劉彥君，喬士東，黃金才，成 清，黃 森

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410073）

彈道導(dǎo)彈具有射程遠(yuǎn)、再入速度快、精度高、雷達(dá)散射截面小等特點(diǎn)，被探測(cè)發(fā)現(xiàn)的概率小，被成功攔截的概率低[1].為了有效防御彈道導(dǎo)彈攻擊，當(dāng)今世界各國(guó)都十分注重發(fā)展彈道導(dǎo)彈防御技術(shù).能夠有效地預(yù)警是反戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈的前提和基礎(chǔ).對(duì)于預(yù)警系統(tǒng)而言，準(zhǔn)確、快速地預(yù)報(bào)彈道導(dǎo)彈的落點(diǎn)是反彈道導(dǎo)彈部署以及提高攔截概率的關(guān)鍵步驟[2，3].

目前，彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法主要有2種.第一種方法是未考慮大氣動(dòng)力影響的橢圓彈道理論.由于中遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的自由段射程和飛行時(shí)間占全彈道的90% 以上[4]，且按照主動(dòng)段終點(diǎn)獲得的給定速度和彈道傾角僅在地心引力下作慣性飛行[5]，軌跡是一段比較標(biāo)準(zhǔn)的橢圓弧.再入段受空氣阻力影響速度迅速減小，但其軌跡偏離原橢圓彈道不大，可以近似認(rèn)為是原橢圓彈道的延伸[6，7]，因此橢圓彈道理論 有 重 要 意 義.牛 云[8]、劉 仁[1]、顧 鐵 軍[6，9]等 應(yīng)用該理論對(duì)彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)進(jìn)行了預(yù)測(cè).第二種方法對(duì)彈道導(dǎo)彈的自由段和再入段進(jìn)行了詳細(xì)的受力分析，考慮大氣動(dòng)力影響，對(duì)彈道進(jìn)行外推預(yù)測(cè).賀明科等[10]綜合利用縱向和橫向的射程數(shù)據(jù)，給出了精度較高的落點(diǎn)外推算法和較高的落點(diǎn)預(yù)報(bào)；王旭智等[11]提出利用外彈道微分方程組實(shí)時(shí)快速解算彈道的算法.但總體而言，前者算法復(fù)雜度、精確度均低，后者反之.2種方法均依賴彈道特性對(duì)落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，忽略了來(lái)襲導(dǎo)彈具有明顯軍事意圖的事實(shí).本文以此為鑒，假定來(lái)襲導(dǎo)彈必定攻擊我方某軍事目標(biāo)，提出了快速劃定目標(biāo)搜索范圍并精確生成彈道導(dǎo)彈軌跡的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法.

本文所提算法基于當(dāng)前彈道導(dǎo)彈高精度打擊的事實(shí)[12]，假定來(lái)襲導(dǎo)彈必定攻擊我方某軍事目標(biāo)，以預(yù)警雷達(dá)探測(cè)的彈頭狀態(tài)數(shù)據(jù)（位矢與速度）為輸入，應(yīng)用橢圓彈道理論對(duì)彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，以預(yù)測(cè)誤差為半徑劃定落點(diǎn)范圍，從而判斷該范圍內(nèi)最可能的打擊目標(biāo)，若該范圍不存在打擊目標(biāo)，則重新對(duì)導(dǎo)彈落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理；之后，以彈頭參數(shù)為種子基因，以預(yù)測(cè)彈道軌跡與探測(cè)彈道軌跡的擬合度為優(yōu)化函數(shù)，基于4D外彈道模型應(yīng)用遺傳算法對(duì)彈道導(dǎo)彈彈道進(jìn)行精細(xì)處理，以便得到高精度的彈道導(dǎo)彈預(yù)測(cè)軌跡.若擬合程度未達(dá)到要求，則重新對(duì)導(dǎo)彈落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，因此該步驟可以判定估計(jì)受襲目標(biāo)的正確性.由于彈道導(dǎo)彈軌跡為特殊意義上的落點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行高精度預(yù)測(cè)是落點(diǎn)預(yù)測(cè)的廣義內(nèi)涵.圖1為算法流程圖.

圖1 算法流程圖

1 相關(guān)坐標(biāo)系及假設(shè)

1.1 坐標(biāo)系

①發(fā)射坐標(biāo)系（OzXzYzZz）.坐標(biāo)原點(diǎn)Oz位于導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)，OzYz軸沿地心到發(fā)射點(diǎn)的連線指向外，OzXz軸沿發(fā)射點(diǎn)地面切線指向瞄準(zhǔn)方向，OzZz垂直于另外兩軸并與它們構(gòu)成隨地球旋轉(zhuǎn)的右手直角坐標(biāo)系.

②地心慣性坐標(biāo)系（OeXeYeZe）.坐標(biāo)原點(diǎn)在地心Oe，OeXe軸過(guò)仿真零時(shí)刻0°經(jīng)線與赤道交點(diǎn)向外，OeYe軸過(guò)仿真零時(shí)刻?hào)|經(jīng)90°經(jīng)線與赤道交點(diǎn)向外，OeZe軸沿地球自轉(zhuǎn)軸指向北極，OeXeYeZe構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系.

1.2 假設(shè)

根據(jù)文獻(xiàn)[5，13，14]對(duì)環(huán)境進(jìn)行如下假設(shè)：①?gòu)楊^不受隨機(jī)干擾；②彈頭為軸對(duì)稱體；③彈頭為低速旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈頭；④地球?yàn)閯蛸|(zhì)標(biāo)準(zhǔn)球體；⑤彈頭在被動(dòng)段的再入段受大氣動(dòng)力影響.

2 基于橢圓彈道理論的落點(diǎn)預(yù)處理算法

本文采用橢圓彈道理論旨在對(duì)彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，以預(yù)警雷達(dá)測(cè)量誤差為擾動(dòng)因子確定預(yù)測(cè)誤差，并以其為半徑劃定落點(diǎn)范圍，從而判斷該范圍內(nèi)最可能的打擊目標(biāo)，并估計(jì)落點(diǎn)時(shí)間.為計(jì)算方便，假設(shè)矢徑r由地心指向質(zhì)點(diǎn)，速度v與當(dāng)?shù)厮骄€之間的夾角為θ，且規(guī)定速度在當(dāng)?shù)厮骄€上方時(shí)為正，反之為負(fù).如圖2所示[8]，已知初始點(diǎn)的矢徑r0、速度v0以及v0和當(dāng)?shù)厮骄€的夾角θ0，rOB為守恒矢量方向，R為地球半徑；θF，vF分別為終點(diǎn)的夾角和速度.

圖2 橢圓彈道示意圖

在僅知彈頭矢徑和速度的條件下，文獻(xiàn)[5]給出了一種v0和當(dāng)?shù)厮骄€的夾角θ0的表達(dá)式：

文獻(xiàn)[7]給出了一種橢圓彈道射程角β和飛行時(shí)間t公式的推導(dǎo)方法，即

式中，f為萬(wàn)有引力常數(shù)，m為地球質(zhì)量，h為任一瞬時(shí)導(dǎo)彈對(duì)地心的動(dòng)量矩，E為導(dǎo)彈的總機(jī)械能.

在已知觀測(cè)點(diǎn)D的矢徑、速度和射程角β后，過(guò)點(diǎn)D且平行于速度方向的平面Q1可以近似看作導(dǎo)彈的飛行平面，過(guò)地心Oe與點(diǎn)D且與彈頭速度方向垂直的平面Q2與過(guò)地心Oe與落點(diǎn)B且與彈頭速度方向垂直的平面Q3的夾角即為射程角β.根據(jù)上述事實(shí)，即推出落點(diǎn)坐標(biāo)，如圖3所示.

圖3 落點(diǎn)求解示意圖

設(shè)平面Q1為A1x＋B1y＋C1z＝0，其法向量為n1＝A1i＋B1j＋C1k，則

式中，i，j，k為各軸單位矢量，通過(guò)式（10）可以解得平面Q1.

設(shè)平面Q2為A2x＋B2y＋C2z＝0，其法向量為n2＝A2i＋B2j＋C2k，則

由式（11）即可解得平面Q2.

設(shè)平面Q3為A3x＋B3y＋C3z＝0，其單位法向量為n3＝A3i＋B3j＋C3k，則

由式（12）可得平面Q3，則平面Q1、平面Q3與地球表面的交點(diǎn)就是落點(diǎn)B，設(shè)B為（x，y，z），則

解式（13）即可得落點(diǎn)坐標(biāo).在確定落點(diǎn)坐標(biāo)后，可得到預(yù)測(cè)落點(diǎn)誤差[5]，然后以解析落點(diǎn)為圓心、以誤差為半徑，劃定搜索區(qū)域，并在該區(qū)域內(nèi)搜索可能受打擊的軍事目標(biāo).當(dāng)該區(qū)域內(nèi)僅有一個(gè)目標(biāo)時(shí)，則記錄其坐標(biāo)；當(dāng)有2個(gè)及2個(gè)以上目標(biāo)時(shí)可根據(jù)一定的算法評(píng)估各目標(biāo)的重要度[15]，并以重要度最高者為最可能受打擊對(duì)象.

3 基于4D外彈道模型的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法

式中，v為導(dǎo)彈速度，md為導(dǎo)彈質(zhì)量，ρ為空氣密度，S為導(dǎo)彈截面積，F(xiàn)D為阻力符合系數(shù)，CD0為攻角為0的阻力系數(shù)，Cα為誘導(dǎo)阻力系數(shù)，αD為起始擾動(dòng)引起的攻角，αe為動(dòng)力平衡角，g為重力，Λ為科氏力[13].

由于FD，CD0，Cα，α2D等參數(shù)會(huì)隨彈頭運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而發(fā)生微小變化，上述參數(shù)與S，md等均為未知量.如果能夠?qū)@些參數(shù)進(jìn)行高精度的估計(jì)，那么就可以得到彈頭被動(dòng)段的飛行軌跡.文獻(xiàn)[16，17]以彈頭發(fā)射角為優(yōu)化對(duì)象，應(yīng)用改進(jìn)的遺傳算法與龍格庫(kù)塔法的彈道求解方法求得了高精度的發(fā)射角.本文鑒于FD，CD0，Cα等參數(shù)的變化微小，而將它們視為常量，將式（14）中的系數(shù)－ρS（FDCD0＋）/（2md）用－ρλ代替，其中λ＝S（FDCD0＋）/（2md）.將λ作為優(yōu)化對(duì)象，以預(yù)測(cè)彈道軌跡與探測(cè)彈道軌跡的擬合度為優(yōu)化函數(shù)，基于式（14）的受力模型應(yīng)用遺傳算法對(duì)彈道導(dǎo)彈彈道進(jìn)行精細(xì)處理，得到高精度的預(yù)測(cè)軌跡.具體的算法流程如下：

①[Oorigin，Ttarget]＝Get（）；獲取觀測(cè)彈頭和目標(biāo)的位矢.

②λ＝Random（）；隨機(jī)抽取優(yōu)化對(duì)象λ的初始值.

彈頭在自由段僅受地心引力，受力分析相對(duì)簡(jiǎn)單，文獻(xiàn)[5]有詳細(xì)研究，這里不再贅述.由于彈頭在再入段受到空氣阻力、升力、地心引力、科氏力的影響，并且由于彈頭為低速旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈頭，可忽略馬格努斯力的影響，因此適當(dāng)修改文獻(xiàn)[13]中4D外彈道模型，即可得到再入段彈頭的受力微分方程：

③Eerror＝ODE（λ，Oorigin，Ttarget）；以λ，Oorigin，Ttarget為輸入，對(duì)彈道微分方程進(jìn)行龍格庫(kù)塔積分，求得當(dāng)參數(shù)為λ時(shí)的彈道與探測(cè)點(diǎn)和目標(biāo)數(shù)據(jù)的誤差.

④If（Eerror＞K）；判斷誤差是否小于閾值K，若大于則轉(zhuǎn)向⑤；否則結(jié)束.

⑤Options＝gaoptimset（）；對(duì)遺傳算子進(jìn)行適當(dāng)設(shè)置.

⑥λ＝ga（＠ODE，Eerror）.進(jìn)行遺傳操作并得到新的λ，轉(zhuǎn)入③.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法的有效性，設(shè)定發(fā)射坐標(biāo)系中來(lái)襲導(dǎo)彈仿真彈道的初始條件，見表1，表中d為導(dǎo)彈直徑；設(shè)定我方3個(gè)軍事目標(biāo)的地理位置及其重要度I，見表2；進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到仿真實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果，見表3.

表1 來(lái)襲導(dǎo)彈仿真彈道初始條件

表2 我方3個(gè)軍事目標(biāo)地理位置

由仿真實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果可看出，該算法對(duì)一枚處在自由段的上升階段的彈道導(dǎo)彈進(jìn)行了落點(diǎn)預(yù)測(cè).結(jié)果表明，運(yùn)用橢圓彈道理論進(jìn)行的落點(diǎn)粗估計(jì)用時(shí)0.042 6s，時(shí)間消耗很小，驗(yàn)證了橢圓彈道理論計(jì)算復(fù)雜度低的優(yōu)勢(shì).由仿真時(shí)刻0.044～3.360s可知，落點(diǎn)預(yù)測(cè)模塊在錯(cuò)誤判定軍事目標(biāo)點(diǎn)A為最可能打擊對(duì)象后，經(jīng)過(guò)誤差分析，成功地否定了這個(gè)判定，并重新確定了軍事目標(biāo)點(diǎn)C為最可能打擊對(duì)象.這說(shuō)明了該模塊中應(yīng)用4D外彈道模型對(duì)來(lái)襲導(dǎo)彈進(jìn)行的精細(xì)處理，不但可以驗(yàn)證受襲軍事目標(biāo)判定的準(zhǔn)確性，而且可以得到精度較高的彈道軌跡數(shù)據(jù).從整個(gè)運(yùn)行時(shí)間看，彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)預(yù)測(cè)模塊對(duì)目標(biāo)A和C都進(jìn)行了擬合，共用時(shí)3.47s，平均在2s以內(nèi)，可滿足預(yù)警時(shí)間要求.

表3 仿真實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果

如圖4所示，以誤差Eerror為縱坐標(biāo)，慣性坐標(biāo)系的x軸為橫坐標(biāo)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在導(dǎo)彈飛行的大部分彈道上預(yù)測(cè)彈道與仿真彈道的誤差在300m左右，在距離受打擊目標(biāo)C點(diǎn)近20km處總誤差下降至83.12m，達(dá)到精度要求，并在相對(duì)距離上成功預(yù)測(cè)了導(dǎo)彈的落點(diǎn)，生成了高精度的導(dǎo)彈預(yù)測(cè)彈道，圖5表明導(dǎo)彈成功命中目標(biāo)C.

圖4 預(yù)測(cè)彈道與仿真彈道誤差示意圖

必須指出的是，本文的算法考慮雷達(dá)測(cè)量精度不全面，且使用的測(cè)量初始值單一，更好的做法是對(duì)多組測(cè)量值進(jìn)行濾波后得到一個(gè)估計(jì)的初始值.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以假定彈道導(dǎo)彈必定攻擊我方軍事目標(biāo)為前提，避免了僅僅依靠彈道特性進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)測(cè)的弊端，先后運(yùn)用了精度較低的橢圓彈道理論和高精度的4D外彈道模型，在預(yù)警要求時(shí)間內(nèi)對(duì)來(lái)襲彈道導(dǎo)彈軌跡和落點(diǎn)進(jìn)行了高精度預(yù)測(cè)，具有一定的實(shí)踐意義.雖然由于忽視了彈頭屬性參數(shù)的變化等因素，為預(yù)測(cè)帶來(lái)了一定的誤差，但算法總體滿足了導(dǎo)彈預(yù)警的時(shí)間和精度要求，并且當(dāng)預(yù)警雷達(dá)探測(cè)到多個(gè)彈頭目標(biāo)時(shí)，也可為多彈頭同時(shí)預(yù)測(cè)落點(diǎn).

[1]劉仁，王愛華，郭桂治.基于關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)估計(jì)[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，11（1）：27－30.LIU Ren，WANG Ai－h(huán)ua，GUO Gui－zhi.Impact point prediction for TMB based on the state of off point[J].Journal of Air Force Engineering University，2010，11（1）：27－30.（in Chinese）

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