趙小龍 王玉平 鮑麗紅

（天水師范學(xué)院物信學(xué)院，甘肅 天水 741001）

《電磁學(xué)》中靜電類問題的可視化仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

趙小龍 王玉平 鮑麗紅

（天水師范學(xué)院物信學(xué)院，甘肅 天水 741001）

《電磁學(xué)》中基本概念、基本規(guī)律理論性強(qiáng)、場(chǎng)圖復(fù)雜.針對(duì)離散點(diǎn)電荷系在空間產(chǎn)生的場(chǎng)分布、靜電場(chǎng)中導(dǎo)體的靜電感應(yīng)現(xiàn)象、靜電場(chǎng)中電介質(zhì)的極化現(xiàn)象等典型靜電類電磁問題，利用Matlab中的偏微分方程工具箱（PDEtool）、數(shù)學(xué)物理方程進(jìn)行可視化仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì).仿真結(jié)果中電場(chǎng)線、等勢(shì)線的分布很好地體現(xiàn)出典型電磁現(xiàn)象及相關(guān)物理性質(zhì)，有助于信息技術(shù)條件下的教學(xué)方法改革.

電磁學(xué)；靜電類問題；偏微分方程；可視化仿真

1 引言

《電磁學(xué)》［1］是物理類、電子信息類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，課程講授應(yīng)該使學(xué)生全面系統(tǒng)地掌握電磁運(yùn)動(dòng)的基本現(xiàn)象、基本概念和基本規(guī)律，使其具有一定分析和解決電磁學(xué)問題的能力.由于課程理論性強(qiáng)、概念抽象、推導(dǎo)繁多、場(chǎng)圖復(fù)雜，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象思維能力和空間想象力.目前，理論講授的現(xiàn)狀是多數(shù)學(xué)生對(duì)基本概念掌握較好，而針對(duì)物理問題運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解問題的能力偏弱.而配套的《電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)》［2］中除靜電場(chǎng)的描繪、霍爾效應(yīng)等外，多數(shù)實(shí)驗(yàn)仍是電路基礎(chǔ)、電工學(xué)中的基礎(chǔ)電學(xué)實(shí)驗(yàn).可視化仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能夠形象地、動(dòng)態(tài)地展示電磁理論的基本原理、模擬出電磁場(chǎng)中的物理量，同時(shí)能以圖形化的方式顯示其分布及其計(jì)算結(jié)果，得到富有感染力的三維圖形及計(jì)算結(jié)果，有助于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、鞏固和掌握所學(xué)理論，改善教學(xué)效果［3～5］.

2 靜電場(chǎng)

靜電場(chǎng)是電磁學(xué)教科書中最基礎(chǔ)、最重要的章節(jié)，內(nèi)容涉及庫侖定律、電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)、唯一性定理、邊界條件、電場(chǎng)能量等，其關(guān)于靜電場(chǎng)中的物理量、靜電場(chǎng)性質(zhì)的表述在結(jié)構(gòu)上與穩(wěn)恒磁場(chǎng)的內(nèi)容遙相呼應(yīng).因此，準(zhǔn)確、清晰地掌握靜電場(chǎng)的知識(shí)點(diǎn)對(duì)整個(gè)教材教學(xué)目的的實(shí)現(xiàn)具有重要作用.

靜電場(chǎng)內(nèi)容首先從基本的電現(xiàn)象出發(fā)，通過兩個(gè)點(diǎn)電荷相互作用滿足的基本實(shí)驗(yàn)定律——庫侖定律，引出了電場(chǎng)的概念及描述電場(chǎng)的物理量——電場(chǎng)強(qiáng)度.為進(jìn)一步揭示場(chǎng)的性質(zhì)，通過電通量和電場(chǎng)力做功得到高斯定理和保守力場(chǎng)的結(jié)論，同時(shí)定義了描述場(chǎng)的另外一個(gè)物理量——電勢(shì).通過對(duì)處在靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)引出靜電感應(yīng)和介質(zhì)極化，更是將靜電問題一般化.唯一性定理和邊界條件保證了對(duì)于任意的靜電類問題都可以通過泊松方程進(jìn)行求解.整個(gè)過程都是通過微積分以及微分方程的形式對(duì)問題一一進(jìn)行分析、求解，并從解中探尋場(chǎng)的性質(zhì)與特征.因此，數(shù)值分析求解方法應(yīng)該是貫穿整個(gè)章節(jié)內(nèi)容的基本手段.

2.1 疊加原理

疊加原理是教材中針對(duì)點(diǎn)電荷系、連續(xù)帶電體等靜電問題最基本的解決方法.無論是對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E，還是電勢(shì)U，都可由點(diǎn)電荷在空間的E、U分布和疊加原理求解點(diǎn)電荷系、連續(xù)帶電體在空間的場(chǎng)分布特征.具體計(jì)算公式如下

2.2 泊松方程

利用靜電場(chǎng)中高斯定理的微分形式及關(guān)系式E＝－ΔU，則可得到泊松方程

式中，ρ為電荷分布體密度；ε是介質(zhì)介電常數(shù).泊松方程是一個(gè)二階偏微分方程，其解需根據(jù)邊界條件來確定.靜電場(chǎng)中導(dǎo)體及介質(zhì)的邊界條件分別如下

導(dǎo)體邊界：U（r）｜S＝ψ｜S

介質(zhì)邊界：U1（r）｜S＝U2（r）｜S

3 算例設(shè)計(jì)與仿真

帶電體的靜電場(chǎng)分布、靜電場(chǎng)中介質(zhì)的極化現(xiàn)象、靜電場(chǎng)中導(dǎo)體的靜電感應(yīng)現(xiàn)象是靜電場(chǎng)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容.本文以兩點(diǎn)電荷構(gòu)成的點(diǎn)電荷系——電偶極子、靜電場(chǎng)中的介質(zhì)球、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體圓柱為研究對(duì)象，分別對(duì)場(chǎng)圖的描繪進(jìn)行可視化設(shè)計(jì).

對(duì)于離散的點(diǎn)電荷系，疊加原理的應(yīng)用可通過Matlab的編程指令及Streamline、Arrows等繪圖命令畫出電場(chǎng)線、等勢(shì)線來表現(xiàn)靜電場(chǎng)的物理圖像，實(shí)現(xiàn)矢量場(chǎng)的可視化，這對(duì)比較和正確理解問題的結(jié)果是很重要的.而對(duì)于連續(xù)的帶電體，泊松方程的應(yīng)用主要是利用Matlab中求解二階偏微分方程的有力工具——偏微分方程工具箱（PDEtool）.針對(duì)具有確定邊界條件的靜電類泊松方程，PDEtool能使用彩圖、高度圖、矢量場(chǎng)圖等形式將結(jié)果可視化，讓枯燥的公式伴以生動(dòng)的圖像，讓深?yuàn)W的內(nèi)容有了鮮明的物理圖像.

例1計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解如圖1所示，利用疊加原理式（1）、式（2）計(jì)算離散點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)為

圖1 電偶極子

若場(chǎng)點(diǎn)距離遠(yuǎn)大于間距l(xiāng)，則可認(rèn)為er＋∥er，er－∥er，那么解得

其中，p是電偶極子的電偶極矩.已知E＝－U，求得電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度為

圖2 電偶極子的電場(chǎng)線和等勢(shì)線

例2設(shè)半徑為a，介電常數(shù)為ε的介質(zhì)球放在無限大的真空中，受到均勻電場(chǎng)E0的作用，如圖3所示.試求介質(zhì)球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度.

圖3 靜電場(chǎng)中的介質(zhì)球

解取球坐標(biāo)系，令E0＝E0ez.顯然，介質(zhì)球內(nèi)外的電勢(shì)分布滿足ρ＝0時(shí)的泊松方程（3）和介質(zhì)邊界的邊界條件（5）.利用分離變量法求解的過程詳見文獻(xiàn)［6］，此處不再贅述.介質(zhì)球內(nèi)、外電勢(shì)分別為

根據(jù)E＝－U，求得介質(zhì)球內(nèi)的電場(chǎng)為

圖4是利用PDEtool工具箱解得的介質(zhì)球內(nèi)外電場(chǎng)線和等勢(shì)線分布圖.從圖中可以看出：介質(zhì)球內(nèi)靜電場(chǎng)仍然為均勻電場(chǎng)，而且球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)明顯低于球外場(chǎng)強(qiáng)；介質(zhì)球外較遠(yuǎn)區(qū)域靜電場(chǎng)保持初始場(chǎng)的分布，而介質(zhì)球表面附近區(qū)域場(chǎng)分布變化顯著、等勢(shì)線彎曲受介質(zhì)表面極化現(xiàn)象影響顯著.

圖4 介質(zhì)球內(nèi)外的電場(chǎng)線和等勢(shì)線

例3設(shè)一根無限長的導(dǎo)體圓柱位于均勻靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于導(dǎo)體圓柱.試求導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解選取圓柱坐標(biāo)系，令E0＝E0ex.當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時(shí)，圓柱內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零、圓柱為等勢(shì)體，圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電勢(shì)分布函數(shù)與z無關(guān).導(dǎo)體圓柱外的電勢(shì)分布滿足泊松方程（3）和導(dǎo)體邊界的邊界條件（4），圓柱外電勢(shì)分布函數(shù)為

圖5 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體圓柱

圓柱外電場(chǎng)強(qiáng)度為

導(dǎo)體圓柱內(nèi)外電場(chǎng)線、等勢(shì)線分布如圖6所示.從圖6中可以看出：導(dǎo)體圓柱內(nèi)無電場(chǎng)線分布，即電場(chǎng)強(qiáng)度為零；導(dǎo)體表面有部分電場(chǎng)線穿入，這可以幫助學(xué)生很好地理解電磁波在導(dǎo)體表面的趨膚效應(yīng)和穿透深度的概念；導(dǎo)體圓柱外較遠(yuǎn)區(qū)域靜電場(chǎng)保持初始場(chǎng)的分布，而導(dǎo)體圓柱上下表面附近區(qū)域場(chǎng)分布顯著較強(qiáng)、等勢(shì)線彎曲受導(dǎo)體表面靜電感應(yīng)現(xiàn)象影響顯著.導(dǎo)體圓柱內(nèi)外電場(chǎng)線、等勢(shì)線的偽彩色分布圖可以很好地幫助學(xué)生理解并掌握靜電感應(yīng)現(xiàn)象和靜電平衡時(shí)靜電場(chǎng)的性質(zhì)和特點(diǎn).

圖6 導(dǎo)體圓柱內(nèi)外的電場(chǎng)線和等勢(shì)線

4 結(jié)論

《電磁學(xué)》課程中物理概念抽象、理論性強(qiáng)、場(chǎng)圖復(fù)雜，借助于Matlab的可視化程序設(shè)計(jì)指令和PDEtool偏微分方程工具箱以及物理物理方程中的相關(guān)理論知識(shí)，靜電類可視化仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)不僅有利于學(xué)生掌握理論知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用新技術(shù)、新方法的能力，而且有助于學(xué)生完成課程設(shè)計(jì)、畢業(yè)設(shè)計(jì)等教學(xué)任務(wù).在整個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)過程中不僅能讓學(xué)生知道結(jié)果，更要學(xué)會(huì)方法，讓學(xué)生探索性地解決專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中所遇到的問題，以實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)需求、提高自身的能力和素質(zhì)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

［1］ 趙凱華.電磁學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，2002

［2］ 楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)（二、電磁學(xué)部分）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2000

［3］ 彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的Matlab解法與可視化［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004：11

［4］ 熊萬杰.Matlab用于大學(xué)物理教學(xué)［J］.物理通報(bào)，2004，（2）：16～19

［5］ 陳執(zhí)平.本科電磁場(chǎng)教學(xué)中引入ANSYS的嘗試［J］.大學(xué)物理，2010，29（7）：32～35，54

［6］ 楊儒貴.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京：高等教育出版社，2007

VISUAL SIMULATION DESIGN ON ELECTROSTATIC PROBLEM IN ELECTROMAGNETISM

Zhao Xiaolong Wang Yuping Bao Lihong
（Institute of Materials，Tianshui Normal University，Tianshui，Gansu 741001）

Basic concepts and principles in Electromagnetism have abstract reasoning and complicated field－map.Typical electrostatic electromagnetic problems such as the electric field distribution of discrete point－charge group in the space，electrostatic induction phenomenon of conductor in electrostatic field，and polarization phenomenon of dielectric in electrostatic field，can be visually simulated by PDEtool in Matlab and Mathematical physics equations.The simulation results show that the electric field lines and equipotential lines describe well the electromagnetic phenomena and physical properties.The simulation design is beneficial to teaching reform by information technology.

electromagnetism；electrostatic problems；partial differential equation；visual simulation

2011－06－08）

項(xiàng)目資助國家自然科學(xué)基金（61002008），甘肅省教育廳項(xiàng)目（1008B－11），天水師范學(xué)院“青藍(lán)”人才工程.

趙小龍（1976年出生），男，甘肅天水人，博士，副教授，電子學(xué)會(huì)高級(jí)會(huì)員.主要研究方向?yàn)殡姶爬碚撗芯考敖虒W(xué).