摘　要：一元二次方程解決實(shí)際問題的教學(xué)是為了培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。根據(jù)問題解決的心理學(xué)原理，通過教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析與解決問題，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)意識(shí)。結(jié)合教學(xué)實(shí)例，從影響數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)知心理因素出發(fā)，對(duì)用一元二次方程解決實(shí)際問題的教學(xué)作了有益的思考。

關(guān)鍵詞：一元二次方程；實(shí)際問題；教學(xué)思考

新課程改革要求數(shù)學(xué)教學(xué)要面向生活，要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，樹立他們的數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)他們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。一元二次方程解應(yīng)用問題的教學(xué)，是對(duì)已有知識(shí)的鞏固，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，十分重要。本著教師應(yīng)該成為教學(xué)活動(dòng)的研究者的思想，就一元二次方程解決實(shí)際問題的教學(xué)，結(jié)合認(rèn)知心理學(xué)的原理，筆者談?wù)剬?duì)此問題的一些思考。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題解決的影響因素

認(rèn)知心理學(xué)家和數(shù)學(xué)心理學(xué)家對(duì)應(yīng)用型數(shù)學(xué)問題解決的影響因素進(jìn)行了研究。他們認(rèn)為解決問題的關(guān)鍵是問題的表征，而表征最重要的是進(jìn)行問題類型判別。根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的研究，影響問題解決的因素有：

1.實(shí)際問題的表述方式

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，理解問題模型是把問題中的文字或其他方式的表述翻譯成讀者的內(nèi)部表征，這是一個(gè)信息轉(zhuǎn)換的過程。因此，文字或圖形等表述方式會(huì)對(duì)問題解決產(chǎn)生影響。教學(xué)中，表現(xiàn)為同一個(gè)問題采用不同的文字表述，學(xué)生的理解程度不一樣。這就是說，通過“審題”能否弄清題目意思不僅僅取決于學(xué)生能力，同時(shí)也取決于問題的文字表達(dá)。對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題而言，這將直接影響學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的認(rèn)知。

2.問題圖式與問題表征

圖式是用以表征客觀事物及其關(guān)系的某種知識(shí)或心理結(jié)構(gòu)、組織、框架。圖式的功能是信息選擇和整合，就數(shù)學(xué)應(yīng)用題而言，其影響體現(xiàn)在問題歸類、問題表征及問題轉(zhuǎn)化中。圖式將對(duì)問題的表征進(jìn)行整合，形成完整的表征。在這個(gè)過程中，若原有圖式能完全表征實(shí)際問題，則圖式保持不變，否則便產(chǎn)生認(rèn)知沖突。通俗地說，學(xué)生的問題圖式就是以前解決問題的方式方法，通常是教師判定學(xué)生基礎(chǔ)好不好的依據(jù)之一。數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭的名言：“解題最終就是歸結(jié)為已經(jīng)解決過的問題?！笔菍?duì)圖式在問題解決中作用的最好詮釋。

3.問題解決策略

問題解決策略指的是，能使問題產(chǎn)生某些變化并由此提供一定信息的處理、試驗(yàn)或探索。學(xué)生的問題解決策略及其選擇是影響問題解決的重要因素，其解決效率往往與問題類型與策略的對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)，其選擇則與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知風(fēng)格有關(guān)。

4.問題解決的監(jiān)控

問題解決的監(jiān)控屬于元認(rèn)知的內(nèi)容。元認(rèn)知在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題解決中是動(dòng)態(tài)的，起輔助決策作用：對(duì)反饋的價(jià)值判斷決定著是否改變問題表征或解題策略，判定問題是否超過自己能力，以及能力不及的情況下放棄還是求助等一系列問題。此外，個(gè)人的知識(shí)背景、非智力因素對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決也有很大影響，因篇幅關(guān)系，這些因素本文不作探討。

二、教學(xué)思考

根據(jù)影響問題解決的相關(guān)因素，筆者談?wù)剬?duì)一元二次方程解決實(shí)際問題的教學(xué)看法。為便于說明，以行程問題為例：甲、乙兩地相距8000米，張三、李四兩人同時(shí)分別從甲、乙兩地出發(fā)相向而行。張三的速度為每小時(shí)5千米，李四在遇到張三后又走了20分鐘才到達(dá)乙地，求兩人從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間。

1.根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生合理運(yùn)用自己的語言表述問題

一元二次方程及其應(yīng)用是初三年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。初三學(xué)生形式邏輯思維、辯證邏輯思維、創(chuàng)造性思維均已得到一定發(fā)展，但存在差異性。其他思維形式如，動(dòng)作思維、形象思維仍在他們的思維中發(fā)揮一定的作用。根據(jù)這些特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)采用學(xué)生自己閱讀問題、教師啟發(fā)閱讀問題和借助多種思維方式閱讀問題等，以達(dá)成對(duì)實(shí)際問題的內(nèi)化。由于思維發(fā)展的個(gè)體差異性，教師要照顧不同程度的學(xué)生，允許他們用自己的方式表述問題。

2.利用典型例題幫助學(xué)生獲得新圖式，利用變式幫助學(xué)生鞏固圖式

圖式在數(shù)學(xué)應(yīng)用題方面的一個(gè)重要作用就是對(duì)問題進(jìn)行分類解決。這就要求教學(xué)中對(duì)各類問題的典型形式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟虒W(xué)，以幫助學(xué)生建立新圖式。一元二次方程用于解決實(shí)際生活，是教學(xué)面向生活的體現(xiàn)，其應(yīng)用相當(dāng)廣泛。不僅有學(xué)生熟悉的行程問題、工程問題、比率問題、濃度問題，以及在幾何、物理學(xué)中的應(yīng)用。如上述問題，學(xué)生很容易識(shí)別出是行程問題，圖式識(shí)別后自然會(huì)聯(lián)系到時(shí)間、路程與速度的關(guān)系。但很快會(huì)發(fā)現(xiàn)與一般的行程問題不同，這就涉及問題表征的變式。若學(xué)生發(fā)現(xiàn)有多重時(shí)間、路程與速度的關(guān)系，則新圖式可慢慢建立。

3.教學(xué)中進(jìn)行問題解決策略的訓(xùn)練

通用的問題解決策略一般有算法策略和啟發(fā)式策略，啟發(fā)式策略又可分為手段目的分析法、逆向反推法、爬山法和類比法。此外還有嘗試錯(cuò)誤法、整體策略等。各種策略在一元二次方程應(yīng)用題求解上有自己的表現(xiàn)形式。如，算法策略一般是有明確程序的，在一元二次方程應(yīng)用題解題時(shí)可表現(xiàn)為一般的解題步驟，如審題—假設(shè)—列出方程—解方程—答。策略的訓(xùn)練方面，一般可以用技能教學(xué)的方式進(jìn)行訓(xùn)練，形成思維習(xí)慣。各種算法可以單獨(dú)使用，也可以結(jié)合使用。此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解嘗試，這樣不但開闊了思路，也避免了策略過于單一的問題。教學(xué)中還可讓學(xué)生進(jìn)行探索，如，用整體策略+逆向反推法或單獨(dú)運(yùn)用手段目的分析法。策略的學(xué)習(xí)和探索有一定難度，教師要做好引導(dǎo)工作。解題策略可以通過教師開設(shè)專門的策略訓(xùn)練課。

4.培養(yǎng)學(xué)生解決問題時(shí)的監(jiān)控習(xí)慣

監(jiān)控問題解決過程是動(dòng)態(tài)的元認(rèn)知，是對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的反映和調(diào)節(jié)，目的在于提高問題解決的有效性和效率。如，在嘗試錯(cuò)誤策略解決問題時(shí)，對(duì)錯(cuò)誤的監(jiān)控；在整體策略時(shí)對(duì)哪些細(xì)節(jié)該省略的認(rèn)知監(jiān)控。課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知監(jiān)控習(xí)慣可以采用自我提問法，通過學(xué)生自我觀察、自我監(jiān)控、自我評(píng)價(jià)的不斷訓(xùn)練，養(yǎng)成監(jiān)控習(xí)慣。也可通過相互提問法，以小組教學(xué)的形式進(jìn)行訓(xùn)練。教師應(yīng)該進(jìn)行必要的元認(rèn)知知識(shí)的教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到形成監(jiān)控習(xí)慣的重要性，從而主動(dòng)訓(xùn)練，運(yùn)用認(rèn)知監(jiān)控。如上述行程問題中，可以讓學(xué)生練習(xí)提問：20分鐘是誰走的時(shí)間？8000米這個(gè)條件有什么用？是誰走了8000米等。通過自我提問這種出聲的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生自我監(jiān)控的習(xí)慣。

三、小結(jié)

一元二次方程及其在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在解決實(shí)際問題中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)生活化的傾向。在教學(xué)中，要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性，重視個(gè)別差異。通過實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的教學(xué)，從問題表征、圖式、策略和監(jiān)控等方面培養(yǎng)學(xué)生的能力。

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（作者單位　內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭浩特市第八中學(xué)）