草圖是一種畫圖形式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中更是一種重要的解題策略。草圖策略，即根據(jù)數(shù)學(xué)信息和問題畫出相應(yīng)的圖形來幫助審題、理解題意和分析數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜的問題變得簡單，抽象的問題變得直觀，最終輕松地解決實際問題。本文旨在通過對學(xué)生畫圖解題的現(xiàn)狀的分析，并結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗，談?wù)劜輬D策略在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。
　　一、探究的背景
　　近幾年，筆者一直擔(dān)任小學(xué)高年級數(shù)學(xué)的教學(xué)。在課堂練習(xí)、課后作業(yè)和考試測驗中發(fā)現(xiàn)，得分率較低的題型主要有：稍微復(fù)雜且抽象的應(yīng)用題、較難的空間幾何知識題以及綜合題。學(xué)生對這些類型的題目往往是一知半解，尤其是遇到那些數(shù)學(xué)信息較隱蔽、數(shù)量關(guān)系較抽象的題目時更是束手無策。
　　例如，在一次六年級上冊第四單元的測試之后，筆者通過對本班的試卷分析發(fā)現(xiàn)：第五大題“解決問題”中的第5小題得分率只有30%。題目是這樣的：在一個直徑為10米的花園的外邊沿鋪一條寬1米的小路，求這條小路的面積。本題的特點是：文字少，條件少，看起來簡單。但是，題中的數(shù)量10米和1米之間的關(guān)系卻較為抽象，不能直接看出它們之間的關(guān)系。因此，學(xué)生在解題時，容易出現(xiàn)以下錯誤：
　　3.14×（102-12）＝310.86（平方米）；10÷2＝5（米），3.14×（52-12）＝75.36（平方米）。
　　其實，只要我們根據(jù)該題的數(shù)學(xué)信息畫出相應(yīng)的草圖，就可以使題中的數(shù)量關(guān)系變得清晰、明了，從而輕松解題。從圖1中便可看出：
　　求小路的面積就是求圓環(huán)的面積。內(nèi)圓半徑：10÷2＝5（米）；外圓半徑：5+1＝6（米）；小路的面積：3.14×(62-52)=34.54(平方米)
　　由此可見，畫圖解題既是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，又是重要的解題策略。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，畫圖策略主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形，從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達到化復(fù)雜為簡單、化抽象為直觀和化隱為顯的目的，最終更輕松地解出題目。
　　值得深思的是：既然畫圖可以幫助學(xué)生順利解題，為什么大多數(shù)學(xué)生在解題時卻不愿畫圖呢？于是，筆者對學(xué)生畫圖解題的現(xiàn)狀進行了調(diào)查分析。
　　二、學(xué)生畫圖解題的現(xiàn)狀分析
　　筆者對班上的學(xué)生進行了一次問卷調(diào)查。調(diào)查內(nèi)容如下：
　　①在平時解題中，如果遇到一些稍復(fù)雜的問題（既不是空間圖形題，又沒有作圖要求），有沒有嘗試過畫圖來幫助解題？
　　A.經(jīng)常 B.偶爾 C.沒有
　?、谀阆矚g通過畫圖來解決問題嗎？為什么？
　　A.喜歡 B.不喜歡
　　喜歡的原因:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　不喜歡的原因：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　調(diào)查結(jié)果可歸納為兩點。其一，平時解題時，如果遇到稍復(fù)雜的問題（既不是空間圖形題，又沒有作圖要求），只有約11%的學(xué)生會嘗試畫圖去解題。其二，學(xué)生喜歡畫圖解決問題是因為畫圖可以使復(fù)雜的問題變得簡單，可以更清楚地分析數(shù)量之間的關(guān)系；學(xué)生不喜歡畫圖解決問題是因為覺得畫圖很麻煩，很浪費時間。
　　調(diào)查顯示，學(xué)生畫圖解題的意識較淡薄，究其原因是受到平時畫圖規(guī)范的影響，認(rèn)為畫圖不但要用尺子一板一眼地畫，還要畫得準(zhǔn)確，結(jié)果學(xué)生把圖畫得很漂亮，可是畫圖的意識卻被壓抑了。
　　其實，在教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，在解決許多較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時是不需要畫規(guī)范圖的，只要能根據(jù)題意畫出簡單明了的草圖，幫助分析題中的數(shù)量關(guān)系就可以了。而且，同一道題的數(shù)量關(guān)系可以用不同的草圖來表達。草圖既可以突顯畫圖的靈活性，發(fā)揮學(xué)生的思維創(chuàng)造力，又可以節(jié)省時間，有效地提高解題效率。
　　因此，筆者認(rèn)為，在小學(xué)階段，尤其在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生深刻體會到草圖解題的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生畫草圖解題的習(xí)慣，讓草圖成為學(xué)生的解題策略。
　　三、草圖策略的應(yīng)用
　　小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多數(shù)學(xué)問題都可以通過畫草圖來解決，這就需要教師充分挖掘能體現(xiàn)畫草圖的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)中根據(jù)具體情況適當(dāng)?shù)貞?yīng)用草圖策略，讓學(xué)生體驗草圖策略的價值。現(xiàn)以人教版五、六年級的相關(guān)知識內(nèi)容為例，談?wù)劜輬D策略的應(yīng)用。
　　1. 畫草圖解決稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題——化復(fù)雜為簡單
　　在解決一些稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，由于題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生較難理解數(shù)量之間的關(guān)系。這時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫草圖，通過數(shù)與形相結(jié)合的形式，將數(shù)量之間的關(guān)系清晰地梳理出來。
　　例如，教學(xué)例題“白色皮有20塊，比黑色皮的2倍少4塊。共有多少塊黑色皮？”筆者要求學(xué)生熟讀題目，明確題目中的條件和問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，用自己喜歡的方式畫草圖來理清數(shù)量之間的關(guān)系。
　　結(jié)果學(xué)生所畫的草圖主要有：示意圖和線段圖。
　　生1：
　　生2：
　　生3：
　　對于學(xué)生畫出的各種草圖，教師都應(yīng)給予肯定，鼓勵學(xué)生的求異思維，并讓學(xué)生通過自己所畫的圖說說自己的解題思路。通過對比不同的草圖，讓學(xué)生認(rèn)識到，畫草圖來解題是一種很重要的解題策略。
　　然后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段圖列出數(shù)量關(guān)系式。最后，列出方程：
　?、俸谏さ膲K數(shù)×2－白色皮的塊數(shù)＝4 → 2x-20=4
　　②黑色皮的塊數(shù)×2-4＝白色皮的塊數(shù) → 2x-4=20
　?、酆谏さ膲K數(shù)×2＝白色皮的數(shù)+4 → 2x=20+4
　　④黑色皮的塊數(shù)＝(白色皮的塊數(shù)+4)÷2 → x=(20+4)÷2
　　如果學(xué)生僅從字面理解題意，那么班上只有很少的學(xué)生能準(zhǔn)確地列出數(shù)量關(guān)系式，而且這些學(xué)生只會列一種或兩種方程；如果教師引導(dǎo)學(xué)生畫草圖分析題意，那么班上大部分學(xué)生能準(zhǔn)確地列出數(shù)量關(guān)系式，并列出不同的方程來解題。
　　另外，草圖除了可以幫助分析稍復(fù)雜的方程問題，還可用于稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)問題的分析上，均可有效地幫助學(xué)生解題（見表1）。
　　2. 畫草圖解決抽象的數(shù)學(xué)問題—— 化抽象為直觀
　　“數(shù)學(xué)廣角”的設(shè)置是教材改革的一大亮點，也是教學(xué)內(nèi)容中的一個難點。許多學(xué)生都覺得“數(shù)學(xué)廣角”里的知識很抽象，難以理解，尤其是到了小學(xué)中高年級以后，中差等生學(xué)起“數(shù)學(xué)廣角”里的知識更是格外吃力。其實，在解決這些抽象的數(shù)學(xué)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫草圖分析題意，化抽象為直觀，最終解決問題。
　　例如，教學(xué)例題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”許多學(xué)生對題中的數(shù)量關(guān)系不理解，覺得無從下手。這時，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫草圖來解題：
　　①假設(shè)全部是雞：（教師在黑板上畫圖）
　　那么就有8×2=16只腳，這樣就多出26－16=10只腳。
　　師：那多出的腳是誰的，怎么辦？
　　生：多出的腳是兔子的，每只兔子少了2只腳，把腳還給兔子。
　?、诎讯喑龅哪_還給兔子：（指名學(xué)生上臺畫圖）
　　可以還給10÷2=5只兔子。
　　所以籠子里有5只兔子，3只雞。
　　通過畫草圖，把形象思維與抽象思維相結(jié)合，于是，題中數(shù)量之間的抽象關(guān)系就在生動形象的草圖中變得一目了然。在課堂練習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生都能用假設(shè)法準(zhǔn)確地解決“雞兔同籠”類的問題（見表二）。
　　3. 畫草圖解決較難的空間幾何問題——化隱為顯
　　在解決一些較難的空間幾何問題時，由于題中所給的條件較為隱蔽，學(xué)生則要一邊根據(jù)題意在頭腦中建立表象，一邊從表象中提取有效的信息解題，這樣往往會顧此失彼，導(dǎo)致解題失敗。這時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫草圖，把題中隱蔽的條件充分地顯露出來，更有效地解決問題。
　　例如，教學(xué)六年級下冊教材第30頁的習(xí)題：有塊正方體的木料，它的棱長是4dm。把這塊木料加工成一個最大的圓柱。這個圓柱體的體積是多少？
　　筆者先不讓學(xué)生看圖，而讓他們思考怎樣解題。結(jié)果，有一半的學(xué)生不能較好地理解題意，無法找出求圓柱體積的條件?？吹竭@種現(xiàn)象，筆者在黑板上畫出草圖：，讓學(xué)生說說從草圖中發(fā)現(xiàn)了什么。結(jié)果，學(xué)生恍然大悟，紛紛舉手回答：正方體的棱長其實就是圓柱的底面直徑和高。
　　通過畫草圖，學(xué)生找出了題中隱藏的條件，感受到了畫草圖策略的價值（見表3）。
　　四、草圖策略教學(xué)的建議
　　要想讓學(xué)生較好地應(yīng)用草圖解題，教師在教學(xué)中應(yīng)指引學(xué)生做到以下三點：
　　1. 掌握基本圖形的正規(guī)畫法，熟練地手繪草圖
　　畫草圖時，雖然隨意性較強，但有時也需要一定的畫圖功底，所以，在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些基本圖形的正規(guī)畫法，在此基礎(chǔ)上逐漸向草圖轉(zhuǎn)移，并適當(dāng)?shù)剡M行拓展。
　　例如：在教學(xué)五年級下冊第三單元長方體的知識時，筆者先示范畫長方體的正規(guī)圖；當(dāng)學(xué)生掌握畫法后，讓學(xué)生嘗試不用尺子較快地畫出長方體的草圖；接著在筆者的指導(dǎo)下，讓學(xué)生畫出長方體的兩種截面草圖（見圖2）：
　　有了以上的鋪墊，在解決類似問題時就可迎刃而解了。
　　且看這道例題：一根長3米的方體木料，切成3段，表面積增加80平方厘米，這根木料原來的體積是多少？
　　相應(yīng)草圖：，由圖可突破難點80平方厘米=4個底面的面積。
　　2. 草圖力求簡潔明了，目的在于解決問題
　　畫草圖并不要求精確地把握圖的準(zhǔn)確性，只要能表達出題中數(shù)量之間的關(guān)系，有助于解題即可。但是，據(jù)筆者觀察，有些學(xué)生在畫圖時有一種“畫得不漂亮就決不罷休”的心理，于是就把時間和精力都花在了畫圖上，而不是解題上，造成本末倒置的后果。因此，教師應(yīng)要求學(xué)生在畫草圖的時候做到簡潔明了，速度快，讓學(xué)生明白畫草圖是一種解題策略，最終目的在于解決問題。
　　例如，解答前面所列舉的那道題：在一個直徑為10米的花園的外邊沿鋪一條寬1米的小路，求這條小路的面積。
　　雖然該草圖里的圓并不是正規(guī)圖，缺乏美觀，但是該圖簡潔明了，從圖中可以輕松地獲取解題所需的信息。
　　3. 分享草圖策略的成果，讓學(xué)生體驗成功
　　每一種習(xí)慣的培養(yǎng)都不可能是一蹴而就的，尤其是畫草圖解決問題的習(xí)慣，它必須經(jīng)過學(xué)生循序漸進、反復(fù)訓(xùn)練才能形成。然而，習(xí)慣的形成必須要有興趣的支撐，而興趣又來源于成功的體驗，因此，要讓學(xué)生充分地感受到畫草圖策略帶來的成功感。
　　具體做法有三個：一是在練習(xí)中，學(xué)生之間互相分享所畫的草圖，交流解題思路；二是教師應(yīng)多鼓勵學(xué)生采用畫草圖的方法來解題，肯定學(xué)生所畫的不同草圖；三是在學(xué)生完成練習(xí)時，教師細心巡堂，善于在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫草圖解題的閃光點，及時在課堂上展示學(xué)生所畫的草圖，并讓學(xué)生根據(jù)草圖說說自己的解題思路，共享畫草圖策略的成果。
　　小學(xué)高年級的學(xué)生正處于從解決簡單數(shù)學(xué)問題向解決復(fù)合型數(shù)學(xué)問題的發(fā)展過程中，涂涂畫畫有助于學(xué)生對問題的分析和理解。實踐表明，畫草圖是提高學(xué)生解決問題能力的一種有效策略，因此，教師要把畫草圖策略貫穿到教學(xué)中去，并持之以恒。
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　?。ㄘ?zé)任編輯：徐蘋 梁