王 振，吳 忠，蔣方超

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100191）

作為一種強有力的威懾和打擊手段，彈道導(dǎo)彈在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中起著舉足輕重的作用.為提高彈道導(dǎo)彈的命中精度，增強機動突防能力，必須對彈道導(dǎo)彈的再入彈頭進行末制導(dǎo).再入彈頭的姿態(tài)控制是末制導(dǎo)所要解決的核心關(guān)鍵技術(shù)之一.

為實現(xiàn)再入彈頭的姿態(tài)控制，目前主要采用氣動舵面控制、推力矢量控制、變質(zhì)心控制等方案.氣動舵面控制和推力矢量控制方案在工程上已有多年的實踐歷史，技術(shù)相對較為成熟.然而，實踐表明氣動舵面存在高溫?zé)g、控制效率不高等問題[1].推力矢量控制雖不存在上述問題，但會引起彈體質(zhì)心漂移，側(cè)向噴流與來流的相互影響也會產(chǎn)生一定的干擾，影響彈體的控制性能[2].

變質(zhì)心控制方案則將質(zhì)量滑塊安裝在彈頭內(nèi)部，不存在燒蝕問題，結(jié)構(gòu)簡單[3～5]，已成功應(yīng)用于“白楊”M等導(dǎo)彈中[6].國內(nèi)對變質(zhì)心控制方案的研究起步較晚，但已取得一些有價值的研究成果[7，8].然而，僅依靠質(zhì)量滑塊不能產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)控制力矩，在大氣稀薄時，無法實現(xiàn)較大幅度的姿態(tài)機動[3].

為避免以上方案存在的問題，文獻[9]將航天器控制領(lǐng)域中常用的姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)——動量輪引入再入彈頭的控制.與變質(zhì)心控制類似，動量輪同樣不存在燒蝕問題.然而，動量輪所能提供的力矩有限，不足以實現(xiàn)彈頭較大的機動控制[6，9].

同樣，單框架控制力矩陀螺（SGCMG）也是一種航天器姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)[10]，利用較小的框架運動即可輸出較大的力矩，不依賴外部環(huán)境，動態(tài)特性好，適于高機動再入彈頭的姿態(tài)穩(wěn)定與控制[6].然而，當(dāng)SGCMG產(chǎn)生常值力矩時，可能會發(fā)生角動量飽和問題，需要借助卸載執(zhí)行機構(gòu)進行卸載.

考慮到質(zhì)量滑塊和SGCMG特點的互補性，可采用SGCMG輔助質(zhì)量滑塊工作，而通過質(zhì)量滑塊調(diào)節(jié)氣動力矩為SGCMG卸載，取長補短.當(dāng)彈頭位于大氣層外或大氣較為稀薄時，以SGCMG為主，以質(zhì)量滑塊為輔；當(dāng)彈頭位于大氣層內(nèi)或大氣較為稠密時，以質(zhì)量滑塊為主，以SGCMG為輔.然而，如何將質(zhì)量滑塊和SGCMG復(fù)合使用以實現(xiàn)彈頭再入控制，目前尚未見系統(tǒng)的研究工作.

因此，本文針對采用質(zhì)量滑塊和SGCMG 2類執(zhí)行機構(gòu)的再入彈頭，采用New－Euler法，詳細建立基于復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)的再入動力學(xué)模型，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計彈頭非線性姿態(tài)控制器，以實現(xiàn)對期望姿態(tài)的良好跟蹤，并通過仿真手段，分析復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)在再入彈頭控制中應(yīng)用的可行性.

1 坐標(biāo)系及符號定義

設(shè)再入彈頭采用2個質(zhì)量滑塊（p、q）和n個SGCMG作為姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)，整個系統(tǒng)的質(zhì)心為S，彈頭本體的質(zhì)心為O，壓心為P，如圖1所示.所用坐標(biāo)系定義如下.

①慣性坐標(biāo)系OExiyizi（i系）.選為地心赤道慣性坐標(biāo)系.

②再入坐標(biāo)系exeyeze（e系）.e為再入時刻地心OE與再入彈頭質(zhì)心O的連線與地球表面的交點，eye沿e點與質(zhì)心O的連線方向，指向質(zhì)心O為正，exe在再入時刻再入彈頭運行的軌道平面內(nèi)，且垂直于eye軸.

③再入彈頭體坐標(biāo)系Oxbybzb（b系）.O為再入彈頭質(zhì)心，Oxb沿縱軸指向頭部，Oyb在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，向上為正，Ozb由右手定則確定.

④平臺坐標(biāo)系Opxpypzp（p系）.用于安裝SGCMG，Op與O重合，Opxp、Opyp、Opzp分別與彈體坐標(biāo)系的Oyb、Ozb、Oxb軸重合.

⑤框架坐標(biāo)系Gisigiti（Gi系）.框架坐標(biāo)系隨框架一起轉(zhuǎn)動，Gi為第i個SGCMG的質(zhì)心，Gisi沿轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動軸方向，Gigi沿框架轉(zhuǎn)動軸方向，如圖2所示.

圖1 再入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖及坐標(biāo)系定義

圖2 SGCMG結(jié)構(gòu)示意圖及坐標(biāo)系定義

為方便推導(dǎo)，定義變量及符號如下：

m為彈頭和SGCMG的總質(zhì)量；mp，mq分別為質(zhì)量滑塊p和q的質(zhì)量；再入系統(tǒng)總質(zhì)量mt＝m＋mp＋mq；質(zhì)量比μp＝mp/mt，μq＝mq/mt.

rs為質(zhì)心S的絕對矢量，ro為質(zhì)心O的絕對矢量，ros為質(zhì)心S相對質(zhì)心O的矢量；rsp為質(zhì)量滑塊質(zhì)心p相對質(zhì)心S的矢量；rsq為質(zhì)量滑塊質(zhì)心q相對質(zhì)心S的矢量；p，q分別為質(zhì)量滑塊p和q相對質(zhì)心O的位置矢量；vp，vq分別為質(zhì)量滑塊p和q的絕對速度矢量.

Ag＝ （g1g2…gn），As＝ （s1s2…sn），At＝（t1t2…tn），其中，gj，sj，tj分別表示SGCMG的框架角速度方向單位矢量、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速方向單位矢量和輸出力矩反方向單位矢量在b系中的分量列陣，j＝1，2，…，n；Icg，Ics，Ict分別為SGCMG（包括框架和轉(zhuǎn)子）對g，s，t軸的轉(zhuǎn)動慣量對角矩陣；Iws為SGCMG轉(zhuǎn)子軸向轉(zhuǎn)動慣量對角矩陣；Ω＝（Ω1Ω2…Ωn）T為SGCMG的轉(zhuǎn)子角速度；（Ω）d＝diag（Ω1，Ω2，…，Ωn），上標(biāo)“d”表示對角變換；γ＝（γ1γ2…γn）T為SGCMG的框架角＝（12…n）T為框架角速度.

G為再入系統(tǒng)重力；Fa為空氣動力；Mo為空氣動力對質(zhì)心O的力矩；Ms為空氣動力對質(zhì)心S的力矩；Md為空氣阻尼力矩.

Jo為再入彈頭對質(zhì)心O的轉(zhuǎn)動慣量；J為再入系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量.

（·）w表示矢量（·）在w系中的投影表示從u系到w系的坐標(biāo)變換矩陣表示w系相對u系的角速度在 w 系中的投影分別表示矢量r相對u系的一階、二階導(dǎo)數(shù)在w系的投影；如果x＝（x1x2x3）T，則

2 再入彈頭動力學(xué)建模

設(shè)再入系統(tǒng)各部分為剛體，視質(zhì)量滑塊均為質(zhì)點，考慮地球自轉(zhuǎn)角速度、非球形等因素的影響.同時，設(shè)質(zhì)量滑塊的布局是任意的，p和q的移動路徑均用矢量表示，n個SGCMG的安裝也是任意的.

2.1 平動動力學(xué)

再入系統(tǒng)質(zhì)心S在慣性系中可表示為

則再入系統(tǒng)質(zhì)心S的絕對加速度為

根據(jù)牛頓第二定律，可得：

又由于：

根據(jù)式（2）～式（4），可得平動動力學(xué)方程：

2.2 轉(zhuǎn)動動力學(xué)

考慮質(zhì)量滑塊及SGCMG的影響，可寫出再入系統(tǒng)相對質(zhì)心S的總動量矩：

由動量矩定理，可得：

將式（7）代入式（8），可得轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程為

式中，

如定義SGCMG產(chǎn)生的力矩為

定義質(zhì)量滑塊產(chǎn)生的慣性力矩為

定義質(zhì)量滑塊運動引起的附加轉(zhuǎn)動慣量為

則J＝Jo＋Jcmg＋ΔJ，式（9）可簡化為

式中，控制力矩為Ms＋Mg，由質(zhì)量滑塊和SGCMG共同產(chǎn)生.

2.3 姿態(tài)運動學(xué)

在此采用四元數(shù)λ＝（λ0λ1λ2λ3）T描述彈頭相對e系的姿態(tài)，記＝（λ1λ2λ3）T，則姿態(tài)運動學(xué)可表示為

如用Euler角表示姿態(tài)，滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ、偏航角ψ與四元數(shù)λ之間可以相互轉(zhuǎn)換，具體轉(zhuǎn)換關(guān)系略.

3 非線性姿態(tài)控制器設(shè)計

為實現(xiàn)彈體對期望姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤，必須設(shè)計彈頭姿態(tài)控制器.設(shè)彈頭目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)為λz，當(dāng)前姿態(tài)相對于期望姿態(tài)的誤差四元數(shù)為＝（λer0）T，則可寫出誤差姿態(tài)運動學(xué)方程為

如定義誤差角速度為

則可取Lyapunov候選函數(shù)為

式中，常數(shù)k1＞0.對上式兩端求導(dǎo)，并將式（19）、式（20）、式（16）依次代入，整理可得：

式中，常數(shù)矩陣K＞0.則式（21）可變?yōu)?/p>

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理和LaSalle不變集定理，可以證明，當(dāng)t→∞時，ωer→0，er→0，λer0→1，可以實現(xiàn)對期望姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤.

如取質(zhì)量滑塊/SGCMG產(chǎn)生的控制力矩為

4 仿真結(jié)果與分析

為驗證復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)在再入彈頭中應(yīng)用的可行性，在此針對某型彈道導(dǎo)彈的再入彈頭進行仿真研究.在仿真中，暫不考慮制導(dǎo)環(huán)節(jié)的影響，彈頭在從一定高度自由下落的過程中，給定指令姿態(tài)角，考察彈頭姿態(tài)控制系統(tǒng)對期望姿態(tài)的跟蹤能力及復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)的力矩產(chǎn)生能力.

仿真中所用的彈頭參數(shù)為[8]：彈頭質(zhì)量m＝600kg，Jo＝diag（55.1，100，100）（kg·m2），初始速度為2km/s，截面積為0.5m2；質(zhì)量滑塊采用導(dǎo)軌平行于彈體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的布局，pb＝（0py0），qb＝（00qz），mp＝mq＝60kg；考慮到質(zhì)量和體積限制，采用4個SGCMG，以雙平行構(gòu)型安裝，初始框架角為（45 －45 45 －45）T（°），Iws＝diag（0.5，0.5，0.5，0.5）（kg·m2），Ict＝Icg＝diag（0.03，0.03，0.03，0.03）（kg·m2），Ics＝diag（0.05，0.05，0.05，0.05）（kg·m2），框架軸安裝角為90°，轉(zhuǎn)子角速度Ω＝（10 000，10 000，10 000，10 000）T（r/min）.假設(shè)質(zhì)量滑塊的最大移動距離為0.2m，初始高度為32km.

采用式（22）對再入彈頭姿態(tài)進行控制，并取k1＝3.8，K＝diag（8.9，7.9，8.1）.由于式（22）給出的期望控制力矩是由質(zhì)量滑塊和SGCMG共同產(chǎn)生的，因此還必須采用一定的控制分配策略，將期望控制力矩分配給質(zhì)量滑塊和SGCMG.在此，采用質(zhì)量滑塊最大使能的控制分配方案，即在控制分配中，優(yōu)先考慮質(zhì)量滑塊，在質(zhì)量滑塊產(chǎn)生的力矩不能滿足需求時，再由SGCMG彌補其不足.對于復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)控制分配方案，將另文詳述.在力矩分配的基礎(chǔ)上，采用帶零運動的偽逆操縱律，將SGCMG的力矩指令分解為框架角速度指令；對式（12）求解，將質(zhì)量滑塊的力矩指令分解為滑塊的位置指令.

用φd、θd、ψd表示期望姿態(tài)角，Mer表示輸出力矩誤差，D和hg分別表示SGCMG的奇異測度、總角動量，仿照文獻[9]：

可得仿真結(jié)果，如圖3～圖11所示，其中三軸分量均是在體坐標(biāo)系中.由圖3、圖4可以看出，在采用SGCMG和質(zhì)量滑塊復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)的情況下，再入彈頭姿態(tài)控制系統(tǒng)可以實現(xiàn)三軸姿態(tài)的良好跟蹤，姿態(tài)角跟蹤誤差小于0.5°，姿態(tài)角速度誤差小于0.01rad/s.由圖5則可以看出，復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)能夠產(chǎn)生所需的控制力矩，偏航和俯仰力矩誤差小于0.000 3N·m，滾轉(zhuǎn)力矩誤差小于0.001 5N·m.

圖6～圖8反映了彈頭再入過程中質(zhì)量滑塊的工作情況.可以看出，在彈頭再入初始段，由于大氣密度較低，滑塊不足以產(chǎn)生所需的控制力矩，經(jīng)常位于最大位置0.2m處，即滑塊處于最大使能狀態(tài).隨著彈頭高度不斷降低，大氣密度不斷增加，氣動力也隨之增大，滑塊產(chǎn)生的偏航及俯仰力矩逐步可以滿足控制需求.因此，在30s之后，滑塊的運動幅值開始不斷減小.

圖9～圖11則反映了彈頭再入過程中SGCMG的工作情況.可以看出，在彈頭再入的全過程中，滾轉(zhuǎn)力矩主要依賴SGCMG產(chǎn)生，而SGCMG產(chǎn)生的俯仰和偏航力矩則隨著彈頭高度的降低逐漸減小.同時，SGCMG奇異測度較大，沒有出現(xiàn)奇異現(xiàn)象.SGCMG的總角動量小于100N·m·s，遠沒有達到SGCMG所能提供的最大角動量，不需要卸載操作，工程上是可以實現(xiàn)的.

圖3 姿態(tài)角跟蹤誤差曲線

圖4姿態(tài)角速度跟蹤誤差曲線

圖5控制力矩輸出誤差曲線

圖6 高度變化曲線

圖7 質(zhì)量滑塊力矩輸出曲線

圖8 質(zhì)量滑塊位置曲線

圖9 SGCMG奇異測度曲線

圖10 SGCMG力矩輸出曲線

圖11 SGCMG總角動量曲線

綜合以上分析可知，在彈頭再入全過程中，質(zhì)量滑塊和SGCMG組成的復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)可以滿足再入過程的控制力矩需求，實現(xiàn)彈頭姿態(tài)的良好跟蹤.當(dāng)大氣比較稀薄時，質(zhì)量滑塊產(chǎn)生的力矩較小，不能滿足控制需求，需要SGCMG配合以彌補質(zhì)量滑塊力矩產(chǎn)生能力的不足；當(dāng)大氣比較稠密時，質(zhì)量滑塊可以產(chǎn)生足夠大的俯仰及偏航力矩，但在滾轉(zhuǎn)通道仍需SGCMG輔助.

5 結(jié)論

本文針對采用質(zhì)量滑塊和SGCMG作為姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)的再入彈頭，建立了再入動力學(xué)模型，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計了基于復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)的再入彈頭非線性姿態(tài)控制系統(tǒng).仿真結(jié)果表明：質(zhì)量滑塊/SGCMG復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)能夠滿足再入彈頭姿態(tài)控制的力矩需求，實現(xiàn)彈頭姿態(tài)的良好跟蹤，復(fù)合執(zhí)行機構(gòu)方案是可行的.

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