萬小龍，華中科技大學(xué)哲學(xué)系，湖北武漢 430074

一元算符邏輯理論三探
——狹義函數(shù)相對(duì)論視野下的現(xiàn)代模態(tài)邏輯

萬小龍，華中科技大學(xué)哲學(xué)系，湖北武漢 430074

狹義函數(shù)相對(duì)論基本原理:對(duì)于任意二真值的邏輯變量p和由任意一元算符H與p所形成的二真值變量Hp，無論Hp是否為p的真值函數(shù)，它總會(huì)等值于p和獨(dú)立于p的另一二真值變量q所形成的一個(gè)真值函數(shù)。由于有且僅有16個(gè)二真值二元函數(shù)式和有且僅有16個(gè)相應(yīng)的基本二真值二元函數(shù)，所以有且僅有16個(gè)一元算符和有且僅有16個(gè)相應(yīng)的基本二真值一元非函數(shù)。其他的二真值一元非函數(shù)由且僅由這16個(gè)一元算符疊置所形成。那么可進(jìn)一步認(rèn)為現(xiàn)代模態(tài)邏輯公理其實(shí)是按一階邏輯對(duì)經(jīng)典二真值函數(shù)做分類研究。模態(tài)命題邏輯中任一可能世界集W僅對(duì)應(yīng)一組二元真值函數(shù)，相應(yīng)的可能世界間的關(guān)系R就是這組函數(shù)共有的一種集合性質(zhì)。任一公理模式在一框架內(nèi)有效，就是將屬于W的每個(gè)真值函數(shù)(式)按K－2分別依次代入該公理模式中的每一個(gè)“□”，使得形成一組經(jīng)典定理。

狹義一元算符;經(jīng)典二元真值函數(shù);K－1;K－2

本文僅研究二真值的非函數(shù)，而把非二真值的非函數(shù)留在“3+N探”討論。類比愛因斯坦提出“同時(shí)性的相對(duì)性原理”，本文先提出狹義函數(shù)相對(duì)論的基本原理“對(duì)于任意二真值的邏輯變量p和由任意一元算符H與p所形成的二真值變量Hp，無論Hp是否為p的真值函數(shù)，它總會(huì)等值于p和獨(dú)立于p的另一個(gè)二真值變量q所形成的一個(gè)二真值函數(shù)”，簡(jiǎn)稱為“非真值函數(shù)的相對(duì)性”，Hp=d(p，q)。再由此考慮二真值的現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯的實(shí)質(zhì)。

一、一元算符理論簡(jiǎn)述

類比愛因斯坦相對(duì)論的方法(將牛頓力學(xué)理論中作為形而上學(xué)陳述中的概念“時(shí)間”與“空間”等內(nèi)化為科學(xué)理論的數(shù)學(xué)物理陳述中的可驗(yàn)證科學(xué)概念)，一元算符理論可以概括為:先把經(jīng)典邏輯理論中作為形式系統(tǒng)背后的形而上學(xué)陳述的“推理有效”經(jīng)過“蘊(yùn)涵為真”而內(nèi)化為形式體系內(nèi)部的可運(yùn)算的基本算符，然后再對(duì)經(jīng)典聯(lián)結(jié)詞和邏輯真值做系統(tǒng)研究。

簡(jiǎn)要地說，考慮推理有效在真值語義下即蘊(yùn)涵為真，從任意命題p定義作為p的蘊(yùn)涵為真的結(jié)果－反(泛)函數(shù)［1］［2］①參照了［2］中第2頁黃紹揆先生的稱謂為逆函數(shù)。H4p－及其疊置，再用完全集{﹁，→}遞歸地定義出相應(yīng)的其余15個(gè)算符(見表1與2)。這一方面的詳細(xì)論述參見拙著“一探”［2］和“二探”［3］。

表1 一元算符真值表

表2 孿生形一元算符真值表

一元算符邏輯是直接從經(jīng)典邏輯中來的，沒有附加任何其它邏輯條件。所以經(jīng)典邏輯具有的公理、定理和推理規(guī)則在一元算符邏輯中也都成立(在具體推理時(shí)，只要將“可真可假”看做是小于“真”卻大于“假”即可，而實(shí)際分別是兩個(gè)推理過程:“假”推出“假”推出“真”;“假”推出“真”推出“真”)。下文考慮多變?cè)那樾巍?/p>

表3 二變?cè)腍4的簡(jiǎn)約真值表，當(dāng)H4p=f(p，q)時(shí)，H4p'=f(p'，q)

表4 二變?cè)腍4一般真值表，當(dāng)H4p=f(p，q)時(shí)，H4p'=f(p'，q')

我們把表3和表4的兩種算符形式依次記為H4－1和H4－2。

二、狹義一元算符邏輯顯原形

進(jìn)一步可見，H4p的真值語義與p∨q的真值語義完全相同。既然一元算符中的基本算符H4是在經(jīng)典命題邏輯基礎(chǔ)上沒有增加任何其他邏輯條件而得到，所以H4p其實(shí)就是p∨q。因此，可以考慮狹義一元算符真值表中每個(gè)一元算符的一個(gè)邏輯語義都對(duì)應(yīng)一個(gè)經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞。

表5 狹義一元算符真值表

表6 孿生形狹義一元算符真值表

對(duì)于一元算符真值表中另外7個(gè)帶有“無真值定義”算符及它們的孿生組成的集合，我們將在考慮多值邏輯時(shí)才討論這些算符的問題。

為了適應(yīng)本文的引文，用公式A代替上面表中的變?cè)猵、A1代替上面表中的q，得到:

表7 經(jīng)典二真值基本二元函數(shù)

顯然，傳統(tǒng)模態(tài)算符可能◇和必然□就分別是:H4和H3，或H'4和H'3;也即對(duì)應(yīng)d2和d13，或d3和d12。而現(xiàn)代二真值的模態(tài)邏輯研究到今天還沒有出現(xiàn)內(nèi)含“無真值定義”的算符。因此如果狹義函數(shù)相對(duì)論能夠成立，那么狹義一元算符集也即經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞集就被認(rèn)為可以完備地表達(dá)模態(tài)邏輯算符。而對(duì)于任意一對(duì)HA和HB來說，當(dāng)HA=f(A，A1)時(shí)，HB=f(B，A2)而不是f(B，A1)。例如，當(dāng)H4A是A∨A1時(shí)，H4B是B∨A2。特設(shè)性的f(B，A1)形式對(duì)應(yīng)K－1，一般形式f(B，A2)對(duì)應(yīng)K－2。為了簡(jiǎn)便，下文中K－1與K－2中的“□”均先僅考慮二變?cè)嬷岛瘮?shù)式。n為大于0的自然數(shù)時(shí)，K－(2+n)是指代人法則如上述的K－2，但考慮多于二變?cè)恼嬷岛瘮?shù)，可以看作是16個(gè)算符的疊置生成。

三、現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯公理顯原形

狹義函數(shù)相對(duì)論顯示任意二真值的基本一元非真值函數(shù)HA總會(huì)等值于A與A1形成的16個(gè)基本二真值函數(shù)之一。如果任一模態(tài)基本命題□A屬于16個(gè)HA的集合，那么只要將16個(gè)函數(shù)分別代人模態(tài)公理即可求得。以簡(jiǎn)便又常用的T公理(□A→A)為例，容易發(fā)現(xiàn):

(1)T公理中的□A表示一組而非一個(gè)A的非真值函數(shù);

(2)這一組A的非真值函數(shù)分別等值于真值函數(shù)D6、D12、D13和D16;

(3)進(jìn)一步，由于公理具有的二真值特性(表示蘊(yùn)涵為真或推理有效)，T公理中的□A表示的非真值函數(shù)只能等值于真值函數(shù)D6、D12、D13或D16，運(yùn)用反證法不難得到證明。

(4)T公理實(shí)際上表示一組經(jīng)典命題邏輯的定理:

A→A，A∧A1→A，A∧﹁A1→A，A∧﹁A→A。

對(duì)于疊置算符的語義，例如當(dāng)H3A=A∧﹁A1時(shí)，H3H3A=A∧﹁A1∧﹁A1'。顯然后者也是T公理中的□A，不過僅考慮16個(gè)二變?cè)恼嬷岛瘮?shù)已經(jīng)能夠反映模態(tài)邏輯的最基本性質(zhì)。

模態(tài)命題邏輯LP16K－2:在經(jīng)典命題邏輯基礎(chǔ)上增加并僅增加的符號(hào)“□”和“◇”有且僅有明確的經(jīng)典意義:“□”與任意命題(串)A組合形成的□A表示以A為一變?cè)纬傻?6個(gè)二元真值函數(shù)集(如表7)的一個(gè)子集。最大子集就是這16個(gè)真值函數(shù)的集合，最小的子集對(duì)于這16個(gè)真值函數(shù)是空集。容易算出總共有有限數(shù)量(WM+1)個(gè)不同的子集。模態(tài)公理就是在經(jīng)典命題邏輯語言外僅增添了“□”或它的對(duì)偶“◇”或它們的各種疊置的公理。由于公理的特性(永真)和其中任何一個(gè)命題串的“二真值性”，任何公理中的“□”只能是至少等價(jià)于16個(gè)真值函數(shù)中的一個(gè)而不可能為“空”，所以不等價(jià)的模態(tài)公理的總數(shù)就是正好比上述子集的總數(shù)少一個(gè)即WM個(gè)。這里“□”不包括疊置算符。另外，在處理多于二變?cè)虔B置算符時(shí)自然采用K－2形式。

LP16K－2的擴(kuò)展(“□”包括疊置算符)叫做LPK－2。流行的現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯叫做LPN。

LPK－2是一系列邏輯系統(tǒng)的總稱并且有無數(shù)個(gè)“不等價(jià)”的系統(tǒng)和不等價(jià)的公理(下文的分析可知，由于N的限制，LPN的系統(tǒng)數(shù)量雖然也無數(shù)但要少的多)?！啊酢辈话ǒB置算符的流行現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯叫做LP16N。

后文為了簡(jiǎn)便，除非特別指明，否則僅考慮LP16K－2和LP16N。在LP16K－2中:當(dāng)□A正好表示16個(gè)真值函數(shù)的集合時(shí)，這時(shí)的模態(tài)命題邏輯公理就是經(jīng)典命題邏輯的公理，相應(yīng)的模態(tài)系統(tǒng)就是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。而當(dāng)□A表示小于16個(gè)真值函數(shù)的集合時(shí)，這時(shí)的模態(tài)公理就是一組經(jīng)典命題邏輯的定理，所以相應(yīng)的模態(tài)系統(tǒng)仍是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)(后文可知，LP16N的系統(tǒng)應(yīng)該屬于后者)。模態(tài)邏輯不過是經(jīng)典邏輯的成語。模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)就是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，因此像完全性、可靠性等證明并無必要。作為一組由A為一變?cè)纬傻亩冊(cè)嬷岛瘮?shù)的□A究竟是A的泛函、多值函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、逆函數(shù)、格或其他什么由A非完全決定的東西，非要弄清楚其實(shí)也是多余。

在LPK－2或LPN中，每個(gè)模態(tài)邏輯公理中的□A都表示了一組由A為一變?cè)纬傻亩嬷档亩嘧冊(cè)嬷岛瘮?shù)，這才是□A作為邏輯符號(hào)所反映的思維的形式意義。在半形式語言上可以把這一組真值函數(shù)代表一集可能世界，或一堆臭皮囊，或一隊(duì)分有神性的天使，甚至孫悟空的一群變身。邏輯學(xué)家(而非邏輯知識(shí)家)并無須知道“□”作為“必然”的自然意義是如何抽象為邏輯形式意義的歷史［4］99－137。

每個(gè)模態(tài)公理反映其中的□A作為一組由A為一變?cè)纬傻恼嬷岛瘮?shù)對(duì)A的同一種集合性質(zhì)。例如，LP16K－2的T公理中□A表示且僅表示A、A∧A1、A∧﹁A1和A∧﹁A對(duì)A都具有自反的性質(zhì)。這一方面說明可能世界語義學(xué)中“T公理中的那一組可能世界之間具有自反性”是一種近似正確但不夠準(zhǔn)確的表述(顯然，A對(duì)A∧A1并不具有自反性)，另一方面也說明像“集合論”這樣的數(shù)學(xué)理論與基本邏輯理論可以是交叉關(guān)系。

由于在不同模態(tài)系統(tǒng)中有不同的模態(tài)公理，因此導(dǎo)致不同的模態(tài)公理中“□”表示的“必然”的邏輯意義不相同。雖然這些不同的公理還原為經(jīng)典定理的組合后，作為其組合成分的經(jīng)典定理都是等價(jià)的。這里不僅反映了“非經(jīng)典邏輯僅是經(jīng)典邏輯成語”的邏輯基元特性，而且揭示了整體論的形而上學(xué)起源:不同的整體由相同基元集合的不同子集形成。

在LPK－2中，雖然每個(gè)模態(tài)邏輯公理都不等價(jià)，但每個(gè)模態(tài)邏輯系統(tǒng)都是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)加一組經(jīng)典命題邏輯中的定理，在基元意義上當(dāng)然還是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，所以都是等價(jià)的。因此說一個(gè)模態(tài)邏輯系統(tǒng)是另一個(gè)模態(tài)邏輯系統(tǒng)的擴(kuò)充在上述意義上總是正確的。當(dāng)然在把“□”作為個(gè)體意義時(shí)是指符合前者“□”的真值函數(shù)是要包含于后者的。

對(duì)模態(tài)命題邏輯的純句法研究依照自然推理演繹的方法，它隱含著經(jīng)典二真值語義，并自然地使用了K－2這種一般形式，因此幾乎沒有錯(cuò)誤結(jié)果［5］492－502。但因?yàn)椴恢馈蔼M義函數(shù)相對(duì)性原理”，所以進(jìn)展緩慢。

必然化規(guī)則N的存在使得K－2形式下各種LPN模態(tài)系統(tǒng)中各種定理在真值語義中的判定變得容易，不過涉及到關(guān)系語義的N的理解較為復(fù)雜，但考慮各種模態(tài)公理所反映的集合性質(zhì)及其相互關(guān)系時(shí)無需考慮必然化規(guī)則的影響。

克里普克可能世界語義學(xué)是一種巧妙特設(shè)的一階謂詞邏輯語義學(xué)，在獨(dú)立于K－2形式的經(jīng)典二真值語義的模型時(shí)總是有效的。但當(dāng)涉及像“全通性”這樣的無特設(shè)性(即對(duì)應(yīng)K－2形式的經(jīng)典二真值語義)一階公式時(shí)，就找不到對(duì)應(yīng)的模態(tài)命題邏輯公式了。“K公理對(duì)所有模型均有效”的證明沒有注意到K－2所反映的“模態(tài)算符的非完全可代入性”:f(A)如果表示A的一個(gè)真值函數(shù)，那么f(B)就表示B的同一個(gè)真值函數(shù)。但現(xiàn)在如果□A表示以A為一變?cè)纬傻囊粋€(gè)二變?cè)恼嬷岛瘮?shù)，那么□B表示的是與前一個(gè)二變?cè)恼嬷岛瘮?shù)僅有相同函數(shù)式的以B為一變?cè)纬傻牧硪粋€(gè)二變?cè)恼嬷岛瘮?shù)。我們所看到的關(guān)于K公理對(duì)所有模型均有效的證明在K－2情形下都不可能成立。在杜國(guó)平的《經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)》的第177頁的19行－24行的“由［4］和［6］可得［7］”，和在李小五的《模態(tài)邏輯講×第139的倒數(shù)第7行到倒數(shù)第5行的“u╞﹁q和u╞q”，我們認(rèn)為在K－2情形下不可能成立。如果作為w對(duì)應(yīng)□q和□(p→q)的真值表的同一行真值指派，即使在q和p→q真值相同時(shí)，它們的真值仍可能不同，例如后文列出的K－2時(shí)K公理對(duì)D2的無效，即這時(shí)的兩個(gè)u或者其實(shí)不是同一個(gè)真值函數(shù)，或者是克里普克語義特設(shè)性地表示它們?yōu)橥粋€(gè)真值函數(shù)。

在可能世界語義學(xué)中，大部分模態(tài)邏輯公理都與一個(gè)一階謂詞公式對(duì)應(yīng)，反之亦然。在我們對(duì)模態(tài)邏輯的理解中，每一個(gè)模態(tài)邏輯公理都與一組命題邏輯定理對(duì)應(yīng)，反之亦然。這一方面說明僅從對(duì)模態(tài)邏輯做半自然半形式理解的可能世界語義學(xué)出發(fā)，很難找到甚至有時(shí)無法找到它們的一一對(duì)應(yīng);另一方面也可以解決命題邏輯與謂詞邏輯的關(guān)系問題:并不是有些推理無法用命題邏輯表示才必須發(fā)展謂詞邏輯，而是用謂詞邏輯更方便。過去認(rèn)為謂詞邏輯無法還原為命題邏輯的原因是:一個(gè)謂詞邏輯公式往往等價(jià)地表示一組命題邏輯公式。

本文暫不系統(tǒng)考慮一階謂詞邏輯LP'和相應(yīng)的模態(tài)謂詞邏輯LP'，但認(rèn)為任何一階謂詞公式都可以用一個(gè)或一組經(jīng)典命題邏輯公式等價(jià)地表示。另外，多于二元的聯(lián)接詞構(gòu)成的二真值函數(shù)總可以還原為二元聯(lián)接詞構(gòu)成的二真值函數(shù)。這些將在“3+N探”中細(xì)述。當(dāng)然，用一篇文章還不可能(其實(shí)也無必要)準(zhǔn)確地窮盡現(xiàn)代模態(tài)邏輯各種語義的每一個(gè)細(xì)節(jié)。

四、對(duì)一些重要問題的運(yùn)算結(jié)果及其分析

1.K－1形式下的模態(tài)句法還原:

將16個(gè)經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞依次、分別代入上述10個(gè)典型的模態(tài)公理中的每個(gè)“□”，不難得到16張完整真值表(因?yàn)槠?，?和下面的總表8。

表8 典型10公理在LP16K－1形式下有效性比較表(僅用y表示有效)

表8中C公理就是經(jīng)典公理，K公理是對(duì)16個(gè)經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞都有效的，但實(shí)際上在無特設(shè)性條件下的句法不可能是對(duì)應(yīng)K－1。況且對(duì)于各種公理的有效性之間的互推關(guān)系有時(shí)已經(jīng)過分符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的主要經(jīng)典結(jié)果。例如:對(duì)稱性+傳遞性=歐性。

K－1的模態(tài)邏輯雖然僅是“瘦身”的而非真的模態(tài)邏輯，但由于它簡(jiǎn)單，能非常明晰地反映模態(tài)邏輯的最一般本性:模態(tài)算符“□”表示共有某種集合性質(zhì)的一組經(jīng)典真值聯(lián)接詞，模態(tài)公理表示一組經(jīng)典定理，所有的模態(tài)命題系統(tǒng)其實(shí)都等價(jià)于經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。

2.K－2形式下的模態(tài)句法還原

K－2:□A=f(A，A1)，□B=f(B，A2))，□□A=f(f(A，A1)，A1')。因?yàn)?。D、T、V和Tr獨(dú)立于K－1和K－2，所以只要考慮表9中余下的6個(gè)公理中有效的那些項(xiàng)。施反證法于6個(gè)模態(tài)公理，不是很難就算的出表9的結(jié)果。

表9 典型10公理在LP16K－2中公理模式有效性比較表(僅用y表示有效)

對(duì)自然(或必然)化規(guī)則N，如果可以把N理解為把真值函數(shù)代入□A后的真值表的每一行都要符合“A為真時(shí)，□A為真”的條件，表9中的各個(gè)公理的結(jié)果加上N與現(xiàn)代模態(tài)邏輯經(jīng)典文本中的模態(tài)系統(tǒng)中僅按句法推出的結(jié)果相比較，沒有發(fā)現(xiàn)反例。不難發(fā)現(xiàn)，表9中各種公理的有效性之間的互推關(guān)系也符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的主要經(jīng)典結(jié)果(參見李小五:《模態(tài)邏輯講義》，中山大學(xué)出版社，2006年.p126)。

(1)自返性?持續(xù)性。

(2)對(duì)稱性+傳遞性?歐性。

(3)(略)

(4)自返性+歐性?對(duì)稱性。

(5)對(duì)稱性+歐性?傳遞性。

(6)對(duì)稱性+傳遞性?對(duì)稱性+歐性。

(7)對(duì)稱性+傳遞性+持續(xù)性?自返性+歐性。

(8)自返性+對(duì)稱性+傳遞性?自返性+歐性。

顯然K公理不是對(duì)16個(gè)真值函數(shù)均有效(對(duì)D4、D5、D7和D10的結(jié)果還有爭(zhēng)議)，至少對(duì)D2(或D3)即□A=A∨A1和□B=B∨A2在A、B、A1、A2取值為0、0、1、0這行無效。

3.K－2時(shí)對(duì)K－1時(shí)4、B、E、M和O公理有效項(xiàng)的有效性的反證法證明

又由于D1、D6、D11和D16對(duì)K－2與K－1同效，以及D2和D3那樣的兩個(gè)函數(shù)間的對(duì)稱性，所以僅需考慮D2、D5、D13、D14、D7和D9。

(1)4公理:︱—□A→□□A

在K－1時(shí)僅對(duì)D1、D2、D3、D6、D7、D10、D12、D13、D16有效，所以現(xiàn)在僅需考慮 D2、D5、D7。顯然在D7時(shí)，□A=A1，□□A=A1'，這時(shí)4公理無效。顯然在D13時(shí)，□A=A∧A1，□□A=A∧A1∧A1'，這時(shí)4公理無效。

所以對(duì)K－2，4公理僅對(duì)D1、D2、D3、D6、D16有效。

(2)B公理:︱—A→□◇A

在K－1時(shí)僅對(duì)D1、D2、D3、D4、D5、D6、D8、D9、D11有效，所以現(xiàn)在僅需考慮D2、D5、D9。

D2時(shí)，□A=A∨A1，◇A=A∧﹁A1，□◇A=(A∧﹁A1)∨A1'。A→□◇A即

所以B公理在K－2時(shí)僅對(duì)D1、D4、D5、D6、D11有效。

(3)E公理:︱—◇A→□◇A

在K－1時(shí)僅對(duì)D1、D2、D3、D6有效。現(xiàn)在僅需考慮D2。

D2時(shí)，□A=A∨A1，◇A=A∧﹁A1，□◇A=(A∧﹁A1)∨A1'?！驛→□◇A即

(A∧﹁A1)→(A∧﹁A1)∨A1'，顯然有效。

所以E公理在K－2時(shí)僅對(duì)D1、D2、D3、D6有效。

(4)M公理:︱—□◇A→◇□A

在K－1時(shí)僅對(duì) D6、D8、D9、D11、D12、D13、D14、D15、D16有效。所以現(xiàn)在僅需考慮D8、D12、D14。

D8時(shí):□A=(﹁A∨A1)∧(A∨﹁A1)，□◇A=(﹁A1∨A1')∧(A1∨A1')，◇□A= (A1∧﹁A1')∨(A1∧A1')，顯然，當(dāng)A1、A1'分別取1和0時(shí)，M無效。在D13時(shí)，□A=A∧A1，◇A=A∨﹁A1，□◇A=(A∨﹁A1)∧A1'，◇□A=(A∧A1)∨﹁A1'。M公理為: (A∨﹁A1)∧A1'→(A∧A1)∨﹁A1'，顯然當(dāng)A、A1、A1'依次取1、0、1時(shí)，M無效。D14時(shí):□A=﹁A∧A1，◇A=﹁A∨﹁A1，□◇A=﹁(﹁A∨﹁A1)∧A1'=A∧A1∧A1'，◇□A=﹁(﹁A∧A1)∨﹁A1'=A∨﹁A1∨﹁A1'，M公理為顯然有效。

所以，M公理在K－2時(shí)僅對(duì)D6、D11、D14、D15、D16有效。

(5)O公理:︱—□(□A→A)

在K－1時(shí)僅對(duì)D1、D2、D3、D6有效。所以現(xiàn)在僅需考慮D2。

D2時(shí)，□A=A∨A1，□A→A=A∨A1→A，□(□A→A)=(A∨A1→A)∨A1'。顯然

它不是有效式。所以O(shè)公理在K－2時(shí)僅對(duì)D1、D6有效。

以下各項(xiàng)因?yàn)槠?，暫?

4.K－1條件下K公理對(duì)16個(gè)真值函數(shù)式代入的完全真值表

5.K－1條件下其他9個(gè)公理對(duì)16個(gè)真值函數(shù)式代入的完全真值表

6.K－2條件下K公理對(duì)16個(gè)真值函數(shù)式是否有效的反證法證明

7.K－2條件下K系統(tǒng)中必然模態(tài)算子的析取分配“不”成立的證明

8.對(duì)各個(gè)模態(tài)系統(tǒng)中的基本定理的經(jīng)典語義證明

9.對(duì)幾個(gè)認(rèn)為無法找到對(duì)應(yīng)一階公式的模態(tài)公理的驗(yàn)算

10.對(duì)幾個(gè)認(rèn)為無法找到對(duì)應(yīng)模態(tài)公理的一階公式的經(jīng)典命題邏輯定理的轉(zhuǎn)換(待修正)

五、結(jié)論

如果由A和任意算符H所構(gòu)成的二真值的非真值函數(shù)HA總是等值于一個(gè)由A作為一元而形成的一個(gè)基本經(jīng)典二真值函數(shù)，那么作為二真值模態(tài)命題的“□A”就不得不僅表示一組經(jīng)典二真值函數(shù)。甚至現(xiàn)代模態(tài)邏輯是對(duì)經(jīng)典真值函數(shù)做系統(tǒng)分類研究的經(jīng)典命題邏輯。句法上，模態(tài)命題邏輯中任一公理模式的任一“□A”都表示使得這一公理模式有效的那一組以A為一變?cè)纬傻慕?jīng)典多變?cè)嬷岛瘮?shù)，任一模態(tài)公理模式是且僅是一組經(jīng)典命題邏輯定理。語義上，關(guān)系語義可以還原為經(jīng)典語義。但由于d(A，A1)不是A的嚴(yán)格意義上的函數(shù)，所以模態(tài)“□”具有非完全可代入性，即遵照K－2而非K－1的形式:K－1:當(dāng)□A=d(A，A1)時(shí)，□B=d(B，A1);K－2:當(dāng)□A=d (A，A1)時(shí)，□B=d(B，A2)?？赡苁澜缯Z義學(xué)大致曲折地反映了這種句法和語義的統(tǒng)一，筆者認(rèn)為:一個(gè)可能世界w就是(映射)一個(gè)經(jīng)典真值函數(shù)，一個(gè)世界集W就表示一組這樣的真值函數(shù)，相應(yīng)的可能世界間的關(guān)系R就是這組真值函數(shù)共有的集合性質(zhì)。W、R和K－2式經(jīng)典賦值V構(gòu)成一個(gè)框架。任一公理模式在一個(gè)框架內(nèi)有效，就是將屬于W的那一組真值函數(shù)式按K－2規(guī)則分別依次代入該公理模式中的每一個(gè)“□”，使得形成一組經(jīng)典命題邏輯定理或一個(gè)一階謂詞邏輯定理。

本文按筆者對(duì)現(xiàn)代模態(tài)邏輯的理解過程寫作，體現(xiàn)了這個(gè)過程所經(jīng)歷的下述九步:

(1)從現(xiàn)代模態(tài)邏輯的一些應(yīng)用(辯證邏輯、量子邏輯等)意識(shí)到需要對(duì)經(jīng)典真值函數(shù)進(jìn)行反(泛)函數(shù)研究。區(qū)分反函數(shù)(單值函數(shù))和逆函數(shù)(很像多值函數(shù))。

(2)理解“蘊(yùn)涵為真”的逆函數(shù)是最基本的二真值一元算符非函數(shù)，并運(yùn)用經(jīng)典完全集{﹁，→}遞歸定義出相應(yīng)的其余15個(gè)算符而形成狹義的基本二真值一元算符非函數(shù)集。

(3)發(fā)現(xiàn)基本的二真值一元算符非函數(shù)集就是基本經(jīng)典二變?cè)嬷岛瘮?shù)集。即16個(gè)基本二真值一元算符依次對(duì)應(yīng)16個(gè)二變?cè)嬷岛瘮?shù)式－－非真值函數(shù)的相對(duì)性。

(4)一般的二真值一元算符非函數(shù)就是16個(gè)基本的二真值一元算符疊置所形成。

(5)模態(tài)“□A”對(duì)應(yīng)一組以A為一變?cè)纬傻囊唤M一般的二真值多變?cè)瘮?shù)。

(6)K－1與K－2的區(qū)別。

(7)任何模態(tài)命題邏輯公理都是一組經(jīng)典命題邏輯定理。

(8)如果視N中的“□A”也僅具有(5)的意義，那么現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯各系統(tǒng)在經(jīng)典真值函數(shù)的基元意義上分別是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，但在“□”的個(gè)體意義上是對(duì)經(jīng)典真值函數(shù)的某些子類的分類整體研究。

(9)每個(gè)可能世界就直接對(duì)應(yīng)一個(gè)經(jīng)典二真值函數(shù)，但可能世界語義學(xué)除了明示了模態(tài)命題邏輯與一階邏輯的關(guān)系，還隱含了一階謂詞邏輯與經(jīng)典命題邏輯的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

回到本文的開篇，問題的關(guān)鍵是:二真值的Hp是否只能是16個(gè)經(jīng)典二真值函數(shù)d(p，q)之一?過去邏輯學(xué)家普遍認(rèn)為:Hp作為p的非真值函數(shù)，在p取一個(gè)確定真值(真或假)時(shí)，Hp的真值是不確定。但筆者認(rèn)為，由于Hp是二真值的，所以當(dāng)p取一個(gè)確定真值時(shí)，Hp不可能有第三種真值“真正的不確定”，它的“真假不確定”只能是確定的“真”與“假”均可。這一點(diǎn)從任何一個(gè)包含二真值的非真值函數(shù)的公理或定理中也可以得到印證。這樣構(gòu)成的作為有真值定義的“真與假的排列組合”只能是與16個(gè)經(jīng)典二真值函數(shù)式一一對(duì)應(yīng)。本文對(duì)可能世界語義的經(jīng)典語義還原還沒有完成，對(duì)必然化規(guī)則的理解還可能涉及“邏輯真與事實(shí)真”。不過無論采用何種語義，只要狹義函數(shù)相對(duì)論成立，那么至少在句法上□A只能表示一組以A為一變?cè)纬傻亩嘧冊(cè)慕?jīng)典二真值函數(shù)。筆者作為非邏輯專業(yè)的學(xué)者的嚴(yán)密性可能還不夠，但作為科學(xué)哲學(xué)專業(yè)的教師，不禁會(huì)聯(lián)想到近代物理學(xué)史上晚于經(jīng)典力學(xué)出現(xiàn)的熱質(zhì)說的曾經(jīng)輝煌的歷史。

［1］莫紹揆:“多值函數(shù)新論”，載《南京大學(xué)學(xué)報(bào)》(自然科學(xué)版)1998年第1期。

［2］萬小龍:《經(jīng)典命題邏輯聯(lián)結(jié)詞的泛函分析初探——一元算符是否可能窮盡》，載《安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社會(huì)科學(xué)版)》2011年第6期。

［3］萬小龍、李福勇、田雪:《一元算符邏輯理論二探——一元算符完全性下的道義邏輯與道義悖論研究》，載《安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社會(huì)科學(xué)版)》2012年第3期。

［4］B.Jack Copeland.“The Genesis of Possible Worlds Semantics”，Journal of Philosophical Logic 31，2002.

［5］徐明:《符號(hào)邏輯講義》，武漢:武漢大學(xué)出版社2008年版。

On Modern Modal Logic from the Special Theory of Function Relativity

WAN Xiao-long

(Department of Philosophy，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan430074，China)

The basic principle in the special theory of function relativity:For any two truth-valued variables p and Hp formed by any unary operator H and p，regardless of Hp is two truth-valued functions of p or not，it always be equal to a two truth-valued function formed by p and the third truth-valued variables q that is independent of p.There are only 16 truth-valued dual function formulas and only 16 unary operators and 16 corresponding basic two truth-valued non-functions.The other two truth-valued non-functions are only 16 unary operator overlay formed.Modern modal logic，in fact，is a kind of classifying study on classical two truthvalued functions in terms of first order logical axioms and rules.In modal propositional logic，any set of possible worlds W only means a set of a truth-function with two variables，and the corresponding relations between possible worlds R is a set property which the set of truth-functions have in common.And the validity of any axiom schema in a framework is just that every truth-function formula with two variables belonging to W is，in turn，substituted in each“□”of the axiom schema respectively such that a set of classical theorems are formulated.

non-truth-function;modal axiom schemas;K－1;K－2

B81

A

1671-7023(2012)03-0033-07

萬小龍(1964－)，男，江蘇常州人，華中科技大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，國(guó)家馬克思主義工程“科學(xué)技術(shù)哲學(xué)”首席專家，研究方向?yàn)榭茖W(xué)哲學(xué)、量子力學(xué)哲學(xué)與邏輯哲學(xué)。

國(guó)家留學(xué)基金(學(xué)號(hào)200635015)項(xiàng)目;國(guó)家社科基金項(xiàng)目(2007zxc49)

2012-04-13

責(zé)任編輯吳蘭麗