劉 欣，楊 濤，張青斌

（國防科學技術大學 航天與材料工程學院，長沙410073）

助推－滑翔導彈通過火箭助推加速，依靠滑翔彈頭的高升阻比外形，利用空氣動力控制飛行軌跡，實現遠距離的非彈道式再入機動飛行.與彈道導彈相比，由于其在增大射程、突防、再入段機動等方面具有優(yōu)勢，助推－滑翔導彈逐漸成為近來的研究熱點[1].

彈道優(yōu)化設計是助推－滑翔導彈總體設計的關鍵技術之一.助推－滑翔導彈的彈道可初步分為主動段、自由飛行段、再入段，目前國內外相關研究集中在滑翔彈頭再入彈道優(yōu)化設計方面，針對導彈全彈道優(yōu)化的研究較少.文獻[2]利用近似方法對全球到達高超聲速飛行器的彈道特性進行了分析，文獻[3]利用序列二次規(guī)劃法對助推－滑翔導彈縱向全彈道進行最大射程優(yōu)化.由于助推－滑翔導彈彈道的復雜性，利用解析法進行總體參數分析十分困難，且誤差很大，結合各種優(yōu)化技術對助推－滑翔導彈的彈道特性與總體參數進行分析是一種趨勢.

本文利用Gauss偽譜法對全彈道進行優(yōu)化設計，并分析了起飛質量、主動段終端傾角等參數對導彈射程的影響.

1 助推器參數估算

為了完成主動段彈道的計算，建立起飛質量與主動段終點參數乃至導彈射程的聯系，需要對助推器的基本參數進行估算.

假設助推－滑翔導彈采用單級固體火箭助推.若初始速度為零，根據齊奧爾柯夫斯基公式，單級火箭的理想速度增量為[4]

式中：u′e為有效排氣速度，數值上等于真空比沖Ip；mf為載荷質量，m0為火箭起飛質量，m0－mf為助推器質量；結構系數ε為助推器結構質量與助推器質量之比.考慮飛行過程中由引力、氣動力和大氣靜壓引起的飛行器速度損失Δv，則要使火箭主動段終點速度達到vf，火箭的理想速度增量應為vid＝vf＋Δv，可求得起飛質量與目標速度、載荷質量的關系：

依據文獻[5]中的相關論述，可取u′e＝Ip＝2 800m/s，ε＝0.1，Δv＝0.2vf.對于給定的彈頭，式（2）建立了起飛質量與主動段終點速度的關系.

假設助推系統的任務是將質量為907.8kg的滑翔彈頭[6]助推至速度4 500m/s.根據式（2）可求得起飛質量m0＝18 013kg，進一步可計算出助推器裝藥質量為mp＝（m0－mf）（1－ε）＝15 394.7kg.通常導彈設計時需對主動段重推比（ν0＝m0g/（mpIp/t1））加以選擇.參考一般固體火箭取值，重推比可取為ν0＝0.5，據此可求出助推器工作時間t1＝s，燃料質量流量平均推力Fp＝Ip＝353.08kN.

2 助推－滑翔導彈彈道優(yōu)化模型

彈道優(yōu)化設計的目的是獲取一條或一類滿足約束和性能指標條件的最優(yōu)彈道.彈道優(yōu)化問題可描述為一般的最優(yōu)控制問題，即在時間區(qū)間[t0，tf]中，尋找最優(yōu)控制變量u（t），最小化性能指標J，并使狀態(tài)變量x（t）、初始時間t0、終端時間tf滿足運動微分方程約束以及端點約束和過程約束.下面結合助推－滑翔導彈的特點，建立運動微分方程，確定約束條件及性能指標.

1）性能指標.

助推－滑翔導彈彈道復雜，宜分段進行彈道優(yōu)化.滑翔彈頭的主要優(yōu)勢即在于增大射程，總體設計時比較關心其射程覆蓋范圍，以Lf表示彈道終點處射程，可將滑翔彈頭飛行段的性能指標取為J＝min（－Lf），即使射程最大.

主動段的主要作用是加速滑翔彈頭，其射程在全彈道射程中所占比例很小，可將性能指標取為J＝－min[（gH＋v2/2）｜tf]，即主動段終點機械能最大，以利于滑翔彈頭飛行段增大射程.

2）狀態(tài)方程.

總體性能分析時主要關注導彈縱平面的運動，忽略地球自轉和非球形影響，建立助推－滑翔導彈縱平面運動方程：

式中：H為飛行器距離地面的高度；L為射程；Θ為當地速度傾角；v為飛行器飛行速率；m為飛行器質量；e為發(fā)動機燃料質量流量；FX，FY分別為氣動阻力、升力；r為飛行器到地心的距離；μ為地球引力系數；φp為推力與速度方向的夾角.

在優(yōu)化問題中取狀態(tài)變量x＝（HLvΘ m）T，主動段通過改變推力方向控制彈道，取控制量為φp；滑翔彈頭段通過氣動舵來改變彈道，而在僅考慮縱平面運動的情況下，飛行器動力取決于飛行器的速度、高度及攻角α，則取控制量為攻角α.

3）約束條件.

彈道設計時主要考慮飛行過程約束、終端參數約束及控制量約束.飛行過程約束，也就是飛行器在飛行過程中彈道參數必須滿足的約束.為確保飛行器安全飛行，通常要考慮熱流、法向過載、動壓等因素對彈道的約束.具體有，法向過載約束：n＝，動壓約束駐點熱流約束＝ksρ0.5v3.15＜max.其中，ny，max，qmax，max分別為飛行中所允許的法向過載、動壓和熱流的最大值.

終端參數約束是指飛行器在彈道端點需滿足的條件，即最優(yōu)控制問題中的邊界條件.主動段彈道起點參數取為導彈垂直上升段終點狀態(tài)，滑翔彈頭飛行段起點參數應當與主動段終點參數一致，滑翔彈頭飛行段末端通常有落地速度與落地彈道傾角的要求，可?。ǎ╰f）＝－60°，v（tf）＝1 000m/s.

另外，攻角、推力與速度方向的夾角等控制量的幅值和變化率不能超過限制值，可?。粒?5°，｜φp｜＜5°，｜｜＜1 （°）/s，｜p｜＜1 （°）/s.

3 Gauss偽譜法優(yōu)化基本原理

助推－滑翔導彈彈道形式復雜，飛行約束多，其彈道優(yōu)化是一個難點.Gauss偽譜法（Gauss Pseudospectral Method，GPM）是一種適合解決多階段多約束最優(yōu)控制問題的數值優(yōu)化方法，它將狀態(tài)變量和控制變量在一系列Legendre Gauss（LG）點上離散，構造全局插值多項式來近似狀態(tài)變量和控制變量，經過一系列處理，最終將最優(yōu)控制問題轉化為具有一系列代數約束的參數優(yōu)化問題，即非線性規(guī)劃問題（NLP），并進行數值求解.GPM離散最優(yōu)控制問題的主要流程如下[7，8].

1）時域變換.

由于Gauss偽譜法的配點都分布在區(qū)間[－1，1]，因此求解中一般對時間區(qū)間進行變換，通過引入變換：

將最優(yōu)控制問題的時間區(qū)間由t∈[t0，tf]轉換至τ∈[－1，1]，并將原問題按時間歸一化.

2）全局插值多項式近似狀態(tài)與控制變量.

Gauss偽譜法的離散點κ＝｛τ1，…，τK｝為K階Legendre－Gauss點，即K階Legendre多項式的根PK（τ），其中，

Legendre－Gauss點分布在區(qū)間（－1，1），再增加一個點，τ0＝－1，作為區(qū)間[－1，1）上的K＋1個插值點，構成K＋1個Lagrange插值多項式li（τ）（i＝0，…，K），并以此為基函數近似狀態(tài)變量和控制變量：

3）動力學方程約束轉換為代數約束.

偽譜方法中，狀態(tài)變量由全局插值多項式近似，狀態(tài)變量的導數可通過求導來近似，從而將動力學微分方程約束轉換為代數約束，即

式中，τk為LG點.微分矩陣D∈RK×（K＋1）可離線確定，將式（8）代入動力學方程：

于是，將最優(yōu)控制問題的動力學微分方程約束轉換為代數約束：

4）離散條件下的性能指標.

將Bolza型性能指標函數J＝Φ（X0，t0，Xf，tf）＋中的積分項用Gauss積分來近似，得到Gauss偽譜方法中的性能指標函數：

5）離散條件下的終端狀態(tài)約束.

最優(yōu)控制問題往往包含終端狀態(tài)約束，根據動力學方程有：

將終端狀態(tài)約束條件離散并用Gauss積分來近似，可得：

6）多階段不連續(xù)問題的處理.

對于助推－滑翔導彈彈道優(yōu)化這樣的分段不連續(xù)最優(yōu)控制問題，提出了多范圍偽譜技術，即將問題分成若干子區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別進行狀態(tài)變量和控制變量的離散，在分段點處設置連接點，同時加上連接點約束條件.例如在某一點τ1∈[τ0，τ2]不連續(xù)，記

則連接點約束條件為

基于上述的數值近似方法，原連續(xù)最優(yōu)控制問題被離散，并轉換為非線性規(guī)劃（NLP）問題.轉換所得的NLP問題可采用數值方法求解，其中序列二次規(guī)劃（SQP）是一種較好的選擇，SQP算法較為成熟，在此不做介紹.BENSON和 HUNTINGTON等人的研究[9，10]證明了經GPM參數化得到的NLP問題的 KKT（Karush－Kuhn－Tucker）條件與離散的Hamiltonian邊值問題（HBVP）最優(yōu)性條件之間的等價性.除此之外，GPM的主要優(yōu)點是算法以指數速率收斂，收斂速率快，且能在離散點較少時得到較好的精度.

4 優(yōu)化算例

1）最大射程彈道優(yōu)化.

助推－滑翔彈道的全彈道可劃分為主動段和滑翔彈頭飛行段，導彈經主動段彈道飛行，于關機點處滑翔彈頭與助推級分離，分離后的彈頭經自由飛行段飛行，再入大氣層后依靠彈頭的高升阻比氣動性能進行滑翔機動飛行，最終以某落速和落角攻擊目標.利用GPM對多階段不連續(xù)問題的處理辦法，主動段以關機點機械能最大為性能指標，以主動段關機點參數作為滑翔彈頭飛行段起點參數，滑翔彈頭段以射程最大為性能指標，分段進行彈道優(yōu)化.

由于滑翔彈頭飛行段射程占總射程的絕大部分，全彈道射程主要取決于主動段終點的運動參數及滑翔彈頭的氣動特性.在助推器與滑翔彈頭參數確定的情況下，主動段終端參數由主動段控制規(guī)律決定.假設Hf，vf，Θf分別為主動段結束時刻的高度、速度和彈道傾角.經初步仿真發(fā)現，vf主要由助推器的總沖與推力程序決定，受主動段控制規(guī)律影響較小；Hf對總射程影響有限；Θf既對總射程影響大，又對主動段的控制較敏感，可取Θf為主動段彈道與滑翔彈頭飛行彈道之間的銜接量.給定參數Θf的取值，性能指標與彈道約束不變，可得到不同Θf下的彈道曲線以及Θf與全彈道射程Lf的關系，如圖1、圖2所示.

圖1 不同Θf對應的彈道曲線

圖2 全彈道射程與Θf的關系

可見，Θf對彈道影響較大，且射程隨Θf的變化趨勢并不是簡單的遞增或遞減.滑翔彈頭飛行段彈道呈波狀跳躍形式，當Θf小于18°時，全彈道曲線有4個波峰；當Θf在18°～25°之間時，彈道曲線有3個波峰；當Θf大于25°時，彈道曲線有2個波峰.波峰越多，射程越大.但在以上3種彈道形式中，分別存在3個射程的局部極大值，對應的主動段終端傾角為17°，23°，40°，其中Θf＝17°時全彈道射程最大，可將此最優(yōu)傾角記為Θf，opt，其物理意義是保證在同樣的主動段終點機械能條件下，最利于飛行器的能量利用，使射程達到最大值的最優(yōu)傾角.

最大射程優(yōu)化結果如圖3～圖6所示，可見主動段終點速度略大于4 500m/s，總射程3 300km，滑翔彈頭飛行段射程占總射程的95.5%.落角、落速均嚴格滿足端點約束，法向過載滿足最大過載約束.最大射程彈道呈波狀跳躍形式，大部分時間的飛行高度在30km以上，彈道較平滑.其中主動段結束至再入大氣層（認為大氣層邊界高度為90km）之前的彈道，認為無控制作用，取控制量為零.

圖3 彈道曲線

圖4 速度曲線

圖5 彈道傾角曲線

圖6 控制量變化曲線

2）起飛質量與射程的關系.

無論是彈道導彈還是助推－滑翔導彈，其全彈道都可分為主動段和被動段，其中被動段又可分為自由飛行段、再入段兩部分.對于彈道導彈而言，再入段射程在整個被動段射程所占比例很小，可近似將該段彈道看成是自由飛行段橢圓彈道的延續(xù)，從而整個被動段射程都用橢圓彈道來計算，其被動段最大射程以及對應的最優(yōu)傾角可估算為

式中，vs為第一宇宙速度，R0為平均地球半徑.結合式（2）、式（15）、式（16）即可得到彈道導彈起飛質量與最大射程的關系.

對于助推－滑翔導彈而言，再入段射程在整個被動段射程中占大部分，而再入段彈道形式復雜，射程很難用解析式表達.當起飛質量已知時，取助推火箭燃料比沖Ip＝2 800m/s，火箭結構比ε＝0.1，重推比ν0＝0.5，則可得到助推器基本參數.通過前面的方法，利用彈道優(yōu)化技術，即得到此起飛質量下的最大射程與對應的主動段終端傾角.多次計算，即可得出起飛質量與最大射程的關系.計算結果如圖7～圖10所示.

圖7 不同起飛質量下的高度－射程曲線

圖8 不同起飛質量下的速度曲線

由圖7、圖8可見，起飛質量越大則主動段終點速度越大，全彈道射程也就越大.由圖9可見，在達到同等射程的情況下，助推－滑翔導彈的起飛質量要遠比彈道導彈小.由于采用單級火箭助推，在射程大于4 000km以上時，助推－滑翔導彈的起飛質量過大，此時宜采用多級火箭助推，以減小消極質量.由圖10可見，與彈道導彈相比，助推－滑翔導彈最大射程對應的主動段終端傾角要小得多，這就要求導彈主動段具有較強的機動能力，以便完成轉彎.

圖9 質量比m0/mf隨全彈道射程變化曲線

圖10 最優(yōu)傾角Θf，opt隨m0/mf變化曲線

5 結論

本文推導了單級固體火箭助推飛行器起飛質量與主動段終點速度解析關系式，給出了助推器參數的估算方法.使用Gauss偽譜法對助推－滑翔導彈的全彈道進行了優(yōu)化計算.采用分段優(yōu)化的策略，以主動段終端傾角Θf為彈道銜接量，分析了Θf對射程的影響，結果表明存在使射程達到最大值的最優(yōu)傾角Θf，opt，且此最優(yōu)傾角與彈道導彈相應值相比要小得多.最大射程彈道的優(yōu)化結果表明，Gauss偽譜法處理此類多階段多約束的彈道優(yōu)化問題效果較好，最優(yōu)彈道起伏較小，攻角變化平滑，各項約束都得到滿足.利用彈道優(yōu)化計算，分析了助推－滑翔導彈起飛質量與射程的關系，并與彈道導彈進行了比較，結果表明助推－滑翔導彈在提高射程方面具有明顯優(yōu)勢.

[1]劉欣，楊濤.滑翔導彈再入拉起段彈道優(yōu)化設計與制導[J].國防科技大學學報，2012，34（1）：67－71.LIU Xin，YANG Tao.Trajectory optimization and guidance in reentry phase for glide missile[J].Journal of National University of Denfence Technology，2012，34（1）：67－71.（in Chinese）

[2]PERSTON H C，DARRY J P.Approximate performance of periodic hypersonic cruise trajectories for global reach[C].Proceedings of AIAA 8th International Space Planes and Hypersonics and Technologies Conference.Norfolk，VA：AIAA，1998：1－6.

[3]李瑜，楊志紅，崔乃剛.助推－滑翔導彈彈道優(yōu)化研究[J].宇航學報，2008，29（1）：66－71.LI Yu，YANG Zhi－h(huán)ong，CUI Nai－gang.A study of optimal trajectory for boost－glide missle[J].Journal of Astronautics，2008，29（1）：66－71.（in Chinese）

[4]趙吉松，谷良賢，龔春林.高超聲速飛行器起飛質量的解析估算[J].固體火箭技術，2008，31（6）：548－551.ZHAO Ji－song，GU Liang－xian，GONG Chun－lin.Analytical evaluation of takeoff mass for hypersonic vehicles[J].Journal of Solid Rocket Technology，2008，31（6）：548－551.（in Chinese）

[5]賈沛然，陳克俊，何力.遠程火箭彈道學[M].長沙：國防科技大學出版社，1993：89－96，195－205.JIA Pei－ran，CHEN Ke－jun，HE Li.Ballistic for long－range rocket[M].Changsha：National University of Denfence Technology Press，1993：89－96，195－205.（in chinese）

[6]TIMOTHY R J.Common aero vehicle autonomous reentry trajectory optimization satisfying waypoint and no－fly zone constraints[D].Ohio，USA：Air Force Insitute of Technology Graduate School of Engineering and Management，2007：88－89.

[7]雍恩米.高超聲速滑翔式再入飛行器軌跡優(yōu)化與制導方法研究[D].長沙：國防科學技術大學，2008：49－53.YONG En－mi.Study on trajectory optimization and guidance approach for hypersonic glide－reentry[D].Changsha：National University of Defense Technology，2008：49－53.（in Chinese）

[8]楊希祥，張為華.基于Gauss偽譜法的固體運載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化研究[J].宇航學報，2011，32（1）：15－21.YANG Xi－xiang，ZHANG Wei－h(huán)ua.Rapid optimization of ascent trajectory for solid launch vehicles based on Gauss pseudospectral method[J].Journal of Astronautics.2011，32（1）：15－21.（in Chinese）

[9]HUNTINGTON G T.Advancement and analysis of a Gauss pseudospectral transcription for optimal control problems[D].Massachusetts，USA：Massachusetts Institute of Technology，2007：51－57，115－143.

[10]BENSON D A，HUNTINGTON G T，THORVALDSEN T P.Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29（6）：1 435－1 440.