一、數(shù)學(xué)教學(xué)的不同目標(biāo)
　　話說有一位名叫杰克的人，偶爾撿到了一盞古舊的油燈。在擦拭油燈的時(shí)候，杰克喚醒了被囚禁在里面的魔鬼。為了表示感謝，魔鬼答應(yīng)杰克，可以幫他實(shí)現(xiàn)三項(xiàng)愿望?？蓱z的杰克并不知道這個(gè)魔鬼是個(gè)刻薄鬼。他高興壞了，考慮了半天，提出要魔鬼幫他發(fā)現(xiàn)所羅門王的寶藏。魔鬼答應(yīng)了?？墒牵霈F(xiàn)在杰克面前的是9只一模一樣的密封罐。魔鬼告訴他，除了裝藏寶圖的罐子略微重一點(diǎn)，其余的罐子都一樣重。但是，杰克只能拿走其中一只罐子。魔鬼說，這才算是幫杰克實(shí)現(xiàn)了“發(fā)現(xiàn)寶藏”的愿望呢。沒有辦法，杰克只能用掉自己的第二項(xiàng)愿望，請(qǐng)魔鬼給他變出一架天平來。天平變出來了，可是魔鬼告訴他，因?yàn)檫@是一項(xiàng)愿望換來的，所以這架天平只能稱一次。杰克一聽就傻眼了，趕忙說：“我要的是別的天平……”還沒等杰克說完，魔鬼又給杰克變出一架來。當(dāng)然啦，因?yàn)檫@架天平也是用一項(xiàng)愿望換來的，所以也只能用一次?，F(xiàn)在，杰克把三項(xiàng)愿望都用光了，但眼前只有2架一次性天平和9只看起來一樣的罐子。請(qǐng)問，杰克能利用這些工具找到那張藏寶圖嗎？（答案在后文揭曉）
　　上面這則“刻薄鬼”的故事，本身是一項(xiàng)數(shù)學(xué)游戲。為了完成這項(xiàng)數(shù)學(xué)游戲，玩家至少需要兩方面的準(zhǔn)備：其一，玩家要有一些基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；其二，玩家不能遇到難處就放棄。其實(shí)，這兩項(xiàng)準(zhǔn)備基本上可以對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)的兩組目標(biāo)。它們分別是：數(shù)學(xué)內(nèi)容目標(biāo)，這是針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容而規(guī)劃的目標(biāo)；數(shù)學(xué)過程目標(biāo)，這是針對(duì)學(xué)生獲得、發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能的過程而規(guī)劃的目標(biāo)。[1]對(duì)廣大中小學(xué)教師來說，第一組教學(xué)目標(biāo)基本上被認(rèn)為是不言而喻的，第二組目標(biāo)則不然。
　　這則“刻薄鬼”的故事也告訴我們，為了在生活中具有數(shù)學(xué)智慧或數(shù)學(xué)眼光，不僅要準(zhǔn)備數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和技能，而且要有諸如“不放棄”這樣的情意品質(zhì)。因此，需要教師在教學(xué)中，對(duì)兩組目標(biāo)都有所關(guān)注。例如，柏拉斯[2]提供的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)包括：鼓勵(lì)學(xué)生探索；幫助學(xué)生說出自己的數(shù)學(xué)觀念；向?qū)W生展示許多數(shù)學(xué)問題多于一種答案；通過經(jīng)驗(yàn)教學(xué)生們細(xì)致推理和規(guī)范理解的重要性；向?qū)W生表明數(shù)學(xué)是活的、讓人興奮的；幫助所有學(xué)生建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。又例如，伯格和斯塔貝德[3]將自己編寫的數(shù)學(xué)讀本稱之為“改變生命的課程”。他們?yōu)閿?shù)學(xué)制定的目標(biāo)包括：指向人類最偉大的那些觀念；讓學(xué)生體驗(yàn)思維的勝利；教有力的思考方法；發(fā)展探索未知和分析復(fù)雜情境的技術(shù)；強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)；培養(yǎng)積極的數(shù)學(xué)態(tài)度。這些目標(biāo)體系，都已經(jīng)超越了學(xué)科內(nèi)容目標(biāo)的范圍。
　　那么，這樣的目標(biāo)體系，是偶然出現(xiàn)的嗎？并非如此。實(shí)際上，在數(shù)學(xué)教育發(fā)展史上，這兩組目標(biāo)先后都得到了強(qiáng)調(diào)。到了今天，對(duì)兩組目標(biāo)的關(guān)注，基本上成為數(shù)學(xué)教育改革的大勢(shì)所趨。按照柏拉斯[4]對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展歷程的概括：20世紀(jì)60年代的數(shù)學(xué)教育研究主要關(guān)注課程內(nèi)容的變革。改革者考慮的主要問題包括：應(yīng)該教什么數(shù)學(xué)內(nèi)容？應(yīng)該按照什么順序來教？用什么教學(xué)材料來教？可以說，這時(shí)期受關(guān)注的教學(xué)目標(biāo)，主要是上述“數(shù)學(xué)內(nèi)容目標(biāo)”。經(jīng)過70、80年代的持續(xù)發(fā)展，到了90年代以后，數(shù)學(xué)教育研究不再強(qiáng)調(diào)具體的數(shù)學(xué)事實(shí)和技術(shù)，轉(zhuǎn)而關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，包括提出和解決各種數(shù)學(xué)相關(guān)問題的能力、以數(shù)學(xué)方式進(jìn)行推理和溝通的能力、對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值和潛能的認(rèn)同等等?？梢哉f，這時(shí)期受到關(guān)注的教學(xué)目標(biāo)，已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)學(xué)過程目標(biāo)”了?？梢哉f，由數(shù)學(xué)內(nèi)容目標(biāo)向數(shù)學(xué)過程目標(biāo)轉(zhuǎn)向，代表了國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的重要走向。
　　二、數(shù)學(xué)教學(xué)中的目標(biāo)分裂現(xiàn)象
　　數(shù)學(xué)教學(xué)的不同目標(biāo)，可以概括為內(nèi)容目標(biāo)與過程目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)研究領(lǐng)域，這兩組目標(biāo)都被認(rèn)為是不可或缺的。而且，許多教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，也可以比較自如地從不同角度去設(shè)計(jì)目標(biāo)。但是，在實(shí)際教學(xué)過程中，兩組目標(biāo)之間往往出現(xiàn)一種相互取消、相互干擾的現(xiàn)象。這就是本文所指的“目標(biāo)分裂現(xiàn)象”。下文的這兩節(jié)數(shù)學(xué)課，就都遭遇了這種現(xiàn)象。我們以這兩節(jié)課為例，嘗試展現(xiàn)這種現(xiàn)象的形態(tài)以及形成的原因。
　　1.教例1：方圓世界
　　這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，改編自課本中的隨堂練習(xí)。課上教師要帶領(lǐng)小學(xué)6年級(jí)的孩子們學(xué)習(xí)圓（C1）及其外切正方形（S1）、內(nèi)接正方形（S2）三者之間在面積上的對(duì)比關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握S2的內(nèi)切圓（C2）與C1的面積比，S1與S2的面積比。
　　在教學(xué)之前，執(zhí)教老師做了兩個(gè)方面的準(zhǔn)備。準(zhǔn)備一：教師向孩子們演示“旋轉(zhuǎn)正方形可以得到圓”（圖1）。孩子們看到，以不同的點(diǎn)和線段來旋轉(zhuǎn)，可以得到不同的圓（圖1中的虛線圓）。它們分別以正方形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)為直徑和半徑。通過這種旋轉(zhuǎn)，孩子們可以很清晰地觀察到正方形的對(duì)角線、邊長(zhǎng)與所形成的圓的半徑之間的關(guān)系。準(zhǔn)備二：教師帶領(lǐng)孩子們回憶正方形和圓形面積的計(jì)算方法。借此，師生共同回憶出計(jì)算這兩種圖形面積的關(guān)鍵變量是邊長(zhǎng)、半徑。
　　完成上述準(zhǔn)備以后，教師接著安排了兩個(gè)探究環(huán)節(jié)。探究環(huán)節(jié)一：教師請(qǐng)孩子們完成工作紙上的探究問題。問題包括：計(jì)算已知半徑的圓的面積；計(jì)算該圓內(nèi)的最大正方形和該圓外的最小正方形的面積。在孩子們完成這些計(jì)算以后，教師要求他們比較圓與兩個(gè)正方形之間的面積比。通過計(jì)算，師生共同總結(jié)出，圓的面積是圓外最小正方形面積的π/4，圓的面積是圓內(nèi)最大正方形的π/2。探究環(huán)節(jié)二：教師呈現(xiàn)日常生活中圓形餐桌配圓形轉(zhuǎn)盤的問題。要解答其中包含的數(shù)學(xué)問題，就要求孩子們能夠正確計(jì)算已知正方形內(nèi)的最大圓、已知正方形外的最小圓之間的面積比。通過計(jì)算，師生共同總結(jié)出，正方形面積是其外部最小圓面積的2/π，正方形面積是其內(nèi)部最大圓面積的4/π。
　　完成這兩個(gè)探究環(huán)節(jié)以后，教師很自然地推出本節(jié)課的難點(diǎn)，要求孩子們比較上述C1與C2、S1與S2之間的面積比。因?yàn)楹诎迳弦延袃蓚€(gè)實(shí)例，孩子們很容易判斷出這兩個(gè)面積比都是2倍關(guān)系。老師進(jìn)一步將問題復(fù)雜化，向內(nèi)可以找到的C3、C4……、S3、S4……在相關(guān)圖形的面積比上數(shù)值不變。向外找到的類似圖形之間，也有這個(gè)規(guī)律。
　　簡(jiǎn)析：這堂課有許多可貴之處。教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深度挖掘，最終通過孩子們積極的學(xué)習(xí)反應(yīng)回報(bào)給教師。通過教師的細(xì)致剖析，原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，變得簡(jiǎn)單起來。孩子們可以借用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的面積計(jì)算方法，比較容易地解決難題。但是，我們注意到，從探究環(huán)節(jié)開始，孩子們對(duì)探究過程中各個(gè)子問題的解答，就都是通過計(jì)算得到的。例如，孩子們?cè)谡业溅?2、π/4、2/π、4/π幾對(duì)關(guān)系之前，是先計(jì)算所比較圖形的面積。又例如，孩子們找到的C1與C2、S1與S2的面積比，也是利用黑板上的記錄推導(dǎo)出來的。在這些計(jì)算和歸納的過程中，孩子們要做的只是找到待計(jì)算圖形的邊長(zhǎng)、半徑（或直徑），然后根據(jù)相應(yīng)的面積公式進(jìn)行運(yùn)算。在這個(gè)過程中，教師使用了本課開始所做的第二項(xiàng)準(zhǔn)備。教師始終沒有提示孩子們，利用圖形的旋轉(zhuǎn)來找到邊長(zhǎng)、半徑的關(guān)系。
　　2.教例2：周長(zhǎng)問題
　　這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，也是對(duì)課本的再加工。課上老師要帶領(lǐng)小學(xué)3年級(jí)的孩子們學(xué)會(huì)計(jì)算復(fù)雜拼圖的周長(zhǎng)問題。在課上，教師為孩子們準(zhǔn)備了4塊正方形學(xué)具，以幫助孩子們完成兩項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)：既能夠計(jì)算出自己拼出的圖形的周長(zhǎng)，也能夠根據(jù)周長(zhǎng)拼出合乎要求的圖形。
　　在教學(xué)之前，教師對(duì)孩子們已掌握的內(nèi)容做了復(fù)習(xí)。教師向孩子們演示在計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)可以“通過移動(dòng)化繁為簡(jiǎn)”（圖2）。孩子們已經(jīng)很熟練地掌握了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法。通過這項(xiàng)演示，孩子們進(jìn)一步鞏固了通過移動(dòng)化繁為簡(jiǎn)的周長(zhǎng)計(jì)算方法。通過頭腦中想象的線段平移，孩子們很容易發(fā)現(xiàn)，圖2中的4個(gè)陰影圖形的周長(zhǎng)都相同。
　　
　　完成上述復(fù)習(xí)任務(wù)以后，教師向孩子們呈現(xiàn)這節(jié)課的探究問題：用四個(gè)小正方形來拼圖，拼出的圖形，周長(zhǎng)最大是多少？周長(zhǎng)最小是多少？周長(zhǎng)還可以是多少？孩子們拼圖完成后，請(qǐng)他們中的代表向全班報(bào)告自己的圖形，并說清楚自己計(jì)算周長(zhǎng)的方法和結(jié)果。
　　在完成這項(xiàng)探究任務(wù)的過程中，教師向孩子們介紹了拼合邊的概念。帶領(lǐng)孩子們認(rèn)識(shí)到，圖形的總周長(zhǎng)等于四個(gè)小正方形的周長(zhǎng)總和與拼合邊2倍的差。孩子們了解了拼合邊的概念以后，老師進(jìn)一步引導(dǎo)孩子們，讓他們應(yīng)用這條規(guī)律，根據(jù)所要求的周長(zhǎng)，計(jì)算出拼合邊的數(shù)量，進(jìn)而指導(dǎo)自己的拼圖。至此，教師和孩子們共同完成了這節(jié)課的兩項(xiàng)重要教學(xué)目標(biāo)。
　　完成了這兩項(xiàng)目標(biāo)以后，教師把問題情境進(jìn)一步復(fù)雜化。參與拼圖的圖形，由正方形變成長(zhǎng)方形。并且，教師課前已經(jīng)把教室里的課桌，按照4張一組的方式，擺在了一起。要求孩子們利用拼合邊的規(guī)律，找到自己所在小組的課桌圖形的邊長(zhǎng)。
　　簡(jiǎn)析：在這節(jié)課中，教師通過探究問題，帶領(lǐng)孩子們找到“拼合邊”這個(gè)概念。隨后，在解決“根據(jù)所需周長(zhǎng)來拼圖”的問題時(shí)，教師引導(dǎo)孩子們應(yīng)用“拼合邊”這條規(guī)律。基本上，這節(jié)課的大半時(shí)間，是圍繞著這一規(guī)律來進(jìn)行的，沒有十分關(guān)注周長(zhǎng)計(jì)算方法的練習(xí)。一條在課堂上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，幫助孩子們化繁為簡(jiǎn)、變不可能為可能。這對(duì)孩子們來說，是一次很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。不過，在這節(jié)課一開始老師演示的“通過移動(dòng)化繁為簡(jiǎn)”的技巧，在進(jìn)入“拼合邊”的教學(xué)環(huán)節(jié)以后，就被放棄了。
　　3.目標(biāo)分裂在課例中的表現(xiàn)
　　首先，關(guān)注內(nèi)容目標(biāo)，損害了過程目標(biāo)。在這兩個(gè)課例當(dāng)中，教師對(duì)教材的許多深入挖掘，都沒有在教學(xué)中充分展開。課例1當(dāng)中的“旋轉(zhuǎn)”、課例2當(dāng)中的“平移”，恰恰是帶有規(guī)律性認(rèn)識(shí)、可以化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)要點(diǎn)。為什么會(huì)出現(xiàn)這種浪費(fèi)？原來，教師在帶領(lǐng)孩子們探索、總結(jié)這些規(guī)律時(shí)，需要花費(fèi)大量的時(shí)間進(jìn)行運(yùn)算①。在這個(gè)過程中，除非孩子們已經(jīng)充分掌握了計(jì)算的技巧，否則他們并不清楚結(jié)果怎么來的。譬如，在課例1當(dāng)中，已知圓的半徑要求計(jì)算其內(nèi)接正方形的面積。在解決這個(gè)問題時(shí)，有的學(xué)生應(yīng)用了“勾股定理”。這明顯超出了6年級(jí)小學(xué)生應(yīng)知應(yīng)會(huì)的范圍。又譬如，在課例2當(dāng)中，有的學(xué)生可以用周長(zhǎng)為4的4個(gè)小正方形，拼出周長(zhǎng)為13的圖形。這對(duì)一部分孩子來說，也可能有理解上的難度。教師要幫助孩子們克服這些知識(shí)、理解的障礙，可能就要犧牲一些對(duì)整體進(jìn)展的關(guān)照。
　　其次，關(guān)注過程目標(biāo)，損害了內(nèi)容目標(biāo)。在兩個(gè)課例當(dāng)中，規(guī)律性的認(rèn)識(shí)固然可以吸引孩子們，但是卻會(huì)對(duì)嚴(yán)肅的計(jì)算構(gòu)成干擾。譬如，在課例1當(dāng)中，當(dāng)教師追問面積為1平方米的正方形，其外接圓的面積是多少時(shí)，發(fā)生了這樣一段對(duì)話。
　　師：“我想知道，為什么要把正方形的面積除以２再乘以π呢？”生：“因?yàn)閳A與小正方形的比是π比２。小正方形的面積是１平方米，所以這個(gè)小正方形外最小圓的面積是1/2再乘以π?！?br/>　　很明顯，孩子們?cè)诮獯疬@個(gè)問題時(shí)，已經(jīng)理解了這節(jié)課待探索的規(guī)律之一，即正方形與其外接圓的面積比是2/π。又譬如，在課例2當(dāng)中，當(dāng)老師概括出拼合邊的規(guī)律以后，孩子們很快就會(huì)傾向于用這條規(guī)律來解決拼圖問題，而只是在老師要求時(shí)才會(huì)使用計(jì)算或數(shù)數(shù)的方法來解釋自己的答案。
　　數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)容目標(biāo)與過程目標(biāo)之間趨于分裂的現(xiàn)象，向授課老師提出了一個(gè)兩難境地。顯然，兩組目標(biāo)無論哪一方受到損害，都不是老師愿意見到的。那么，有沒有一種能兼顧不同類型目標(biāo)的思路呢？
　　三、目標(biāo)分裂現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)
　　通過“刻薄鬼”的故事，我們引入了兩組數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的概念。隨后的敘述、分析和示例顯示，這兩組目標(biāo)之間存在“目標(biāo)分裂”的隱憂。并且，這種隱憂往往真的會(huì)體現(xiàn)在課堂教學(xué)中，并干擾教師的教學(xué)。這使得一部分教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)，最終落空或受到干擾。在提出一種可能的解決方案之前，有必要先對(duì)這種“目標(biāo)分裂現(xiàn)象”做一些追本溯源的分析。
　　數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩組不同目標(biāo)，大致可以用一對(duì)比喻來分別說明其特點(diǎn)。第一個(gè)比喻說的是一個(gè)趕著赴重要約會(huì)的人。對(duì)他來說，準(zhǔn)時(shí)趕到目的地是當(dāng)前最重要的目標(biāo)。至于路上看到什么、發(fā)生什么，他并不關(guān)心。如果他的司機(jī)一時(shí)迷了路，他會(huì)很惱火。找到正確的路，糾正錯(cuò)誤，才是他所關(guān)心的。第二個(gè)比喻說的是一個(gè)在陌生城市游覽的游客。對(duì)他來說，雖然也有比較明確的游覽線路，但只要沿途足夠精彩，他也會(huì)獲得許多游覽的樂趣。對(duì)游客來說，一時(shí)迷路并不可怕。反而，在發(fā)現(xiàn)自己迷路時(shí)，他可能還會(huì)隱隱期待有意料之外的驚喜出現(xiàn)在眼前。可以說，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能等內(nèi)容目標(biāo)的教師，傾向于把學(xué)生理解為趕著赴約的人；而強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的教師，則更傾向于把學(xué)生理解為來自他鄉(xiāng)的游客。
　　在第二個(gè)比喻的情境中，迷路的游客需要自己做點(diǎn)什么，以便走出困局。遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，這暗示了學(xué)生應(yīng)該是學(xué)習(xí)過程的主動(dòng)參與者，而不要時(shí)時(shí)處處等待老師來幫他們。同時(shí)，在第二個(gè)比喻當(dāng)中，迷路的游客一定會(huì)有種種情緒體驗(yàn)。這提醒我們，數(shù)學(xué)教學(xué)過程總是連帶著一些情緒問題，教師在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的情緒。最后，在第二個(gè)比喻當(dāng)中，迷路游客的最終收獲很可能比預(yù)想的要豐富。這提示我們教學(xué)過程的潛能，可能要比我們預(yù)見的更大。雖然我們還可以引申出更多的喻意，但是無論是主動(dòng)參與、情緒體驗(yàn)還是創(chuàng)生，都可以納入數(shù)學(xué)過程目標(biāo)的范圍內(nèi)。也就是說，把學(xué)生比作游客的教師，將更傾向于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)過程目標(biāo)。
　　在第二個(gè)比喻的情境中，迷路游客的探索，一定不同于各種旅游陷阱。如果這種迷路，意味著要參加一些外界強(qiáng)加的，與游覽的目標(biāo)一點(diǎn)無關(guān)的各種購物，那么，大多數(shù)游客恐怕都是會(huì)起來反對(duì)，而不是欣然接受。
　　利用這一對(duì)比喻，我們對(duì)“目標(biāo)分裂”的實(shí)質(zhì)有了基本的認(rèn)識(shí)。原來，所謂的目標(biāo)分裂，是因?yàn)槲覀儼堰^程目標(biāo)理解為外加的、與學(xué)科無關(guān)聯(lián)的目標(biāo)。這就好像旅游過程中的強(qiáng)制購物一樣，往往是不受歡迎的。通過這一對(duì)比喻，我們也發(fā)現(xiàn)，如果過程目標(biāo)意味著學(xué)科自身內(nèi)部的一些目標(biāo)設(shè)計(jì)，就好像在一個(gè)富有文化氣息的城市偶爾迷失路線一樣，這種目標(biāo)設(shè)計(jì)反而會(huì)受到歡迎?？偟膩碚f，目標(biāo)分裂現(xiàn)象是起源于對(duì)過程目標(biāo)本身的一種不恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)。②
　　四、基于學(xué)科特色的解決之道
　　基于上述認(rèn)識(shí)，我們可以提出一種基于學(xué)科特色的，解決“目標(biāo)分裂現(xiàn)象”的方案?；緛碚f，這種方案就是倡導(dǎo)從學(xué)科內(nèi)部選擇過程目標(biāo)?？梢詫W(xué)科自身蘊(yùn)含的思考方式，設(shè)定為學(xué)科教學(xué)的過程目標(biāo)。這樣，對(duì)學(xué)科特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，將成為我們?cè)O(shè)計(jì)教學(xué)過程目標(biāo)的知識(shí)基礎(chǔ)。例如，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)來說，過程目標(biāo)就來自數(shù)學(xué)學(xué)科自身所倡導(dǎo)的那些思考方式。
　　回過頭來再來考慮“刻薄鬼”這個(gè)故事，可能你早已發(fā)現(xiàn)，只要杰克把9只罐子分為3只一組，然后再動(dòng)用天平，就能夠取得成功了。前面提到過，為了找到正確答案，對(duì)杰克來說，最困難的不是簡(jiǎn)單的計(jì)算能力，而是要跟我們一樣能在數(shù)學(xué)難題面前保持堅(jiān)韌、積極的態(tài)度，同時(shí)又有靈活、富有彈性的思維。這些有關(guān)態(tài)度、思維的目標(biāo)，是數(shù)學(xué)學(xué)科可以教的嗎？這就要看教師對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)的認(rèn)識(shí)了?；旧蟻碚f，把數(shù)學(xué)理解為有單一確定答案的學(xué)科，這還是一種比較表層的認(rèn)識(shí)。更為深刻的認(rèn)識(shí)，恐怕是把數(shù)學(xué)理解為一種認(rèn)識(shí)世界的方法。它是有彈性和富于選擇的。
　　總的來說，我們提供的方案設(shè)計(jì)，是倡導(dǎo)根據(jù)學(xué)科思維方式選擇過程目標(biāo)。讓過程目標(biāo)真的是學(xué)科以內(nèi)的，而不要是自外部強(qiáng)加于學(xué)科教學(xué)的。這對(duì)教師提出了更高的要求。教師不但要懂得自己所教學(xué)科的知識(shí)，而且要對(duì)這個(gè)學(xué)科的思維方式有所認(rèn)識(shí)。存在主義教育哲學(xué)家格林曾把教師比作“陌生人”而不是“返鄉(xiāng)者”。[5]她希望教師能夠?qū)ψ约旱氖澜绫３志X、不斷重建。這正是擔(dān)心教師在習(xí)慣的世界里，喪失反思能力。所以說，我們?cè)谶@里提出的解決方案，也對(duì)教師的反思水平提出考驗(yàn)。我們一方面感知到在數(shù)學(xué)、語文、英語等學(xué)術(shù)性學(xué)科中進(jìn)行價(jià)值教學(xué)的困難，另一方面又觀察到不同學(xué)科出身的人的確有十分不同的看問題和思考問題的方式。為什么會(huì)存在這一對(duì)看似矛盾的觀察？在我們看來，這證明了兩個(gè)事實(shí)：其一，學(xué)科思維方式，的確對(duì)人具有深刻和長(zhǎng)遠(yuǎn)的影響。其二，在學(xué)科價(jià)值之外，附加所謂態(tài)度、價(jià)值觀的教學(xué)還沒有找到有效的實(shí)施路徑。
　　
　　本文提出的“目標(biāo)分裂”現(xiàn)象，并不僅限于數(shù)學(xué)學(xué)科。例如，在語文、英語等學(xué)科中，有語言技能、語料素材與對(duì)語言情感、作品欣賞之間的潛在沖突；在物理、化學(xué)等學(xué)科中，有科學(xué)事實(shí)和科學(xué)史及科學(xué)精神之間的潛在沖突；在藝術(shù)類學(xué)科當(dāng)中，有技能、技法與愛好和欣賞之間的潛在沖突。可以說，本文指出的目標(biāo)分裂現(xiàn)象，幾乎在所有學(xué)科中都可能遇到。那么，我們提出的解決路徑，即“挖掘?qū)W科自身獨(dú)有的思考方式”的觀點(diǎn)，是否也適合其他學(xué)科呢？這與在數(shù)學(xué)學(xué)科的情況一樣，都還有待更多的老師參與進(jìn)來，和我們一同去檢驗(yàn)。
　?。g迎各位老師與我分享有價(jià)值的課例。通信郵箱：dingdaoyong@bnu.edu.cn）
　　本研究受“中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助（項(xiàng)目號(hào)：702105562GK）”，受北京建華實(shí)驗(yàn)學(xué)?！叭松行慕逃毖芯宽?xiàng)目支持。
　　注釋:
　?、儆嶙右脑缒昃吞岢鲞^，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要多用歸納法，而少用成人所熟悉的演繹法。他的原話是這樣的：“正式的數(shù)學(xué)，差不多完全是用演繹法推論的。但是小學(xué)生的心理，最怕的是演繹的推論。我們成人，做慣了演繹的數(shù)學(xué)，往往依樣畫葫蘆，用同樣的方法去教小學(xué)生，那知他們拒不接受，愈講愈弄糊涂。我們以為學(xué)生太笨。其實(shí)，還是我們自己不夠聰明。演繹的推論，實(shí)在是一種很經(jīng)濟(jì)的辦法。我們從這等推論里，可以發(fā)現(xiàn)新的原質(zhì)，新的行星。但是，在養(yǎng)成這等演繹的推論以前，一定要經(jīng)過相當(dāng)?shù)臍w納研究。歸納在先，演繹在后，是當(dāng)然的次序。”[6]直接教規(guī)律并用來解題，這是一種演繹的思路；經(jīng)歷各種錯(cuò)誤，再找到規(guī)律，這就類同于歸納的思路了。
　?、谖覀儤酚^地相信，這個(gè)主張從另一個(gè)角度，補(bǔ)充了杜威有關(guān)自然主義的科目與人文主義的科目之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。杜威從自己的哲學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，主張取消這種學(xué)科性質(zhì)上的二元論，認(rèn)為：“近代科學(xué)的興起就預(yù)示著恢復(fù)自然和人性的緊密聯(lián)系，因?yàn)榻茖W(xué)把自然知識(shí)看做取得人類進(jìn)步和幸福的手段?！盵7]這種觀點(diǎn)基本上還是在教育哲學(xué)層面的討論。對(duì)于如何實(shí)現(xiàn)內(nèi)容與方法的統(tǒng)一，還沒有給出教學(xué)上的解決方案。我們的主張，為學(xué)科內(nèi)容目標(biāo)與學(xué)科過程目標(biāo)的整合提供路徑。這是實(shí)現(xiàn)“自然主義學(xué)科”的“人文性”的一種途徑。
　　參考文獻(xiàn)：
　　[1]Ern