曾建華，朱云東，方玉萍，劉 微，段劍金，李澤東，李宏寧，楊衛(wèi)平

（云南師范大學物理與電子信息學院，昆明 650092）

基于BRDF的粗糙目標表面統(tǒng)計建模與驗證

曾建華，朱云東，方玉萍，劉 微，段劍金，李澤東，李宏寧，楊衛(wèi)平

（云南師范大學物理與電子信息學院，昆明 650092）

利用從五參量模型簡化而來的BRDF模型對水泥板、花崗巖的實驗數據進行優(yōu)化擬合.通過與實測數據比較，結果表明，二參量模型對粗糙度大的目標表面BRDF統(tǒng)計建模是完全可行、有效的，但對粗糙度小的目標表面不適用.而三參量、四參量模型對各種樣片表面都能得到較好的擬合效果.簡化模型的準確性為粗糙目標表面統(tǒng)計建模簡化了計算、節(jié)約了時間，便于進一步對粗糙目標作相關的多光譜成像研究與仿真.

雙向反射分布函數BRDF；粗糙目標表面；簡化模型

引言

1970年Nicodemus正式提出雙向反射分布函數BRDF的定義[1]，它既能描述粗糙表面的光輻射特性，也能描述方向散射特性，目前廣泛應用于各種領域，例如目標光輻射和散射特性[2]、材料診斷、圖像處理[3]等.粗糙目標樣片BRDF可以通過實驗測量[4][5]與理論計算[6]的方法來進行研究.但理論計算比較復雜，而且材料粗糙度參數也難以獲取，所以在工程應用中往往采用根據材料的實驗測量數據建立BRDF模型的方法.

文章將利用從五參量模型簡化而來的BRDF模型對水泥板、花崗巖的實驗數據進行優(yōu)化擬合，通過比較擬合結果與實測數據，結果表明，三種簡化模型對粗糙度大的目標表面BRDF進行統(tǒng)計建模都是可行、有效的，而具有方向性的樣片表面只能采用三參量和四參量模型.

1 雙向反射分布函數（BRDF）

1.1 雙向反射分布函數（BRDF）概念

BRDF定義為表面散射指定方向的輻亮度與入射輻照度之比，如圖1所示[7].它描述了物體在半球空間范圍內的反射特性，其數學表達式為：

圖1 BRDF方位角示意圖

式（1）中 θi, ?i為入射角和入射方位角，θr, ?r則為反射角和反射方位角，d Lr( θi, ?i; θr, ?r) 是（θr, ?r）方向的反射亮度，d Ei(θi, ?i) 是（θi, ?）i方向的入射照度.

1.2 BRDF的測量

BRDF的測量有定義測量法、比較測量法及單一參考測量法[8]，文章的BRDF數據采用比較測量法[4].聚四氟乙烯粉壓制的標準白板最接近朗伯體[9]，所以可以把它作為標準參考板，其雙向反射分布函數為ρ0/π 。 ρ0可以通過計量定標或者用分光光度計加積分球測量獲得.實驗測試系統(tǒng)中的光電倍增管是一種能將光信號轉換成具有一定電平的電信號的光電轉換器件，所以測量目標表面的BRDF可以通過電壓的測量得出.在相同的入射和接受條件下，參考板的輸出電壓為Vr(θi, ?i; θr, ?r)，樣品的輸出電壓為 Vs(θi, ?i; θr, ?r) ，則目標樣品的BRDF為：

因標準白板是朗伯面板，所以只需測量參考板一個特定的散射角的散射信號電壓，其散射特性滿足：

式（3）中θk表示某個特定的散射方向，表示參考板在θk散射方向的輸出電壓；θr表示任意散射角表示參考板在θr散射方向的輸出電壓.為提高效率，只需測量一個散射方向如θk=30°情況下的標準板的輸出電壓即可.把（3）式代入（2）式得[10]：

通過實驗可以由（4）式得出樣品在各種測量條件下的BRDF值，很多實驗采用的就是比較測量法.

1.3 五參量BRDF模型的簡化

在長期的研究中，很多BRDF模型已經形成，如Cook-Torrance模型、Phong模型、Wolf模型和五參量模型等[11]，而有的模型復雜，計算也很耗時，所以有必要對數學模型合理簡化.文章采用從五參量模型簡化得到的三種模型，并采用一組實驗數據[15-16]對粗糙目標表面BRDF進行擬合，以及對三種簡化模型的擬合結果進行了分析比較.

如果把樣片的鏡向反射近似為0，則五參量模型可簡化為二參量模型：

其中，a,k為待定參數.

如果用一個指數函數表示單次反射分量，另一部分為多次反射分量，則五參量模型可簡化為三參量模型：

當表面具有一定的方向性時，利用一個指數函數與漫反射函數的組合五參量模型簡化得到一個四參量模型：

其中a,b,c,d為待定參數.

2 擬合程度的評價[12]

所謂擬合程度，是指樣本觀測值集中在樣本回歸線周圍的緊密程度.

用于判斷回歸模型擬合程度優(yōu)劣最常用的數量指標是可決系數（又稱為決定系數）.

可決系數是建立在對總離差平方和進行分解的基礎上.因此，計算可決系數首先需要對總離差平方和的分解有所了解.

1、總離差的概念.總離差就是因變量的實際觀測值與其樣本均值的離差即

2、總離差的分解.總離差可以分解為兩部分：

對任一實際觀測值總有：

總離差、解釋離差和殘差三者之間的關系如圖2所示.

圖2 總離差分解圖

對公式（9）兩邊平方并求和，得：

如果用符號SST表示總離差平方和，用SSR表示解釋離差平方和，用SSE表示剩余殘差平方和，即：

則有：

將式（10）等號兩邊同除以 ，得：

從式（11）中可以明顯看出，各個樣本觀察點與樣本回歸直線靠得越近，SSR在SST中所占的比重越大.因此，如果用代表可決系數，可以將可決系數定義如下：

可決系數R2是對回歸模型擬合程度的綜合測量，可決系數越大，回歸模型擬合程度越高；反之，回歸模型擬合程度越差.

為剔除變量個數對擬合優(yōu)度的影響，將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，得到調整的可決系數記為，則有[13]：

其中n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總離差平方和的自由度.

在實際擬合工作中，對曲線進行了擬合或找到了參數僅是完成了一部分工作，還必須根據擬合結果，如擬合報表，結合專業(yè)知識，對擬合作出正確的解釋.不論是線性擬合還是非線性擬合，對其擬合結果的解釋基本相同，通常是根據擬合的調整的可決系數、加權卡方檢驗系數及對擬合結果的殘差分析而得出擬合結果的優(yōu)劣的.文章對粗糙目標表面散射特性建模就是通過求解判斷擬合程度優(yōu)劣最常用的數量指標——調整的可決系數來反映所采用的BRDF模型的擬合程度的.調整的可決系數其值在0～1之間變化越接近1表明擬合效果越好，越接近0表明擬合效果越差[14].

3 粗糙目標表面BRDF模型優(yōu)化

3.1 水泥板表面的BRDF模型驗證

3.1.1 二參量模型擬合

圖3 二參量模型對水泥板表面的擬合

表1 二參量模型對水泥板表面的擬合

利用二參量模型對水泥板數據進行擬合，入射天頂角 θi為0°、10°，如圖3所示.圖3中離散點是實測數據[15]，曲線是其用二參量模型擬合的結果.擬合獲得的模型參數如表1所示.從圖3、表1中可以看出模型擬合效果都很好，這是因為水泥板是大粗糙度隨機樣片，光散射特征接近于朗伯面，可認為基本由漫反射組成，鏡向分量可近似為零[15].

3.1.2 三參量模型擬合

圖4 三參量模型對水泥板表面的擬合

表2 三參量模型對水泥板表面的擬合

3.1.2 四參量模型擬合

圖5 四參量模型對水泥板表面的擬合

表3 四參量模型對水泥板表面的擬合

3.2 花崗巖表面的BRDF模型驗證

花崗巖表面顏色多樣，并經過拋光處理后均勻粗糙.它是一種深成酸性火成巖，主要成分是[16].下面根據一組實驗數據[16]對花崗巖表面0.6328um、入射天頂角為30°時的實驗數據分別采用三種簡化模型進行擬合，如圖6、圖7、圖8所示.圖中離散點是實測數據[16]，曲線是其擬合結果.擬合獲得的模型參數如表4所示.結果表明，二參量、三參量模型對花崗巖表面擬合結果都不是很理想，原因在于這兩種模型沒有考慮鏡向分量.指數函數與漫反射函數的組合可以反映具有方向性的樣片表面，所以四參量模型對經過拋光處理后的花崗巖表面擬合效果也是比較好的.

圖6 花崗巖入射天頂角為30°的二參量模型擬合

圖7 花崗巖入射天頂角為30°的三參量模型擬合

圖8 花崗巖入射天頂角為 的四參量模型擬合

表4 花崗巖入射天頂角為 的四參量模型擬合

4 結論

本文采用從五參量模型簡化而來的三種模型對文獻[15-16]中的水泥板、花崗巖實測數據進行擬合并作了比較.結果表明，三種簡化模型對表面粗糙的水泥板的擬合結果與實測數據吻合度都很高，但對經過拋光處理的具有方向性的花崗巖表面只有三參量和四參量模型的擬合效果較好，這說明簡化模型的選擇跟目標樣片表面粗糙度有關.驗證了簡化模型的正確性，這為粗糙目標散射特性的分析簡化了計算，節(jié)約了時間，為進一步作相關的多光譜成像研究與仿真奠定了基礎.

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BRDF-Based Statistical Modeling and Verification of Rough Target Surface

ZENG Jian-hua, ZHU Yun-dong, FANG Yu-ping, LIU Wei,DUAN Jian-jin, LI Ze-dong, LI Hong-ning, YANG Wei-ping
(Department of Physics,Yunnan Normal University,Kunming 650092,China)

In this paper, a BRDF five-parameter mo del is simplified as two-parameter model, three-parameter model and four-parameter model.The experimental data of the cement board and moorstone is fit with the simplified models.By comparison with the measured data, the results show that the two-parameter model are entirely feasible and effective for the target surface roughness BRDF statistical modeling, but not applying for the small target surface roughness.The threeparameter model and the four-parameter model can get a better fitting result for a variety of sample surface.The accuracy of the simplified model for the statistical modeling of rough target surface can simplify the calculation, save time and facilitate further the research of multi-spectral imaging and simulation related to the rough target

bidirectional reflectance distribution function(BRDF); rough target surface; simplified model

Q631

A

1008-9128（2012）02-0018-05

2011-08-20

國家自然科學基金項目（60968001，60768002），云南省自然科學基金項目（2009CD047），云南省大學生創(chuàng)新實驗項目（CX07）.

曾建華（1978- ），男，江西贛州人，碩士研究生.研究方向：多光譜成像技術研究.

楊衛(wèi)平（1958- ），男，昆明人，云南師范大學教授.研究方向：顏色科學、多光譜成像技術等.

[責任編輯 張燦邦]