〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；概率；互補(bǔ)思想；方程思想；函

數(shù)思想；分類討論思想；整體思想

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2012）14—0085—０1

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，能否正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的標(biāo)志.概率是新教材中新增的內(nèi)容，其中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在概率解題中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，對正確解題具有十分重要的意義.

一、 互補(bǔ)思想

互補(bǔ)思想就是通過間接法，利用對立事件求隨機(jī)變量的概率.

例1甲、乙、丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，若甲、乙、丙三人擊中目標(biāo)的概率分別是0.8、0.7、0.6，試問此目標(biāo)被擊中的概率是多少?

分析：符合題意的情況包括：（1）三人中有一人擊中目標(biāo)；（2）三人中有兩人擊中目標(biāo)；（3）三人都擊中目標(biāo)。三大類共七種情形，分別求之相當(dāng)繁瑣.而題設(shè)反面“三人都未擊中目標(biāo)”只有一種情形，故利用互補(bǔ)思想，通過求其對立事件的概率解答此題顯得尤為簡便.

解：設(shè)A1={甲擊中目標(biāo)}，A2={乙擊中目標(biāo)}，A3={丙擊中目標(biāo)}，A={目標(biāo)被擊中}，P(A)=1-P(A1?A2?A3)=1-P(A1)?P(A2)?P(A3)=1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=0.976.

二、 方程思想

方程思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或者方程組，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程根的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.

例2 甲乙兩人獨(dú)立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率相同，已知該題被甲和乙解出的概率為0.36，求甲獨(dú)立解出該題的概率.

解：設(shè)甲或乙獨(dú)立解出的概率為x，則該題不能被甲或乙解出的概率為 (1-x)2，由題意可得方程：1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.故甲獨(dú)立解出該題的概率為0.2.

三、 函數(shù)思想

利用函數(shù)思想，就是將離散型隨機(jī)變量融入連續(xù)型模型中，是隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律建立在函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)而利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決問題.

例3 多向飛碟是奧運(yùn)會(huì)的競賽項(xiàng)目，它是由跑靶機(jī)把碟靶（射擊目標(biāo)）在一定范圍內(nèi)從不同方向飛出，每拋出一個(gè)碟靶，都允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次.一運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行多向飛碟射擊訓(xùn)練時(shí)，每一次射擊命中碟靶的概率Ｐ與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離s（m）成反比，現(xiàn)有一碟靶拋出后離運(yùn)動(dòng)員的距離s（m）與飛行時(shí)間t（秒）滿足s＝１５（t+1）（０≤t≤４）.若運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出0.5秒時(shí)進(jìn)行第一次射擊，命中的概率為0.8，若他發(fā)現(xiàn)沒有命中，則通過迅速調(diào)整，在第一次射擊后再經(jīng)過0.5秒進(jìn)行第二次射擊，求他命中此碟靶的概率.

解：設(shè)Ｐ＝（k為常數(shù)），則Ｐ＝（０≤t≤４）.依題意，當(dāng)t=0.5秒時(shí)，Ｐ１＝0.8，則k=18.當(dāng)t=1秒時(shí)，Ｐ２=0.6.則此人命中此碟靶的概率Ｐ＝Ｐ１＋（１－Ｐ１）Ｐ２＝0.8+（1-0.8）×0.6=0.92.

四、 分類討論思想

分類討論的思想方法，實(shí)質(zhì)就是把整體問題分類轉(zhuǎn)化為局部問題.在分類時(shí)，要注意防止邏輯上的錯(cuò)誤，避免疏漏與重復(fù).

例4 一學(xué)生騎自行車上學(xué)，從家中到學(xué)校的途中有兩個(gè)交通崗.假設(shè)他在這兩個(gè)交通崗處遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是0.6，求他至少遇到一次紅燈的概率.

解：事件“至少遇到一次紅燈”包括“兩次都遇到紅燈”和“恰有一次遇到紅燈”這兩個(gè)基本事件.記“第一次遇到紅燈”為事件A，“第二次遇到紅燈”為事件B，由題意可知，A與B是互相獨(dú)立的，因此“他兩次都遇到紅燈”就是事件A?B發(fā)生.則P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36.記=“第一次沒有遇到紅燈”，=“第二次沒有遇到紅燈”，所以，?B=“第一次沒有遇到紅燈，第二次遇到紅燈”，A?=“第一次遇到紅燈，第二次沒有遇到紅燈”，并且?B與A?是互斥的，因此，“恰有一次遇到紅燈”的概率是P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=(1-0.6) ×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48，所以，他至少遇到一次紅燈的概率為P=P(A?B)+P(?B+A?)=0.36+0.48=0.84.

五、 整體思想

整體思想，就是從整體著手，通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其他整體處理后，達(dá)到簡捷解體的思想方法.

例5 省工商局對全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查，結(jié)果顯示，某種剛進(jìn)入市場的x飲料的合格率為80%.現(xiàn)甲乙丙３人聚會(huì)，選用了6瓶x飲料，并限定每人喝兩瓶，求甲乙丙3人中只有1人喝到兩瓶不合格的x飲料的概率.

解：記“1人喝到兩瓶不合格的x飲料”為事件A，3人喝6瓶x飲料且限定每人兩瓶相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式，3人喝6瓶只有1人喝到2瓶不合格x飲料的概率為C32×（0.8×０.８）２(1-0.8×０.８)=0.44.

編輯：謝穎麗