問題，最終通過本課程的學(xué)習(xí)，真正具備利用有限元方法解決問題的能力。

六、“有限單元法”課程的改革

通過幾年的教學(xué)實踐，在“有限元理論與應(yīng)用”課程的教學(xué)改革方面筆者認(rèn)為應(yīng)該在以下幾個方面進行強化：

一是需要在課程內(nèi)容上強化有限元方法基礎(chǔ)理論知識教學(xué)和適當(dāng)延長教學(xué)課時，同時又要融入有限元法在工程領(lǐng)域的最新成果；在教學(xué)過程中提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，同時采用靈活的教學(xué)手段，著重從方法和思路方面加以講解，啟發(fā)學(xué)生的求知欲，變學(xué)生的被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。

二是增強學(xué)生軟件編寫典型有限元計算通用程序的能力的訓(xùn)練，使學(xué)生在自己編制有限元計算程序以及應(yīng)用成熟的大型商用通用工程有限元分析問題的過程中加深利用有限元方法解決問題的思想和能力。

三是在教學(xué)過程中，適當(dāng)增加大型通用有限元分析軟件操作的課時。這些軟件一方面具有強大的計算能力和前后處理及可視化能力，另一方面縮短了編寫程序的時間和維護運行程序的費用，計算的結(jié)果具有更強的可比性和說服力。

四是注重課程教學(xué)內(nèi)容上教學(xué)與工程實踐的結(jié)合。教學(xué)中采用的教學(xué)實例，應(yīng)該從工程實踐中精選出具有代表性的實例；讓學(xué)生參與到實際工程的數(shù)值計算中，最終實現(xiàn)該課程教學(xué)與工程實踐相結(jié)合的目標(biāo)。

七、總結(jié)

總之，“有限單元法”是一門理論與實踐相結(jié)合的課程，不僅需要學(xué)生有系統(tǒng)的理論分析能力，還需要很強的工程實踐能力。因此采用多元化教學(xué)方法和手段講授有限單元法，才能夠使學(xué)生系統(tǒng)掌握該課程的理論和方法，并且具備獨立分析解決問題的能力，從而達到本課程教學(xué)、學(xué)習(xí)的目的。

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（責(zé)任編輯：宋秀麗）