新課程倡導教師在教學過程中營造一種“促進理解”的學習環(huán)境，讓學生在現(xiàn)實的情境和已有的知識經(jīng)驗中體驗和理解數(shù)學。那么，怎樣才算真正地理解了知識？在小學數(shù)學教學過程中，怎樣的教學策略才能真正促進學生對數(shù)學知識的有效理解呢？本文擬通過對兩個教學案例的分析、探討，加以闡述。

一、案例描述

【案例一】（節(jié)選自南寧市小學教學論文評比中一位教師的參賽論文。）

課堂中：為了讓學生更好地理解分配律，我創(chuàng)設(shè)了如下“游園活動”的情境。我們班男生有27人，女生有23人，兒童節(jié)那天，學校組織同學們搞游園活動，計劃每個學生撥給經(jīng)費3元。問：學校計劃撥給我們班的經(jīng)費一共是多少元？（用兩種方法解決）

學生交流解法。

解法一：（27+23）×3=150（元）。

解法二：27×3＋23×3=150（元）。

我請學生觀察算式并用大于、小于或等于號填空：（27+23）×3○27×3＋23×3。

接著出示（100＋4）×5○100×5＋4×5，請學生填大于、小于或等于號。

最后引導學生將數(shù)字換成字母：（a＋b）×c○a×c＋b×c。

學生輕易就得出了“左右應該相等”的結(jié)論。

我及時指出：這就是乘法分配律——兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以用這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積加起來。

可是學生在后續(xù)的練習中還是常犯下面的錯誤。

79×24＋21×24=（29＋21）×24×24

79×24＋21×24=（29×24＋21）×24

34×102=34×（100＋2）=34×100＋2

……

學生為什么會犯這些錯誤呢？我覺得是學生還沒有理解好乘法分配律。于是我就用“爸爸×孩子＋媽媽×孩子=（爸爸＋媽媽）×孩子”這個等式來讓學生加深理解。講法如下：

你是爸爸的孩子，也是媽媽的孩子，爸爸媽媽給你插上一雙隱形的翅膀（乘號），把你放飛，家里只剩爸爸和媽媽，你從家里分離出來了，這叫放飛，我們就稱為“放飛題”，如39×24＋61×24=（39+61）×24。有出去就該有回家，回家了，你是爸爸的孩子，也是媽媽的孩子，就是：（爸爸＋媽媽）×孩子=爸爸×孩子＋媽媽×孩子，這叫“回家題”。

課后話：讓學生做乘法分配律的題目，當有的學生不會做題或做錯題時，我經(jīng)常這樣提醒：“放飛題”怎么做？“回家題”會不會做？學生還是能從中得到啟發(fā)的。

教學乘法分配律，我并不讓學生背干巴巴的公式（a＋b）×c=a×b＋a×c。我認為教學的重點應該是讓學生理解，因此我引入了“爸爸”“媽媽”“孩子”這些讓學生感覺親切、容易理解的生活經(jīng)驗，而“回家”“放飛”“隱形的翅膀”這些字眼，又讓學生感覺溫馨快樂。

【案例二】（注：本案例系南寧市小學數(shù)學課改優(yōu)秀課例研討交流活動中，由浙江杭州市崇文實驗學校徐衛(wèi)國老師執(zhí)教。）

1.創(chuàng)設(shè)情境：某公司要為員工買工作服，該公司共有15人，公司負責人到某服裝店去了解情況，發(fā)現(xiàn)服裝店符合公司工作服要求的上衣有3件，褲子有2條，負責人對這些衣服和褲子都還滿意，但是具體買哪一套確定不了。你能不能幫助設(shè)計購買方案？

①號上衣：100元 ②號上衣：120元 ③號上衣：200元

①號褲子：60元 ②號褲子：80元

然后組織學生展開討論，合作探究。（1）小組內(nèi)交流：有幾種搭配的方法？（2）設(shè)計購買方案：選擇不同的搭配方法計算需要的總價，向公司報價。（可以用多種算法計算）

2.交流，呈現(xiàn)學生的六種方案。

方案一：100×15＋60×15＝2400（元） （100＋60）×15＝2400（元）

方案二：120×15＋60×15＝2700（元） （120＋60）×15＝2700（元）

方案三：100×15＋80×15＝2700（元） （100＋80）×15＝2700（元）

……

師：觀察左右兩邊的算式各有什么特點？你發(fā)現(xiàn)了什么？

學生順利發(fā)現(xiàn)，左邊先算15件上衣的價錢和15條褲子的價錢再算總價，右邊先算一套衣服的價錢再算出15套衣服的總價，結(jié)果一樣。

師：左右兩邊的算式，所用的方法不同，但都是計算15套衣服的總價，結(jié)果是一樣的。

師將得數(shù)擦去，用“＝”將左右兩邊的算式連起來。

3.師：你還能寫出像這樣相等的算式嗎？你怎么來說明自己寫的算式確實是相等的？

學生思考后交流。

生1：我寫的算式是30×4＋30×5＝（4＋5）×30。30×4＋30×5等于270，（4＋5）×30也等于270，所以它們是相等的。

師：通過計算結(jié)果來驗證兩個算式是相等的，很好。

生2：我也是通過計算結(jié)果來驗證的。8×4＋8×3＝56，8×（4＋3）＝56，所以8×4＋8×3＝8×（4＋3）。

生3：我寫的算式是100×6＋200×6＝（100＋200）×6。假設(shè)一件上衣200元，一條褲子100元，買6套衣服，可以先算6件上衣的價格和6條褲子的價格，再算上衣和褲子的總價格；也可以先算一套衣服的價格，再算6套衣服的價格，結(jié)果是一樣的。

師：他回到買衣服的情境中，用兩種不同算法但都能計算總價格來說明兩個算式是相等的。這是舉例說明的方法，非常好。

師：我發(fā)現(xiàn)同學們寫的算式中都用到了乘法。那么，能不能用乘法的意義來說明兩個算式是相等的呢？比如100×6＋200×6表示幾個6加幾個6？

生3：100×6＋200×6表示100個6加200個6，等于300個6；（100＋200）×6也等于300個6，所以相等。

生4：8×4＋8×3表示4個8加3個8，就等于（4＋3）——7個8。

師：難怪它們相等，原來兩個算式表示的意義是一樣的，都是在求7個8。只是一個是分成兩部分來求（4個8和3個8），一個是直接求7個8。其他同學寫的兩個算式意義是一樣的嗎？自己說一說。

4.用字母表示并概括總結(jié)規(guī)律。

師：這樣的等式寫得完嗎？

師：我們能不能只用一個式子就把所有的等式都表示出來？

組織學生交流，并概括提煉，寫出字母表達式（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

師：同學們發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律叫乘法分配律。用自己的話說說什么是乘法分配律。

……

二、透視分析

為理解而教是上述兩個案例中執(zhí)教者共同的教學愿景。但是在本課教學中，對“何為理解了”教師的認知層面顯然不同；而對“如何促進理解”，教師亦采用了不同的教學操作策略。這值得我們深入反思。

1.“何為理解了”——關(guān)注的是知識的表現(xiàn)形式還是內(nèi)在實質(zhì)？

“讓學生理解乘法分配律”是教師在制定本課教學目標時的常用語，也是本課教學的首要任務。但是在教學預設(shè)與實施的過程中，不同的教師對“理解乘法分配律”有著不同的解讀。

在“案例一”中，教師把“理解乘法分配率”的目標定位于記憶定律的表達形式，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。于是教師在如何讓學生牢牢記住這個模型上下足了工夫。把抽象的數(shù)學模型比喻成“爸爸×孩子＋媽媽×孩子=（爸爸＋媽媽）×孩子”，用“放飛”“回家”“隱形的翅膀”等學生熟悉的字眼幫助學生記憶。教師很用心，也確實在一定程度上強化了學生的記憶。但是，這種“形似質(zhì)異”的比喻強調(diào)的只是對規(guī)律外在結(jié)構(gòu)形態(tài)的簡單記憶，卻淡化了對定律內(nèi)在運算意義的理解和闡釋。也正是因為缺少了對內(nèi)在運算意義的追問和理解，學生對規(guī)律表現(xiàn)形式的記憶就如同一堆流沙上的建筑，稍加觸碰就立刻散架。

“案例二”的教學程序則反映出教師將“理解”的重點放在了感悟乘法分配率模型的生成與由來上。教師通過“購買工作服”情境和“寫算式”活動引導學生從計算結(jié)果、實際問題的數(shù)量關(guān)系及乘法的意義來對等式成立作出多元化的解釋。尤其是在學生感悟8×4＋8×3＝（4＋3）×8等式兩邊都是在求7個8時，教師直指“難怪它們相等，原來兩個算式表示的意義是一樣的”，把學生的關(guān)注點由規(guī)律的外在形式引向了內(nèi)在實質(zhì)。

建構(gòu)主義認為，所謂理解，是學習者依據(jù)自身已有的知識和經(jīng)驗去對所學的數(shù)學對象作出解釋，使新的材料在自己頭腦中獲得特定的意義，與自己已有的知識和經(jīng)驗建立起實質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系?？梢?，在本課教學中，從運算意義的角度對運算定律作出解釋，實際上就是運用已有知識對新知進行解釋，同時這也是對已有知識的重構(gòu)和擴展的過程，唯因如此，乘法分配律才真正內(nèi)化到了學生的認知結(jié)構(gòu)中。因此，從運算意義的角度追根溯源、深入思考，方可真正把握定律的內(nèi)在實質(zhì)；只有植根于定律的意義理解，對模型外在結(jié)構(gòu)特點的把握才能水到渠成。

2.“如何促進理解”——是“生動地告知”還是“過程性建構(gòu)”？

“如何促進理解”是對理解型學習教學策略的思考。對“何為理解了”的不同認知決定了教師對教學策略的不同選擇。

在“案例二”中，教師采取了“讓學生在已有的知識經(jīng)驗和抽象的模型之間自主生長”的過程性建構(gòu)策略。數(shù)學是從客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式中抽象、概括出來的，因此小學數(shù)學大都可以直接在客觀世界中找到它的“原型”，乘法分配律也是如此?！鞍咐钡摹百徺I工作服”問題就是乘法分配律的一個生活模型，有利于學生觀察與感悟乘法分配律的基本模型。但是提供了生活模型是否就等于學生形成了數(shù)學模型？“案例二”中的教師清楚地認識到了學生在感悟乘法分配律的生活模型和建構(gòu)數(shù)學模型之間還需要跨越的距離。因此沒有急于讓學生歸納出數(shù)學模型，而是讓學生再寫一些類似的算式，從情境走向非情境，讓學生經(jīng)歷了用多種不同的方式來解釋這一模型的合理性的過程，用學生對實際問題中數(shù)量關(guān)系的理解和對運算意義的理解來支撐模型的建構(gòu)?？梢?，教師在生活模型與數(shù)學模型之間搭起一座橋梁，可以較好地幫助學生實現(xiàn)從生活模型向數(shù)學模型的跨越。

事實上，“案例一”中的教師也為學生提供了一個不錯的乘法分配律生活模型——“游園經(jīng)費”問題，并嘗試引導學生從現(xiàn)實問題中抽象概括數(shù)學模型。但是教師在引導學生抽象概括的過程中過于急切，在學生依據(jù)已有經(jīng)驗初步感悟規(guī)律的模型（27+23）×3=27×3＋23×3，只出示了一個小練習（100＋4）×5○100×5＋4×5之后，就請學生將前面算式的數(shù)字換成字母（a＋b）×c＝a×c＋b×c。顯然，僅僅通過一兩個等式的“感悟”，學生是很難“發(fā)現(xiàn)”運算中的共同規(guī)律，并體會出定律的基本結(jié)構(gòu)的。從（27+23）×3=27×3＋23×3，到（a＋b）×c＝a×c＋b×c，學生只是經(jīng)歷了一個根據(jù)前面算式特征進行模仿的認知過程。而把學習過程僅僅停留在操作步驟的簡單模仿上，學生是不可能真正理解、接受和內(nèi)化知識的。于是，教師隨后對乘法分配律的所謂小結(jié)，實際上就成了“告知式”的教授，而不是真正引導學生自己理解、總結(jié)。此外，“案例一”中的另一個“告知式”教學是將（a＋b）×c＝a×c＋b×c比喻為“爸爸×孩子＋媽媽×孩子=（爸爸＋媽媽）×孩子”。由于兩者之間缺乏本質(zhì)意義上的聯(lián)系，教師設(shè)計此活動的目的顯然是想換一種方式讓學生記住被告知的結(jié)論。雖然這樣的比喻有著一定的生動性，但是由于缺少了學生自己的感知、思考、質(zhì)疑、爭論與體驗，所以仍然無法實現(xiàn)學生對知識的有效理解。

可見，真正有過程的教學才能促進學生高水平的理解。如果教師的教學欠缺過程，把關(guān)注的重點只是放在簡單的模仿、記憶、背誦、訓練上，很容易使學生出現(xiàn)“形式”上的理解而無法觸及知識的內(nèi)在實質(zhì)，無法使學生實現(xiàn)對知識的內(nèi)化和建構(gòu)。

三、應有的追問

上面的兩個案例讓我們再一次認識到，教師必須設(shè)計“有思維過程”的教學，以引導學生經(jīng)歷從實際問題抽象出數(shù)學問題的數(shù)學建模的過程，實現(xiàn)對知識的有效理解。進一步的，我們要追問，實施有過程的教學，教師應該注意什么？

北京教育學院劉加霞教授認為，教師無過程教學的根源主要有兩點：一是缺少追問學科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學生的思維特點與已有的知識經(jīng)驗儲備。并指出，當教師對這兩個根源有深入的思考后就能設(shè)計出有過程的教學。因此，為實現(xiàn)學生對知識的有效理解，我們要從這兩個根源入手。

首先，要對學科知識的本質(zhì)有更為深刻的認識。這就要求教師關(guān)注數(shù)學概念、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動力與過程，關(guān)注其與已有知識經(jīng)驗的聯(lián)系。具體說來，針對每一個教學內(nèi)容，我們都需要追問：為什么要學習這一內(nèi)容？所學內(nèi)容的現(xiàn)實原型是什么？其特有的數(shù)學內(nèi)涵、數(shù)學符號是什么？等等。只有這樣，我們才能站在更高的層面，從本質(zhì)上把握教學；才能抓住生成，引導學生發(fā)展對數(shù)學對象的理解。

其次，要重視對學生學情的分析與了解。要關(guān)注學生已有的知識經(jīng)驗儲備，關(guān)注學生的思維水平與認知特點，關(guān)注學生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別。通過相關(guān)內(nèi)容的“理性重建”，真正將數(shù)學課“講活”“講懂”“講深”，使學生能夠看到活生生的數(shù)學研究工作，而不是死的數(shù)學知識，能真正理解有關(guān)的數(shù)學內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，進而自然地實現(xiàn)由“生活概念向科學概念的運動”（杜威語）。

總之，數(shù)學課堂作為師生教學實踐的共同體，教師應建立一個課堂環(huán)境使學生能有效地投入到自主建構(gòu)數(shù)學知識的過程當中，通過師生、生生的交流與合作，實現(xiàn)學生對數(shù)學對象本質(zhì)意義的理解。

參考文獻：

［1］孔企平.數(shù)學新課程與數(shù)學學習［M］.北京：高等教育出版社，2003.11

［2］劉加霞.基于學生的理解水平實施“有過程”的教學［J］.小學數(shù)學教師，2011，第5期

（責編 白聰敏）