張科南，周 浩，陳萬(wàn)春

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191）

近年來(lái)，隨著反導(dǎo)技術(shù)的不斷進(jìn)步，機(jī)動(dòng)突防設(shè)計(jì)成為現(xiàn)代導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)過(guò)程中必不可少的一環(huán).國(guó)內(nèi)外涌現(xiàn)出了許多關(guān)于彈道導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防技術(shù)的研究成果[1～3].這些成果通常集中于研究導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的某段（如彈道導(dǎo)彈的中段，反艦導(dǎo)彈末端），對(duì)該段導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計(jì)，獲得制導(dǎo)律的最優(yōu)解.

高超聲速飛行器具有飛行速度快、射程遠(yuǎn)和突防能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).目前，關(guān)于高超聲速飛行器機(jī)動(dòng)突防模式的成果還很少，本文旨在探討研究突防技術(shù)在這一全新領(lǐng)域的應(yīng)用.高超聲速飛行器因其自身的特點(diǎn)，采用彈道導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈等傳統(tǒng)的機(jī)動(dòng)突防技術(shù)效果未必會(huì)好.鑒于其速度快、射程遠(yuǎn)的特點(diǎn)，本文提出了進(jìn)行大空域機(jī)動(dòng)甚至全程機(jī)動(dòng)的策略.根據(jù)飛行任務(wù)中的航路點(diǎn)和禁飛區(qū)分布[4，5]，以及禁飛區(qū)類(lèi)型不同，設(shè)計(jì)了多種機(jī)動(dòng)突防模式：?jiǎn)蜸機(jī)動(dòng)、半圓機(jī)動(dòng)、橫向蛇形機(jī)動(dòng)、滑翔跳躍機(jī)動(dòng)、縱向蛇形機(jī)動(dòng).不同機(jī)動(dòng)突防模式的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以看作是有特定約束要求的彈道優(yōu)化問(wèn)題.本文受文獻(xiàn)[6]中關(guān)于再入機(jī)動(dòng)彈道工程設(shè)計(jì)法的啟發(fā)，結(jié)合擬平衡滑翔飛行的特點(diǎn)，提出了一種簡(jiǎn)便易行的直接法優(yōu)化策略[7]，用來(lái)求解彈道優(yōu)化問(wèn)題.優(yōu)化過(guò)程中，不但考慮了終端條件約束和熱流、動(dòng)壓、過(guò)載等過(guò)程約束，而且加入了航路點(diǎn)和禁飛區(qū)的限制.為便于工程實(shí)現(xiàn)，還限制了控制變量的變化幅度及變化率.在文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的擬平衡滑翔條件（Improved Quasi－Equilibrium Glide Condition，IQEGC），建立了攻角和傾側(cè)角間一種約束關(guān)系，減少了一個(gè)控制變量，從而提高了計(jì)算速度；而且能夠保證彈道的平緩以滿(mǎn)足熱流、動(dòng)壓、過(guò)載等過(guò)程約束.

1 研究對(duì)象和動(dòng)力學(xué)方程

本文采用國(guó)外公開(kāi)的通用航空飛行器（Common Aero Vehicle，CAV）中的高升力體CAV－H為研究對(duì)象，完整的氣動(dòng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)參考文獻(xiàn)[9]的附錄.采用1976美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)大氣模型.

本文設(shè)計(jì)的是CAV的滑翔段彈道.初始條件為主動(dòng)段結(jié)束后，經(jīng)過(guò)一定變軌，滿(mǎn)足起滑點(diǎn)要求的條件.終端條件為滿(mǎn)足下壓段交班要求的條件.

假設(shè)地球?yàn)榍蝮w，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，三自由度質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：r為地心到飛行器質(zhì)心的距離；θ，φ分別為經(jīng)度和緯度；v為對(duì)地速度；FD，F(xiàn)L為阻力和升力，即FD＝ρv2SrefCD/2，F(xiàn)L＝ρv2SrefCL/2，其中，Sref為飛行器氣動(dòng)參考面積，CD，CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)；γ，σ，ψ分別為當(dāng)?shù)睾桔E角、傾側(cè)角和航向角.

2 約束條件

本文考慮了復(fù)雜的約束條件，包括控制約束、邊界條件和各種過(guò)程約束：熱流、過(guò)載、動(dòng)壓、航路點(diǎn)和禁飛區(qū)等.

2.1 控制約束

CAV的2個(gè)控制變量為傾側(cè)角σ和攻角α.為了保證飛行器的飛行穩(wěn)定，設(shè)定傾側(cè)角的變化極限是±50°，攻角范圍5°～20°，另外，對(duì)控制量變化率也進(jìn)行約束，要求傾側(cè)角變化率不超過(guò)10（°）/s，攻角變化率不超過(guò)5（°）/s.

2.2 邊界條件

為滿(mǎn)足起滑點(diǎn)要求，初始條件設(shè)為高度h0＝60km，速度v0＝7km/s，彈道傾角γ0＝0°，彈道偏角ψ0＝90°.終端約束條件包括目標(biāo)點(diǎn)的位置和指定的高度、速度限制等.為了滿(mǎn)足下壓段的交班條件，規(guī)定滑翔段末端的速度為2 km/s左右，高度為30～40km.

2.3 熱流約束

2.4 過(guò)載約束

式（8）左邊為飛行器受到的法向氣動(dòng)過(guò)載，右邊為飛行器可以承受的最大過(guò)載，取nT，max＝2.5g，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

2.5 動(dòng)壓約束

式中，ρ為大氣密度；qmax為飛行器可以承受的最大動(dòng)壓值，取qmax＝60kPa.

2.6 航路點(diǎn)約束

航路點(diǎn)是指飛行器在飛行途中必須經(jīng)過(guò)的一些位置點(diǎn)，進(jìn)行導(dǎo)航信息確認(rèn)、偵查拍照或者投遞物品等.設(shè)第i個(gè)航路點(diǎn)的位置（xi，yi），對(duì)飛行器要求在某一時(shí)刻ti，須有

2.7 禁飛區(qū)約束

禁飛區(qū)主要指預(yù)警雷達(dá)掃描區(qū)或其他防御系統(tǒng)的保護(hù)區(qū)域等.本文將禁飛區(qū)分為2類(lèi)，可以避讓的禁飛區(qū)和無(wú)法避讓的禁飛區(qū).可避讓禁飛區(qū)可以簡(jiǎn)化為無(wú)限高圓柱體型和有限高半球型.前者對(duì)應(yīng)預(yù)警雷達(dá)掃描范圍，要想避讓該區(qū)域，只能從掃描雷達(dá)的盲區(qū)飛行；后者對(duì)應(yīng)有射程和射高限制的反導(dǎo)系統(tǒng)作用區(qū)域，例如美國(guó)的愛(ài)國(guó)者系統(tǒng)，由于其反導(dǎo)導(dǎo)彈的射高受限制，也可以從該區(qū)域的上面飛過(guò).對(duì)可避讓的禁飛區(qū)，要保證飛行過(guò)程中飛行器距離禁飛區(qū)中心在安全范圍以?xún)?nèi)，即

第j個(gè)禁飛區(qū)的半徑為Rj，中心坐標(biāo)（xj，yj）；飛行器到禁飛區(qū)中心的距離，x方向上Δxj＝xxj，y方向上Δyj＝y(tǒng)－yj.

第二類(lèi)為無(wú)法避讓的禁飛區(qū)，如果目標(biāo)位于禁飛區(qū)的中心，則無(wú)論如何都是沒(méi)辦法避讓的，這時(shí)需要通過(guò)一定的機(jī)動(dòng)，改變彈道形狀，加大防御系統(tǒng)的攔截難度.

3 擬平衡滑翔條件

升力體飛行器的大部分再入彈道，彈道傾角γ通常很小，并且變化相對(duì)較慢.在式（5）中，令cosγ＝1，＝0，得：

這就是擬平衡滑翔條件QEGC.理論上，只要升力足夠，式（12）就可以保證彈道絕對(duì)平直.但實(shí)際上，隨著飛行時(shí)間變長(zhǎng)，速度越來(lái)越小，由于攻角有上限制約，飛行器獲得的升力不能滿(mǎn)足式（12）時(shí)，＜0，彈道傾角γ會(huì)出現(xiàn)一個(gè)快速的下滑，不利于飛行器的穩(wěn)定控制.本文對(duì)式（12）進(jìn)行了一定的修正，給出改進(jìn)的擬平衡滑翔條件（Improved Quasi－Equilibrium Glide Condition，IQEGC）：

式中，ε是絕對(duì)值很小的負(fù)數(shù)，用來(lái)使彈道傾角γ很緩慢地變小，避免出現(xiàn)γ的快速下滑，保證飛行器的穩(wěn)定.另外，ε可以作為一個(gè)優(yōu)化變量參與彈道設(shè)計(jì)，通過(guò)設(shè)計(jì)ε，可以得到滿(mǎn)足指定終端條件要求的彈道.

由于FL＝ρv2SrefCL/2，而CL是攻角α的函數(shù)，可見(jiàn)，QEGC提供了2個(gè)控制量?jī)A側(cè)角σ和攻角α的約束關(guān)系.若已知σ可以用σ來(lái)表示α，反之亦然.這個(gè)關(guān)系式用在優(yōu)化過(guò)程中可以減少優(yōu)化變量，提高優(yōu)化效率.

4 最優(yōu)控制問(wèn)題的求解

根據(jù)參數(shù)化方法的不同，求解最優(yōu)控制問(wèn)題的直接法分為2種基本類(lèi)型[10]：①離散控制變量，將連續(xù)空間的控制變量參數(shù)化，狀態(tài)變量由數(shù)值積分獲得；②同時(shí)離散控制變量和狀態(tài)變量，通過(guò)若干數(shù)學(xué)變換將連續(xù)動(dòng)力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程.本文提出的方法屬于第一類(lèi)直接法.由于飛行器按照QEGC飛行，選取傾側(cè)角作為獨(dú)立優(yōu)化變量，攻角可根據(jù)式（13）得到，反之亦然.按照航路點(diǎn)和禁飛區(qū)的分布，以及禁飛區(qū)類(lèi)型的不同，將傾側(cè)角或攻角離散為分段常值函數(shù)，段數(shù)的多少根據(jù)機(jī)動(dòng)突防模式?jīng)Q定.取每一段的幅值和持續(xù)時(shí)間作為離散后的優(yōu)化變量，然后利用序列二次規(guī)劃（Sequential Quadratic Programming，SQP）方法進(jìn)行求解.例如，如果要躲避一個(gè)禁飛區(qū)并返回射面，只需要將傾側(cè)角分為兩段，兩段的傾側(cè)角符號(hào)相反.選擇每段的傾側(cè)角幅值和持續(xù)時(shí)間作為優(yōu)化變量即可.離散后的傾側(cè)角為

5 多機(jī)動(dòng)突防模式彈道設(shè)計(jì)

不同的作戰(zhàn)任務(wù)，對(duì)應(yīng)不同的機(jī)動(dòng)彈道.本文主要根據(jù)不同航路點(diǎn)和禁飛區(qū)的分布，以及禁飛區(qū)類(lèi)型的不同，設(shè)計(jì)相應(yīng)的機(jī)動(dòng)彈道.其中航路點(diǎn)是必須經(jīng)過(guò)的位置點(diǎn).禁飛區(qū)分為可避讓和不可避讓2種情況.故文中將機(jī)動(dòng)彈道分為橫向機(jī)動(dòng)方式和縱向機(jī)動(dòng)方式.

為了便于說(shuō)明問(wèn)題，不失一般性，假設(shè)CAV的初始位置經(jīng)緯度為（0°，0°），目標(biāo)位于赤道平面內(nèi).CAV和目標(biāo)之間存在若干禁飛區(qū)和航路點(diǎn).

5.1 橫向機(jī)動(dòng)方式

5.1.1 單S機(jī)動(dòng)

假設(shè)在飛行器和目標(biāo)點(diǎn)中間存在2個(gè)半徑為400km的禁飛區(qū)，中心分別位于經(jīng)緯度（40°，0°）和（70°，0°）處.其余約束條件如第3節(jié)所述.由于2個(gè)危險(xiǎn)區(qū)間隔較遠(yuǎn)，飛行器可以從2個(gè)危險(xiǎn)區(qū)中間穿過(guò)擊中目標(biāo).假設(shè)目標(biāo)位于赤道平面，經(jīng)度未指定.以縱程最大作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，將傾側(cè)角σ離散為三段常值函數(shù)，相鄰兩段符號(hào)相反，以每段的幅值和持續(xù)時(shí)間為優(yōu)化變量.考慮傾側(cè)角變化率的約束，設(shè)定傾側(cè)角從一段常值轉(zhuǎn)換到另一段常值的過(guò)渡時(shí)間tf＝10s，這樣可以保證傾側(cè)角的變化率不超過(guò)10（°）/s.離散后的傾側(cè)角為

式中，σ1，σ2，σ3是常數(shù)，表示每一段上傾側(cè)角的幅值，相鄰2個(gè)符號(hào)相反.因?yàn)楣ソ堑淖兓秶葍A側(cè)角小得多，故只要傾側(cè)角滿(mǎn)足了變化率約束，攻角自然也滿(mǎn)足.

將σ1，σ2，σ3，t1，t2，tf作為優(yōu)化變量，利用 SQP方法求解轉(zhuǎn)換后的非線性規(guī)劃問(wèn)題，結(jié)果如圖1～圖3所示.

圖1 單S機(jī)動(dòng)軌跡地面投影

從圖1可以看出，優(yōu)化得到的軌跡成功地避開(kāi)禁飛區(qū)擊中目標(biāo).從圖2中的速度和高度曲線可以看出，軌跡滿(mǎn)足終端約束條件.圖3中控制變量?jī)A側(cè)角σ和攻角α的變化都在控制邊界內(nèi).σ變號(hào)過(guò)程，σ的絕對(duì)值先變小后變大，故根據(jù)QEGC決定的攻角α也伴隨出現(xiàn)先小后大的一種現(xiàn)象，反映在圖3中，每次傾側(cè)角σ變號(hào)，攻角α出現(xiàn)一個(gè)向下的小跳躍.同理可解釋圖2中彈道傾角γ小跳躍.傾側(cè)角σ變號(hào)以后，其幅值往往也發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)的攻角α也會(huì)出現(xiàn)比較明顯的變化.圖4顯示機(jī)動(dòng)彈道始終位于飛行走廊內(nèi)部，即駐點(diǎn)熱流、法向過(guò)載和動(dòng)壓都滿(mǎn)足約束要求，這是按照QEGC飛行的優(yōu)點(diǎn)之一.

圖2 單S機(jī)動(dòng)狀態(tài)變量

圖3 單S機(jī)動(dòng)控制變量

圖4 單S機(jī)動(dòng)飛行走廊

單S機(jī)動(dòng)還適用于既要經(jīng)過(guò)航路點(diǎn)，又要避開(kāi)禁飛區(qū)的情況，如圖5所示.

相關(guān)研究表明，影響數(shù)控機(jī)床熱變形誤差的主要原因是主軸部件熱變形誤差，由于實(shí)驗(yàn)條件有限，并且這篇論文主要是驗(yàn)證LWT-LSSVM建模預(yù)測(cè)方法的可行性與準(zhǔn)確性，所以只對(duì)數(shù)控機(jī)床部分發(fā)熱部件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析和研究。

圖5 單S機(jī)動(dòng)過(guò)航路點(diǎn)軌跡地面投影

5.1.2 半圓機(jī)動(dòng)

假設(shè)在5.1.1中的2個(gè)禁飛區(qū)中間（55°，0°）處增加一個(gè)半徑1 000km的大禁飛區(qū)，此時(shí)，從中間穿過(guò)禁飛區(qū)的方式難以實(shí)現(xiàn)，可以通過(guò)一次大空域半圓機(jī)動(dòng)躲過(guò)所有禁飛區(qū).結(jié)果如圖6和圖7所示，圖中圖形的含義與5.1.1中相似.

圖6 半圓機(jī)動(dòng)軌跡地面投影

圖7 半圓機(jī)動(dòng)控制變量

5.1.3 橫向蛇形機(jī)動(dòng)

前面幾種機(jī)動(dòng)方式都是針對(duì)可以避讓的禁飛區(qū)給出的方案，如果目標(biāo)位于防御區(qū)中心，此時(shí)僅靠避讓飛行是無(wú)法擊中目標(biāo)的.為了以更高的概率突破敵方防御，命中目標(biāo)，進(jìn)行全程機(jī)動(dòng)飛行，設(shè)計(jì)飛行器在整個(gè)滑翔飛行過(guò)程中進(jìn)行蛇形機(jī)動(dòng)，使彈道不規(guī)則，加大對(duì)方反導(dǎo)系統(tǒng)的攔截難度.將傾側(cè)角σ用N段常值函數(shù)進(jìn)行離散，離散后每段的持續(xù)時(shí)間相等.其中，N是正整數(shù)，根據(jù)軌跡橫向機(jī)動(dòng)的次數(shù)來(lái)確定，本文取N＝10.優(yōu)化變量選取每一段的傾側(cè)角大小及總的飛行時(shí)間.結(jié)果如圖8和圖9所示，圖中，R為縱程，X為橫程.

圖8 橫向蛇形機(jī)動(dòng)軌跡地面投影

圖9 橫向蛇形機(jī)動(dòng)控制變量

5.2 縱向機(jī)動(dòng)方式

下面給出的2種機(jī)動(dòng)方式均位于縱平面內(nèi)，飛行過(guò)程中傾側(cè)角為0°.

5.2.1 滑翔跳躍機(jī)動(dòng)

針對(duì)2.7中介紹的第2類(lèi)可避讓禁飛區(qū)，可以規(guī)劃一種更簡(jiǎn)單的避讓機(jī)動(dòng)方式.先讓飛行器按擬平衡滑翔飛行，當(dāng)接近目標(biāo)時(shí)通過(guò)一次跳躍，躲過(guò)目標(biāo)防御系統(tǒng).擬平衡滑翔階段只進(jìn)行彈道積分，不進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算.當(dāng)接近目標(biāo)時(shí)，對(duì)攻角進(jìn)行離散處理，方法與橫向機(jī)動(dòng)傾側(cè)角的離散方式相似，然后將離散后的分段攻角幅值和持續(xù)時(shí)間作為優(yōu)化變量，求解非線性規(guī)劃問(wèn)題.

圖10為滑翔跳躍機(jī)動(dòng)飛行軌跡，假設(shè)飛行器從（0°，0°）開(kāi)始滑翔，禁飛區(qū)是位于（100°，0°）處半徑45km的半球，圖中用虛線表示；目標(biāo)位于赤道面上禁飛區(qū)之后.圖10（b）為圖10（a）的局部放大圖.以縱程最大作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行彈道設(shè)計(jì).

圖10 滑翔跳躍機(jī)動(dòng)飛行軌跡

圖11 滑翔跳躍機(jī)動(dòng)攻角

5.2.2 縱向蛇形機(jī)動(dòng)

面對(duì)橫向機(jī)動(dòng)方式5.1.3中的目標(biāo)情況，還可以通過(guò)縱向全程跳躍機(jī)動(dòng)，加大防御系統(tǒng)的攔截難度.有別于最大升阻比跳躍彈道，此處對(duì)彈道傾角進(jìn)行了約束，最大幅值不超過(guò)1°，避免飛行器因跳躍幅度過(guò)大而失控.以擬平衡滑翔飛行彈道的攻角規(guī)律作為離散后攻角的初值，可以保證優(yōu)化出的彈道在擬平衡滑翔彈道附近做小幅振動(dòng)，既便于工程實(shí)現(xiàn)，又能達(dá)到機(jī)動(dòng)突防的效果.

此處，給定目標(biāo)位置（104°，0°），以飛行時(shí)間最短作為目標(biāo)函數(shù)，得到機(jī)動(dòng)彈道如圖12～圖14所示.

圖12 縱向蛇形機(jī)動(dòng)飛行軌跡

圖13 縱向蛇形機(jī)動(dòng)攻角

圖14 縱向蛇形機(jī)動(dòng)飛行走廊

6 結(jié)論

根據(jù)航路點(diǎn)、禁飛區(qū)和目標(biāo)的分布情況，本文設(shè)計(jì)了5種機(jī)動(dòng)突防模式彈道.其中，前3種屬于橫向機(jī)動(dòng)方式，設(shè)計(jì)傾側(cè)角的變化規(guī)律，攻角可通過(guò)擬平衡滑翔條件得到.后2種屬于縱向機(jī)動(dòng)方式，設(shè)計(jì)攻角規(guī)律，傾側(cè)角恒為0°.設(shè)計(jì)出的5種機(jī)動(dòng)彈道的攻角規(guī)律、傾側(cè)角規(guī)律都比較簡(jiǎn)單，而且得到的彈道滿(mǎn)足各種約束要求，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法的有效性.

[1]SHINAR J，STEINBERGT D.Analysis of optimal evasive maneuvers based on a linearized two－dimensional kinematic model[J].Journal of Aircraft，1977，14（8）：795－802.

[2]TROTTEMANT E J，SCHERER C W.Robust minimax strategies for missile guidance design[C].AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit.Honolulu，Hawaii：AIAA，2008.

[3]MAURO P，BRUCE A C.Optimal interception of evasive missile warheads：numerical solution of the differential game[J].Journal of Guidance Control and Dynamics，2008，31（4）：1 111－1 123.

[4]JORRIS T R，COBB R G.2－D trajectory optimization satisfying waypoints and no－fly zone constraints[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31（3）：551－572.

[5]JORRIS T R，COBB R G.Three－dimensional trajectory optimization satisfying waypoints and no－fly zone constraints[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32（2）：543－553.

[6]趙漢元.飛行器再入動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1997.ZHAO Han－yuan.Vehicle reentry dynamics and guidance[M].Changsha：National University of Defense Technology Press，1997.（in Chinese）

[7]ZHANG K，CHEN W.Trajectory optimization for hypersonic vehicle satisfying maneuvering penetration[J].Applied Mechanics and Materials，2011，110：5 223－5 231.

[8]SHEN Z，LU P.On－board generation of three－dimensional constrained entry trajectories[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26（1）：111－121.

[9]PHILIPS T H.A common aero vehicle（CAV）model，description，and employment guide[EB/OL].[2003].http：//www.dtic.millmatris/sbir041/srch/af031a.doc.

[10]BETTS J T.Practical methods for optimal control using nonlinear programming[M].Washington：Society for Industrial and Applied Mathematics，2001.